春考数学知识点

2016天津春季高考数学知识点一、解不等式1、小于零，取中间；大于零，取两边例如：(x–2)(x+3)0è–3x2例如：(x+1)(x–4)0èx–1或x42、除法不等式：可以变成“乘法”不等式，前提：要把右侧变成0例如：1=0=0=(x–1)(x–3)0=1x33、绝对值不等式①|x–1|3=–3x–13=–2x4“小于，取中间”②|x–2|1=x–2–1或x–21=x1或x3“大于，取两边”4、不等式的解为R、或解为空集的问题一般情况下，利用判别式b2–4ac0(或≤0)进行处理。例如：x2–mx+10的解为R，求m的取值范围_____△=b2–4ac=m2–40=–2m2二、一元二次方程求根公式ax2+bx+c=0，则求根公式：x1,2=①当△=b2–4ac0时，有两个实根；②当△=b2–4ac=0时，有两个等根③当△=b2–4ac0时，无实根三、集合1、A∩B，表示求A、B的公共元素。例如：A={x|1x5}，A={x|2x6}，则A∩B={x|2x5}2、A∪B，表示将A、B的元素全都合在一起，重复写一遍。例如：A={x|1x5}，A={x|2x6}，则A∪B={x|1x6}3、CuA，表示在全集U中求A的补集。例如：U={1，2，3，4，5，6}，A={2，4，5}，则CuA={1，3，6}三、一元二次函数1、f(x)=ax2+bx+c(a≠0)对称轴x0=2、x无范围时，f(x)的最大值或最小值，只需将x0代入f(x)可得最大值或最小值：①a0，开口向上，f(x0)为最小值；②a0，开口向下，f(x0)为最大值3、若x有范围，则画出f(x)的示意图，再将x的范围标上，找f(x)的最高和最低值即可例如：y=x2–4x+5，x∈[1,4]，求函数的最大值和最小值。示意图如右，对称轴为x=2，标出x的范围，可以看出：ymin=f(2)=1，ymax=f(4)=5四、指数与指数函数1、运算性质a0=1，aman=am+n，(am)n=amn，(ab)n=anbn，，，，2、单调性f(x)=ax(a0，a≠1)当0a1时，f(x)为下降；当a1时，f(x)为上升；例如：解不等式：22x–1不等式可以化为：22x–12–2，因为a=2为上升的，所以：2x–1–2，得x–1/2五、对数与对数函数1、运算性质ab=N==logaN=b，当a=10时，logaN=lgNlogaMN=logaM+logaN，loga=logaM-logaN，loga1=0，logaa=12、实用性质：logab==当a、b同时大于1或同时小于1，则logab0logab==当a、b中一个小于1，另一个大于1，则logab0例如：0；0等。3、单调性f(x)=logax(a0，a≠1)当0a1时，f(x)为下降；当a1时，f(x)为上升；六、常用函数1、正比例函数：y=kx(k可正可负)例：正比例函数f(x)过点(2，6)，求f(1)解：设y=kx，代入点(2，6)，得6=2k，∴k=3，∴y=3x，所以y(1)=32、反比例函数：y=(k可正可负)，同法同上类似。3、一次函数：y=kx+b也表示直线，其中k为斜率，当k0时，上升；当k0时，下降。七、定义域求法1、分母不为02、偶次根式内要大于等于03、对数内的式子要大于0例如：求y=定义域。根据上面法则得：，即可求出定义域。八、奇函数与偶函数1、偶函数：f(–x)=f(x)①偶函数的图像关于y轴对称；②偶函数求参数问题，可以取x=1进行求解参数。例如：已知f(x)=(x–m)(x+3)为偶函数，求m解：可以取x=1，利用f(–1)=f(1)求m，f(–1)=2(–1–m)=–2–2m，f(1)=4(1–m)由f(–1)=f(1)，可得m=3③常见的偶函数：y=x2，y=cosx，y=|x|2、奇函数：f(–x)=–f(x)①奇函数的图像关于原点对称（即斜对称）；②若f(0)有意义，则f(0)=0③奇函数求参数问题：可利用f(0)=0求解参数；若f(0)=0求解失效，可取x=1求解参数。例如：已知f(x)=为奇函数，求m解：取x=0，利用f(0)=0求m，f(0)=m–2=0，可得m=2④常见的奇函数：y=x，y=，y=x3，y=sinx，y=tanx九、向量1、设向量a，则|a|表示向量a的模，即向量a的长度。2、向量平行于垂直定理：①若a、b平行，则a=kb②若a⊥b，则ab=03、a2=|a|24、向量夹角公式：，其中θ为两向量的夹角。说明：只要题目中牵涉到角的问题，则必须用上面的公式。5、向量的坐标运算：设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)①a±b=(x1±x2，y1±y2)②ab=x1x2+y1y2③|a|=④设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则向量=(x2–x1，y2–y1)④若a//b，则：x1y2=x2y1，若a⊥b，则：ab=x1x2+y1y2=0例1：a=(m+1，3)，b=(-2m，8)，若a⊥b，求m。解：因为垂直，所以ab=0，∴-2m(m+1)+24=0，解得m=3或m=-4十、数列1、等差数列①通项公式：an=a1+(n–1)d②前n项和公式：Sn=，一般情况下，均利用第1个公式。