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8.7抛物线-2-知识梳理考点自诊1.抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的,直线l叫做抛物线的.距离相等焦点准线注意若定点F在定直线l上,则动点的轨迹为过点F且垂直于l的一条直线.-3-知识梳理考点自诊2.抛物线的几何性质标准方程y2=2px(p0)y2=-2px(p0)x2=2py(p0)x2=-2py(p0)p的几何意义:焦点F到准线l的距离图形顶点对称轴焦点Fp2,0F-p2,0F0,p2F0,-p2离心率e=准线方程x=-p2x=p2y=-p2y=p2(0,0)y=0x=01-4-知识梳理考点自诊标准方程y2=2px(p0)y2=-2px(p0)x2=2py(p0)x2=-2py(p0)p的几何意义:焦点F到准线l的距离范围x≥0,y∈Rx≤0,y∈Ry≥0,x∈Ry≤0,x∈R开口方向向右向左向上向下焦半径(其中P(x0,y0))|PF|=x0+𝑝2|PF|=-x0+𝑝2|PF|=y0+𝑝2|PF|=-y0+𝑝2-5-知识梳理考点自诊-6-知识梳理考点自诊-7-知识梳理考点自诊-8-知识梳理考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.()(2)若直线与抛物线只有一个交点,则直线与抛物线一定相切.()(3)若一抛物线过点P(-2,3),则其标准方程可写为y2=2px(p0).()(4)抛物线既是中心对称图形,又是轴对称图形.()(5)方程y=ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线,且其焦点坐标是.()𝑎4,0×××××-9-知识梳理考点自诊2.(2019广东中山一中等七校联考,4)已知抛物线y2=24ax(a0)上的点M(3,y0)到焦点的距离是5,则抛物线的方程为()A.y2=8xB.y2=12xC.y2=16xD.y2=20xA解析:由题意知,3+6a=5,a=13,∴抛物线方程为y2=8x.故选A.3.M是抛物线C:y2=2px(p0)上一点,F是抛物线C的焦点,O为坐标原点,若|MF|=p,K是抛物线C的准线与x轴的交点,则∠MKO=()A.15°B.30°C.45°D.60°C解析:由题意,得点M的坐标为𝑝2,𝑝.∵K-𝑝2,0,∴kKM=1.∴∠MKO=45°,故选C.-10-知识梳理考点自诊4.(2019四川双流中学一模,6)过抛物线y2=mx(m0)的焦点作直线交抛物线于P,Q两点,若线段PQ中点的横坐标为3,|PQ|=m,则m=()A.4B.6C.8D.1054C解析:设PQ的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),线段PQ中点的横坐标为3,则𝑥1+𝑥22=3,|PQ|=x1+x2+𝑚2=6+𝑚2=54m,解得m=8.-11-知识梳理考点自诊5.(2019山东实验中学质检,14)设抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F(1,0),过点P(1,1)的直线l与抛物线C交于A,B两点,若P恰好为线段AB的中点,则|AB|=.√15解析:由于焦点F(1,0),故𝑝2=1,p=2,抛物线方程为y2=4x.设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意知直线l的斜率存在且不为零,设l:y-1=k(x-1),由𝑦-1=𝑘(𝑥-1),𝑦2=4𝑥,消去x,得ky2-4y+4-4k=0,由P为线段AB的中点可知,y1+y2=4𝑘=2,所以k=2,所以直线l的方程为y=2x-1,y1y2=-2,所以|AB|=1+1𝑘2·(𝑦1+𝑦2)2-4𝑦1𝑦2=√15.-12-考点1考点2考点3考点4考点5抛物线的定义及其应用例1(1)过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A,B两点,O为坐标原点.