中考数学压轴题二次函数与圆

第四讲：二次函数与圆综合板块考试要求A级要求B级要求C级要求二次函数1.能根据实际情境了解二次函数的意义；2.会利用描点法画出二次函数的图像；1.能通过对实际问题中的情境分析确定二次函数的表达式；2.能从函数图像上认识函数的性质；3.会确定图像的顶点、对称轴和开口方向；4.会利用二次函数的图像求出二次方程的近似解；1.能用二次函数解决简单的实际问题；2.能解决二次函数与其他知识结合的有关问题；一、二次函数与圆综合【例1】已知：抛物线2:(1)(2)Myxmxm与x轴相交于12(0)(0)AxBx，，，两点，且12xx．（Ⅰ）若120xx，且m为正整数，求抛物线M的解析式；（Ⅱ）若1211xx，，求m的取值范围；（Ⅲ）试判断是否存在m，使经过点A和点B的圆与y轴相切于点(02)C，，若存在，求出2:(1)(2)Myxmxm的值；若不存在，试说明理由；（Ⅳ）若直线:lykxb过点(07)F，，与（Ⅰ）中的抛物线M相交于PQ，两点，且使12PFFQ，求直线l的解析式．【解析】（Ⅰ）解法一：由题意得，1220xxm．解得，2m．m为正整数，∴1m．∴21yx．解法二：由题意知，当0x时，20(1)0(2)0ymm．（以下同解法一）解法三：22(1)4(2)(3)mmm，12(1)(3)122mmxxxm，，．又122020xxxm，．∴2m．（以下同解法一．）解法四：令0y，即2(1)(2)0xmxm，∴12(1)(2)012xxmxxm，，．（以下同解法三．）（Ⅱ）解法一：1212111010xxxx，，，．，即1212()10xxxx．1212(1)2xxmxxm，，∴(2)(1)10mm．解得：1m．∴m的取值范围是1m．解法二：由题意知，当1x时，1(1)(2)0ymm．解得：1m．∴m的取值范围是1m．解法三：由（Ⅰ）的解法三、四知，1212xxm，．例题精讲中考要求1211xx，，∴21m∴1m．∴m的取值范围是1m．xyODO'C(0,2)BA7OFP2P1PQ2Q1xyQ（Ⅲ）存在．解法一：因为过AB，两点的圆与y轴相切于点(02)C，，所以AB，两点在y轴的同侧，∴120xx．由切割线定理知，2OCOAOB，即2122xx．∴124xx，∴124.xx∴24.6mm．解法二：连接OBOC，．圆心所在直线11222bmmxa，设直线12mx与x轴交于点D，圆心为O，则122mODOCOCOD，．221(3)32ABABxxmmBD，，∴32mBD在RtODB△中，222ODDBOB．即22231222mm．解得6m．（Ⅳ）设1122()()PxyQxy，，，，则22112211yxyx，．过PQ，分别向x轴引垂线，垂足分别为112(0)(0)PxQx，，，．则11PPFOQQ∥∥．所以由平行线分线段成比例定理知，11POPFOQFQ．因此，120102xx，即212xx．过PQ，分别向y轴引垂线，垂足分别为2122(0)(0)PyQy，，，，则22PPQQ∥．所以22FPPFQQ△∽△．22PFFPFQFQ．127172yy．12212yy．22122211212(1)1.23241.xxxx21142xx，，或12x．当12x时，点(23)P，．直线l过(23)(07)PF，，，，7032.kbkb，解得72.bk，当12x时，点(23)P，．直线l过(23)(07)PF，，，，703(2).kbkb，解得72.bk，故所求直线l的解析式为：27yx，或27yx．【例2】已知抛物线2yaxbxc与y轴的交点为C，顶点为M，直线CM的解析式2yx并且线段CM的长为22（1）求抛物线的解析式。（2）设抛物线与x轴有两个交点A（X1，0）、B（X2，0），且点A在B的左侧，求线段AB的长。（3）若以AB为直径作⊙N，请你判断直线CM与⊙N的位置关系，并说明理由。【解析】（1）解法一：由已知，直线CM：y=－x＋2与y轴交于点C（0,2）抛物线2yaxbxc．过点C（0,2），所以c=2，抛物线2yaxbxc的顶点M24,24bacbaa在直线CM上，所以242242abbaa，解得0b或2b若0b，点C、M重合，不合题意，舍去，所以2b．即M11,2aa过M点作y轴的垂线，垂足为Q，在222RtCMQCMCQQM中，所以，22118()[2(2)]aa，解得，12a。∴所求抛物线为：21222yxx或21222yxx以下同下。解法二：由题意得(0,2)C,设点M的坐标为(,)Mxy∵点M在直线2yx上，∴2yx由勾股定理得22(2)CMxy，∵22CM∴22(2)xy=22，即22(2)8xy解方程组222(2)8yxxy，得1124xy，2220xy∴(2,0)M或(2,0)M当(2,4)M时，设抛物线解析式为2(2)4yax，∵抛物线过(0,2)点，∴12a，∴21222yxx当(2,0)M时，设抛物线解析式为2(2)yax∵抛物线过(0,2)点，∴12a，∴21222yxx∴所求抛物线为：21222yxx或21222yxx（2）∵抛物线与x轴有两个交点，∴21222yxx不合题意，舍去。