③等差中项：若a、b、c为等差数列，则a+c=2b，b称为等差中项。说明：做等差题目，只需将题目中的有关数，全都更换为a1和d，即可求解。2、等比数列①通项公式：an=a1qn-1②前n项和公式：Sn=，一般情况下，均利用第1个公式。③等比中项：若a、b、c为等比数列，则ac=b2，b称为等比中项。说明：做等比题目，只需将题目中的有关数，全都更换为a1和q，再利用除法运算可求解。十一、排列、组合1、排列：=n(n–1)…(n–m+1)，即从n开始向下乘，共乘m个数。2、组合：=，其中分子是从n开始向下乘，共乘m个数。说明：如果顺序变化，结果不相同，则为排列；若结果与顺序无关，则为组合。3、常见排列：站队、排值日、组成3位数字、选课代表、选班长等。4、常见组合：任取几个球、任取几个人、任取几件产品等均为组合。5、排列组合的常见模型①捆绑法：例如6个人站队，甲、乙需要相邻，有多少种站法？可以将甲、乙捆绑为1人进行处理，相等于5人，共有种站法，其中甲、乙两人之间还可以排列，所以共种站法。②插空法：例如5男3女站队，要求女生不相邻，求排法？先排男生，产生6个空位，再从6个空位选择3个给女生，所以为③骰子题目：只需列出36种可能，再按照题目要求进行排查即可。④住房问题：例如：4人住3个不同房间，每个房间至少一人，共有多少种住法？同一个房间的二人无顺序，因此，先要绑定二人，相当于3人，再安排到每个房间，所以共有住法十二、概率、统计1、概率①排列组合算概率：概率p=相关数/总数②概率算概率：这类题目一般不需要排列。例如：甲投篮命中率为0.9，乙命中率为0.8，两人各投一次，求至少一人命中的概率。所求为：甲命中·乙未命中+甲未命中·乙命中+甲乙均命中=0.9×0.2+0.1×0.8+0.9×0.8=0.98处理这类题目，一定将过程弄清楚，过程清楚了，式子自然就出来了。③伯努力公式：设单次试验发生的概率为p，则重复做n次试验，恰好发生k次的概率：特点：连续试验，恰好发生k次。例如：投篮命中率为0.9，现连续投篮3次，则恰好投中两次的概率是多少？解：此题为伯努力题型，n=3，k=2，p=0.9所以：p==0.2433、概率分布例如：设随机变量ξ的分布列为：ξ1234P0.20.20.30.3①分布列的特点：所有概率之和为1②均值或期望Eξ的计算公式：上下相乘，再加起来：1×0.2+2×0.2+3×0.3+4×0.3=2.7③方差Dξ的计算公式：Dξ=E(ξ2)–[E(ξ)]2其中E(ξ2)=12×0.2+22×0.2+32×0.3+42×0.3=8.5即用ξ的平方×对应的概率值，再求和即可。所以，对于本例，Dξ=E(ξ2)–[E(ξ)]2=8.5–(2.7)2=0.71④求P(2≤ξ≤3)，只需将ξ=2或ξ=3的概率相加即可。P(2≤ξ≤3)=0.2+0.3=0.53、分层抽样按比例计算即可。4、频率直方图①样本容量：所研究的元素的个数。例如从全校1000名学生中抽取50人进行测试，则50为样本容量。②频率：相当于概率，或百分比③频数：元素个数例如：从全校1000名学生中取50（50即为容量，不是1000）人测试，测试结果如下：分数范围10-60分60-90分90分以上人数10355频率0.20.70.1其中各组人数即为频数。频率也是百分比，或概率。④频率直方图频率直方图左侧的y轴数据，是利用频率除以组距得到的，因此，若要利用左侧的数据计算频率(或百分比)，就用“左侧的数×组距”即可。注意：左侧的所有数之和×组距=1十三、三角1、特殊角的三角函数值Α0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°sinα010-1cosα10----102、任意角的三角函数：设角α终边上一点P(x，y)，r=，则：sinα=cosα=tanα=3、各三角函数的正负情况：sinα：①②正，③④负；cosα：①④正，②③负tanα：①③正，②④负4、同角三角函数关闭sin2α+cos2α=1tanα=5、诱导公式：纵变横不变，正负看象限纵变横不变：若角为纵角，如，等，诱导时就需要变，sinα，cosα之间变。若角为恒角如π等，则函数不需要变。正负看象限：看原始函数所在象限的正负情况。例1：sin(π+α)，因为π为横角，所以不变仍为sinα，又因为π+α表示第三象限，正弦在第三象限为负的，因此，诱导结果为：sin(π+α)=-sinα例2：cos(+α)，因为π/2为纵角，所以需要变为sinα，又因为π/2+α表示第二象限，余弦在第二象限为负的，因此，诱导结果为：cos(+α)=-sinα6、加法公式①sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβsin(α–β)=sinαcosβ–cosαsinβ②cos(α+β)=cosαcosβ–sinαsinβcos(α–β)=cosαcosβ+sinαsinβ③tan(α+β)=tan(α–β)=7、二倍角公式①sin2α=2sinαcosα②cos2α=2cos2α–1=1–2sin2α=cos2α–sin2α③tan2α=tanα01×--1-0×