若|AF|=3,则△AOB的面积为()(2)(多选)设抛物线y2=2px(p0)的焦点为F,点M在y轴上,若线段FM的中点B在抛物线上,且点B到抛物线准线的距离为,则点M的坐标为()A.(0,-4)B.(0,-2)C.(0,2)D.(0,4)(3)(2019河南洛阳模拟,8)已知直线y=k(x+2)(k0)与抛物线C:y2=8x相交于A,B两点,F为C的焦点,若|FA|=2|FB|,则点A到抛物线的准线的距离为()A.6B.5C.4D.3A.√22B.√2C.3√22D.2√2CBA3√24-13-考点1考点2考点3考点4考点5解析:(1)焦点F(1,0),设A,B分别在第一、四象限,则点A到准线l:x=-1的距离为3,得点A的横坐标为2,纵坐标为2√2,直线AB的方程为y=2√2(x-1),与抛物线方程联立可得2x2-5x+2=0,所以点B的横坐标为12,纵坐标为-√2,S△AOB=12×1×(2√2+√2)=3√22.(2)根据题意,抛物线y2=2px的焦点为𝑝2,0,准线方程为x=-𝑝2,设点B的坐标为(m,n),若B为FM的中点,则m=0+𝑝22=𝑝4.又由点B到抛物线准线的距离为3√24,则𝑝4−-𝑝2=3√24,解得p=√2,则抛物线的方程为y2=2√2x.且m=√24,点B在抛物线上,则n2=2√2×√24=1,解得n=±1,点B的坐标为√24,±1.因此点M的坐标为(0,2)或(0,-2).故选BC.-14-考点1考点2考点3考点4考点5(3)由题意得,抛物线y2=8x的准线方程为l:x=-2,直线y=k(x+2)恒过定点(-2,0),如图过A,B分别作AM⊥l于M,BN⊥l于N,连接OB,由|FA|=2|FB|,则|AM|=2|BN|,点B为AP的中点,因为点O是PF的中点,则|OB|=12|AF|,所以|OB|=|BF|,所以点B的横坐标为1,所以点B的坐标为(1,2√2),同理可得点A(4,4√2),所以点A到抛物线准线的距离为4+2=6,故选A.-15-考点1考点2考点3考点4考点5思考如何灵活应用抛物线的定义解决距离问题?解题心得1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时,一般运用定义转化为到准线距离处理.2.若P(x0,y0)为抛物线y2=2px(p0)上一点,由定义易得|PF|=x0+;若过焦点的弦AB的端点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),则弦长为|AB|=x1+x2+p,x1+x2可由根与系数的关系整体求出;若遇到其他标准方程,则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到.𝑝2-16-考点1考点2考点3考点4考点5对点训练1(1)(2019河南豫北豫南联考)如图,过抛物线y2=8x的焦点F的直线l与抛物线交于A,B两点,与抛物线准线交于C点,若B是AC的中点,则|AB|=()A.8B.9C.10D.12(2)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与抛物线C的一个交点,若𝐹𝑃=4𝐹𝑄,则|QF|=()A.72B.52C.3D.2BC-17-考点1考点2考点3考点4考点5解析:(1)如图,设A,B在准线上的射影分别为D,E,且设AB=BC=m,直线l的倾斜角为α.则|BE|=m|cosα|,所以|AD|=|AF|=|AB|-|BF|=|AB|-|BE|=m(1-|cosα|),所以|cosα|=|𝐴𝐷||𝐴𝐶|=𝑚(1-|cos𝛼|)2𝑚,解得|cosα|=13.方法一:由抛物线焦点弦长公式|AB|=2𝑝sin2𝛼可得|AB|=81-19=9,故选B.方法二:由|cosα|=13得tanα=±2√2,得直线方程,与抛物线联立进而可解得xA+xB=5,于是|AB|=xA+xB+4=9,故选B.-18-考点1考点2考点3考点4考点5(2)∵𝐹𝑃=4𝐹𝑄,∴|𝐹𝑃|=4|𝐹𝑄|.∴|𝑃𝑄||𝑃𝐹|=34.