∴抛物线应为：21222yxx抛物线与x轴有两个交点且点A在B的左侧，∴212202xx由，得1242ABxx（3）∵AB是⊙N的直径，∴r=22，N（－2，0），又∵M（－2，4），∴MN=4设直线2yx与x轴交于点D，则D（2，0），∴DN=4，可得MN=DN，∴45MDN，作NG⊥CM于G，在RtNGD中，sin4522NGDN=r即圆心到直线CM的距离等于⊙N的半径．∴直线CM与⊙N相切【例3】已知：在平面直角坐标系xOy中，一次函数4ykxk的图象与x轴交于点A，抛物线2yaxbxc经过O，A两点．⑴试用含a的代数式表示b；⑵设抛物线的顶点为D，以D为圆心，DA为半径的圆被x轴分为劣弧和优弧两部分．若将劣弧沿x轴翻折，翻折后的劣弧落在⊙D内，它所在的圆恰与OD相切，求⊙D半径的长及抛物线的解析式；⑶设点B是满足(2)中条件的优弧上的一个动点，抛物线在x轴上方的部分上是否存在这样的点P，使得43POAOBA∠∠？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．D'DAOyxnmBDAEPOxyPyxBAEOD【解析】⑴解法一：∵一次函数4ykxk的图象与x轴交于点A∴点A的坐标为(4，0)∵抛物线2yaxbxc经过O、A两点∴0c，1640ab，∴4ba解法二：∵一次函数4ykxk的图象与x轴交于点A∴点A的坐标为(40，)∵抛物线2yaxbxc经过O、A两点∴抛物线的对称轴为直线2x∴22bxa，∴4ba⑵由抛物线的对称性可知，DODA∴点O在⊙D上，且DOADAO又由(1)知抛物线的解析式为24yaxax∴点D的坐标为(24a，)①当0a时，如图1，设⊙D被x轴分得的劣弧为OmA，它沿x轴翻折后所得劣弧为OnA，显然OnA所在的圆与⊙D关于x轴对称，设它的圆心为'D∴点'D与点D也关于x轴对称∵点O在⊙'D上，且OD与⊙'D相切∴点O为切点，∴'DOOD∴'45DOADOA∴ADO为等腰直角三角形，∴22OD∴点D的纵坐标为2，∴42a∴1422aba，∴抛物线的解析式为2122yxx②当0a时，同理可得：22OD抛物线的解析式为2122yxx综上，⊙D半径的长为22，抛物线的解析式为2122yxx或2122yxx⑶抛物线在x轴上方的部分上存在点P，使得43POAOBA∠∠设点P的坐标为(,xy)，且0y①当点P在抛物线2122yxx上时(如图2)∵点B是⊙D的优弧上的一点∴1452OBAADO∠∠，∴4603POAOBA∠∠过点P作PEx轴于点E，∴tanEPPOEOE∠，∴tan60yx，∴3yx由23122yxyxx解得：122142300643xxyy，(舍去)∴点P的坐标为423643，②当点P在抛物线2122yxx上时(如图3)，同理可得，3yx由23122yxyxx解得：122142300643xxyy，(舍去)∴点P的坐标为423643，综上，存在满足条件的点P，点P的坐标为：423643，或423643，点评：本题是一道二次函数与圆的综合题，解决本题的关键是：作出将劣弧沿x轴翻折后的弧所在圆⊙'D，并充分利用轴对称的性质．本题考点：1．直线与圆的位置关系(切线的性质)；2．轴对称；3．等腰直角三角形的性质，4．三角函数；5．二次函数解析式的确定．【例4】如图，在平面直角坐标系中，以点(04)C，为圆心，半径为4的圆交y轴正半轴于点A，AB是C⊙的切线．动点P从点A开始沿AB方向以每秒1个单位长度的速度运动，点Q从O点开始沿x轴正方向以每秒4个单位长度的速度运动，且动点P、Q从点A和点O同时出发，设运动时间为t(秒)．⑴当1t时，得到1P、1Q两点，求经过A、1P、1Q三点的抛物线解析式及对称轴l；⑵当t为何值时，直线PQ与C⊙相切？并写出此时点P和点Q的坐标；⑶在⑵的条件下，抛物线对称轴l上存在一点N，使NPNQ最小，求出点N的坐标并说明理由．lQ1P1yxQOPCBAlQ1P1MyxQOPCBA【解析】⑴由题意得A，1P，1Q的坐标分别为(08)A，，1(18)P，，1(40)Q，．设抛物线解析式为2yaxbxc，则880164cabcabc∴23a，23b，8c．∴所求抛物线为222833yxx．对称轴为直线l：12x．⑵设ta时，PQ与⊙C切于点M．连结CP，CM，CQ，则PAPMa，4QOOMa．又CP，CQ分别平分APQ和OQP而180APQOQP，∴90CPQCQP，∴90PCQ∵CMPQ，∴RtCMP∽RtQMC∴CMQMPMCM即444aa，∴2a由于时间a只能取正数，所以2a即当运动时间2t时，PQ与⊙C相切此时：(2P，8)，(8Q，0)⑶点P关于直线l的对称点为'(1P，8)则直线'PQ的解析式为：86499yx∴直线'PQ交直线l于N1(2，20)3，此时NPNQ最小，∴1(2N，20)3【例5】如图，点40M，，以点M为圆心、2为半径的圆与x轴交于点AB，．已知抛物216yxbxc过点A和B，与y轴交于点C．⑴求点C的坐标，并画出抛物线的大致图象．⑵点8Qm，在抛物线216yxbxc上，点P为此抛物线对称轴上一个动点，求PQPB最小值．⑶CE是过点C的M⊙的切线，点E是切点，求OE所在直线的解析式．MyxOEDCBA【解析】⑴由已知，得20A，，60B，，∵抛物线216yxbxc过点A和B，则221220,61660,6bcbc，解得4,3