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习题1131求下列幂级数的收敛域(1)x2x23x3nxn解11lim||lim1nnaannnn故收敛半径为R1因为当x1时幂级数成为1nn是发散的当x1时幂级数成为1)1(nnn也是发散的所以收敛域为(11)(2))1(21222nxxxnn解1)1(lim1)1(1lim||lim22221nnnnaannnnn故收敛半径为R1因为当x1时幂级数成为221)1(nnn是收敛的当x1时幂级数成为1211nn也是收敛的所以收敛域为[11](3))2(4264242232nxxxxn解0)1(21lim)!1(2!2lim||lim11nnnaannnnnnn故收敛半径为R收敛域为()(4)33332313322nnnxxxx解31131lim3)1(3lim||lim11nnnnaannnnnnn故收敛半径为R3因为当x3时幂级数成为11nn是发散的当x3时幂级数成为11)1(nnn也是收敛的所以收敛域为[33)(5)12102522223322nnxnxxx解21)1(1lim2211)1(2lim||lim222211nnnnaannnnnnn故收敛半径为21R因为当21x时幂级数成为1211nn是收敛的当x1时幂级数成为1211)1(nnn也是收敛的所以收敛域为]21,21[(6)11212)1(nnnnx解这里级数的一般项为12)1(12nxunnn因为212321|1232|lim||limxxnnxuunnnnnn由比值审敛法当x21即|x|1时幂级数绝对收敛当x21即|x|1时幂级数发散故收敛半径为R1因为当x1时幂级数成为1121)1(nnn是收敛的当x1时幂级数成为11121)1(nnn也是收敛的所以收敛域为[11](7)122212nnnxn解这里级数的一般项为22212nnnxnu因为22212121|)12(22)12(|lim||limxxnxnuunnnnnnnn由比值审敛法当1212x即2||x时幂级数绝对收敛当1212x即2||x时幂级数发散故收敛半径为2R因为当2x时幂级数成为1212nn是发散的所以收敛域为)2,2((8)1)5(nnnx解11lim||lim1nnaannnn故收敛半径为R1即当1x51时级数收敛当|x5|1时级数发散因为当x51即x4时幂级数成为1)1(nnn是收敛的当x51即x6时幂级数成为11nn是发散的所以收敛域为[46)2利用逐项求导或逐项积分求下列级数的和函数(1)11nnnx解设和函数为S(x)即11)(nnnxxS则][][])([)(1010110nxnxnnxdxnxdxnxdxxSxS)11()1(1]111[][21xxxxnn(2)11414nnnx解设和函数为S(x)即11414)(nnnxxS则dxxdxnxdxxSSxSxnnxnnx01401140]14[)()0()(xxdxxxdxx02204)112111211()111()11(arctan2111ln41xxxxx提示由)0()()(0SxSdxxSx得xdxxSSxS0)()0()((3)12531253nxxxxn解设和函数为S(x)即125312)(1253112nxxxxnxxSnnn则xnnxnnxdxxdxnxdxxSSxS012201120]12[)()0()()11(11ln211102xxxdxxx提示由)0()()(0SxSdxxSx得xdxxSSxS0)()0()(