过Q作QQ'⊥l,垂足为Q',设l与x轴的交点为A(图略),则|AF|=4,∴|𝑃𝑄||𝑃𝐹|=|𝑄𝑄'||𝐴𝐹|=34,∴|QQ'|=3,根据抛物线定义可知|QF|=|QQ'|=3,故选C.-19-考点1考点2考点3考点4考点5抛物线的方程及几何性质例2(1)(2019黑龙江牡丹江模拟,4)经过点P(4,-2)的抛物线的标准方程是()A.y2=x或x2=yB.y2=x或x2=8yC.x2=y或y2=-8xD.y2=x或x2=-8y(2)已知点P(-1,4),过点P恰存在两条直线与抛物线C有且只有一个公共点,则抛物线C的标准方程为()A.x2=14yB.x2=4y或y2=-16xC.y2=-16xD.x2=14y或y2=-16xDD-20-考点1考点2考点3考点4考点5解析:(1)由于点P(4,-2)在第四象限,故抛物线可能开口向右,也可能开口向下.故可设抛物线的标准方程为y2=2px(p0),或x2=-2my(m0),把点P(4,-2)代入方程可得p=12或m=4,故抛物线的标准方程y2=x或x2=-8y,故选D.(2)∵过点P恰存在两条直线与抛物线C有且只有一个公共点,∴P一定在抛物线C上,若抛物线焦点在x轴上,设抛物线方程为y2=2px,将P(-1,4)代入方程可得2p=-16,故抛物线C的标准方程为y2=-16x;若抛物线焦点在y轴上,设抛物线方程为x2=2py,将P(-1,4)代入方程可得2p=14,故抛物线C的标准方程为x2=14y,故选D.-21-考点1考点2考点3考点4考点5思考求抛物线标准方程的常用方法和关键是什么?解题心得1.求抛物线的标准方程主要利用待定系数法,因为抛物线方程有四种形式,所以在求抛物线方程时,需先定位,再定量,必要时要进行分类讨论.标准方程有时可设为y2=mx或x2=my(m≠0).2.由抛物线的方程可以确定抛物线的开口方向、焦点位置、焦点到准线的距离,从而进一步确定抛物线的焦点坐标及准线方程.-22-考点1考点2考点3考点4考点5对点训练2(1)(2019河南名校联考,5)已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,点M(x0,2√2)𝑥0𝑝2是抛物线C上的一点,以点M为圆心的圆与直线x=𝑝2交于E,G两点,若sin∠MFG=13,则抛物线C的方程是()A.y2=xB.y2=2xC.y2=4xD.y2=8x(2)抛物线E:y2=2px(p0)的焦点为F,点A(0,2),若线段AF的中点B在抛物线上,则|BF|=()A.54B.52C.√22D.3√24CD-23-考点1考点2考点3考点4考点5解析:(1)画出图形如图所示,作MD⊥EG,垂足为点D.由题意得点M(x0,2√2)𝑥0𝑝2在抛物线上,则8=2px0,得px0=4①.由抛物线的性质,可知|DM|=x0-𝑝2,因为sin∠MFG=13,所以|DM|=13|MF|=13𝑥0+𝑝2.所以x0-𝑝2=13𝑥0+𝑝2,解得x0=p②.由①②,解得x0=p=-2(舍去)或x0=p=2.故抛物线C的方程是y2=4x.故选C.-24-考点1考点2考点3考点4考点5(2)点F的坐标为𝑝2,0,所以AF中点B的坐标为𝑝4,1,因为B在抛物线上,所以将B的坐标代入抛物线方程可得1=𝑝22,解得p=√2或-√2(舍),则点F坐标为√22,0,点B的坐标为√24,1,由两点间距离公式可得|BF|=3√24.故选D.-25-考点1考点2考点3考点4考点5与抛物线相关的最值问题(2)已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与C交于A,B两点,直线l2与C交于D,E两点,则|AB|+|DE|的最小值为()A.16B.14C.12D.10例3(1)(2019山东烟台联考,9)已知圆C1:(x-3)2+(y-2√2)2=1和焦点为F的抛物线C2:y2=8x,N是C1上一点,M是C2上一点,当点M在M1时,|MF|+|MN|取得最小值,当点M在M2时,|MF|-|MN|取得最大值,则|M1M2|=()A.2√2B.3√2C.4√2D.√17DA-26-考点1考点2考点3考点4考点5解析:由