高中数学知识点复数

第1页共5页高中数学第十五章复数考试内容：复数的概念．复数的加法和减法．复数的乘法和除法．数系的扩充．考试要求：（1）了解复数的有关概念及复数的代数表示和几何意义．（2）掌握复数代数形式的运算法则，能进行复数代数形式的加法、减法、乘法、除法运算．（3）了解从自然数系到复数系的关系及扩充的基本思想．§15.复复数数知知识识要要点点1.⑴复数的单位为i，它的平方等于－1，即1i2.⑵复数及其相关概念：①复数—形如a+bi的数（其中Rba，）；②实数—当b=0时的复数a+bi，即a；③虚数—当0b时的复数a+bi；④纯虚数—当a=0且0b时的复数a+bi，即bi.⑤复数a+bi的实部与虚部—a叫做复数的实部，b叫做虚部（注意a，b都是实数）⑥复数集C—全体复数的集合，一般用字母C表示.⑶两个复数相等的定义：00babiaRdcbadbcadicbia）特别地，，，，（其中，且.⑷两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小.第2页共5页注：①若21,zz为复数，则1若021zz，则21zz.（×）[21,zz为复数，而不是实数]2若21zz，则021zz.（√）②若Ccba,,，则0)()()(222accbba是cba的必要不充分条件.（当22)(iba，0)(,1)(22accb时，上式成立）2.⑴复平面内的两点间距离公式：21zzd.其中21zz，是复平面内的两点21zz和所对应的复数，21zzd和表示间的距离.由上可得：复平面内以0z为圆心，r为半径的圆的复数方程：）（00rrzz.⑵曲线方程的复数形式：①00zrzz表示以为圆心，r为半径的圆的方程.②21zzzz表示线段21zz的垂直平分线的方程.③212121202ZZzzaaazzzz，）表示以且（为焦点，长半轴长为a的椭圆的方程（若212zza，此方程表示线段21ZZ，）.④），（2121202zzaazzzz表示以21ZZ，为焦点，实半轴长为a的双曲线方程（若212zza，此方程表示两条射线）.⑶绝对值不等式：设21zz，是不等于零的复数，则①212121zzzzzz.左边取等号的条件是），且（012Rzz，右边取等号的条件是），（012Rzz.②212121zzzzzz.左边取等号的条件是），（012Rzz，右边取等号的条件是），（012Rzz.注：nnnAAAAAAAAAA11433221.第3页共5页3.共轭复数的性质：zz2121zzzzazz2，i2bzz（za+bi）22||||zzzz2121zzzz2121zzzz2121zzzz（02z）nnzz)(注：两个共轭复数之差是纯虚数.（×）[之差可能为零，此时两个复数是相等的]4⑴①复数的乘方：)(...Nnzzzzznn②对任何z，21,zzC及Nnm,有③nnnnmnmnmnmzzzzzzzzz2121)(,)(,注：①以上结论不能拓展到分数指数幂的形式，否则会得到荒谬的结果，如1,142ii若由11)(212142ii就会得到11的错误结论.②在实数集成立的2||xx.当x为虚数时，2||xx，所以复数集内解方程不能采用两边平方法.⑵常用的结论：1,,1,,143424142nnnniiiiiii)(,0321Zniiiinnnniiiiiiii11,11,2)1(2若是1的立方虚数根，即i2321，则.)(0,01,1,,121223Znnnn第4页共5页5.⑴复数z是实数及纯虚数的充要条件：①zzRz.②若0z，z是纯虚数0zz.⑵模相等且方向相同的向量，不管它的起点在哪里，都认为是相等的，而相等的向量表示同一复数.特例：零向量的方向是任意的，其模为零.注：||||zz.6.⑴复数的三角形式：)sin(cosirz.辐角主值：适合于0≤＜2的值，记作zarg.注：①z为零时，zarg可取)2,0[内任意值.②辐角是多值的，都相差2的整数倍.③设,Ra则23)arg(,2arg,)arg(,0argaiaiaa.⑵复数的代数形式与三角形式的互化：)sin(cosirbia，22bar，rbrasin,cos.⑶几类三角式的标准形式：)]sin()[cos()sin(cosirir)]sin()[cos()sin(cosirir)]sin()[cos()sincos(irir)]2sin()2[cos()cos(sinirir7.复数集中解一元二次方程：在复数集内解关于x的一元二次方程)0(02acbxax时，应注意下述问题：①当Rcba,,时，若＞0，则有二不等实数根abx22,1；若=0，则有二相等实数第5页共5页根abx22,1；若＜0，则有二相等复数根aibx2||2,1（2,1x为共轭复数）.②当cba,,不全为实数时，不能用方程根的情况.③不论cba,,为何复数，都可用求根公式求根，并且韦达定理也成立.8.复数的三角形式运算：)]sin()[cos()sin(cos)sin(cos212121222211irririr)]sin()[cos()sin(cos)sin(cos212121222211irririr棣莫弗定理：)sin(cos)]sin(cos[ninrirnn