计算流体力学电子教案

计算流体力学电子教案目录•第一章绪论•第二章扩散问题的有限体积法•第三章对流扩散问题的有限体积法•第四章差分格式问题•第五章压力--速度耦合问题的有限体积法•第六章有限体积法离散方程的解法•第七章非稳态流动问题的有限体积法•第八章边界条件处理第二章扩散问题的有限体积法2-1一维稳态扩散问题的FVM计算格式2-2多维稳态扩散问题的FVM求解预备知识：高斯公式(奥氏公式）)()coscos(cos)()(dxdyadxdzadydzadAaaadVzayaxadAdVdivzyAxzyAxVzyxAVana或：写出一维条件下的奥氏公式通用变量方程)351()()()(SdivdivtgraduSdivt)()(grad0)(SdivgradSdivdivt)()()(graduSdivdiv)()(graduSnpdivdivt)()()(gradv瞬态扩散方程稳态扩散方程瞬态对流扩散方程稳态对流扩散方程压力速度耦合方程非定常项对流项扩散项源项2-1一维稳态扩散问题的FVM计算格式由通用变量方程得稳态扩散方程为：0)(Sdivgrad2-1-1一维稳态扩散方程0)()()(Szzyyxxzyx将上式按张量运算法则展开得：0)(Sdxddxd由上式得一维条件下的稳态扩散方程：上式中,为通用变量，可为温度、速度等变量；为扩散系数或粘性系数，S为源项。2-1-2求解一维稳态扩散问题的步骤第一步生成离散网格第二步由控制方程(积分形式)形成离散方程组第三步求解方程组第一步：生成离散网格控制体的划分（先划分控制体后定节点,节点在控制体中心）相关的尺寸定义（约定：大写字母代表节点，小写字母代表边界。）第二步：由控制方程(积分形式)形成离散方程组一维稳态扩散控制方程为：将此控制方程在某控制体上积分:0)(dVSdVdxddxdVV则由奥氏公式或高斯散度定理有：)12(0)(Sdxddxd0)()()()(VSdxdAdxdAdVSdAdxddVSdVdxddxdweVAVVn式中，控制体的体积为ΔV，全部表面积为A，源项在控制体中的平均值为S上式有明确的物理意义：场变量的净增扩散量（即自西侧界面流入的扩散流量减去东侧界面流出的扩散流量）等于源项产生的扩散流量。0)()(VSdxdAdxdAwe积分方程中的下标e、w表示控制体的界面（不是节点处），意味着我们需要知道扩散系数___和场变量的梯度在控制体东西边界上的值。这些值可由节点处的值插值得到。若采用线性插值(近似处理)，对于均匀网格有：2,2EPePWw同理，有：WPWPwwPEPEeexxdxdxxdxd于是，通过界面的扩散流量为接下来处理源项，源项可能为常数，也可能为场变量的函数，对其进行线性化处理，得：)()()()(WPWPPPuSSVS将以上三式代入积分后的控制方程（即下式）中0)()(VSdxdAdxdAwe将上式按场变量的节点值进行整理，得：0)()()(PPuWPWPwwPEPEeeSSxAxA令uEePEe)()()(PEWPePEeEwWPwWSaaaAxaAxa,,）82（uEEWWPPSaaa得离散方程：对于每一个节点（控制体）都可建立一个离散方程，所有节点的离散方程构成一个方程组。由上式形成的方程组是三元一次的线性方程组，该方程的特点是具有三条对角线，故称为三对角线性方程。目前可暂用matlab中A\b语句求解（高斯消元法）。下面用两个例题说明有限体积法如何求一维稳态扩散问题。uEEWWPPSaaa第三步：解方程组例2.1用有限体积法求解无热源一维稳态导热问题图示绝热棒长0.5m，截面积A=10-2m2，左右端温度保持为TA=100ºC，TB=500ºC。棒材料导热系数k=1000W/(m·K)。求绝热棒在稳定状态下的温度分布。解：本问题的控制微分方程为0)(dxdTkdxd)12(0)(Sdxddxd可将此式与（2-1）式比较,可采用三步求解方法。第一步：生成离散网格（先控制体后节点）,生成5个单元（本问题有解析解）第二步：构造离散方程对求解域中的2、3、4节点应用离散方程(2-8)EePEe)()()(EEWWPPTaTaTaWPEWaaAxkaa2,因xxxAAAkkkPEWPweew,,故有：式中：由此得到3个方程EEWWPPTaTaTa2002,10001.01.01000WPEWaaAxkaa534423312100100200100100200100100200TTTTTTTTT对于2号控制体对于3号控制体对于4号控制体5个未知数，3个方程。可见不引入边界条件是没法求解的对求解域中的边界节点1、5的离散方程需作特殊处理。方法仍然是对微分方程在边界控制体内积分。微分方程为：0)(dxdTkdxd上式在左边界控制体上积分，得：)122(0)2/()(xTTkAxTTkAAPPE0)2/()(112xTTkAxTTkAA即在上述过程中有一假定：认为A点的温度梯度dT/dx与A点和1点的温度线性相关将（2-12）式按节点温度整理得：)122(0)2/()(xTTkAxTTkAAPPEAEWPTAxkTAxkTTAxkAxk)2()(0)2(）82（uEEWWPPSaaa将上式与（2-8）式对照可知，边界条件可以转化成源项进入控制容积积分方程。即左边界的离散方程可以写成：PEWPePEeEwWPwWSaaaAxaAxa,,式中）142（uEEWWPPSTaTaTa同理可对右边界控制体进行处理，得PEWPEWSaaaAxkaa,,0式中AuPTAxkSAxkS2，2）142（uEEWWPPSTaTaTaPEWPWESaaaAxkaa,,0BuPTAxkSAxkS2，2式中根据以上过程可以得到左右边界控制体的离散方程：0)2/()(112xTTkAxTTkAA0)()2/(455xTTkAxTTkAB右端控制体左端控制体0)()22(0)22()(455112TTTTTTTTBA534423312100100200100100200100100200TTTTTTTTTBATTTTTTTTTTTTTTT23222234553442331221TA=100ºC，TB=500ºC第三步解线性方程组46038030022014054321TTTTT本问题的解析解为：T=800x+100例2.2用有限体积法求解有内热源一维稳态导热问题图示厚度为L=2cm的无限大平板，导热系数k=0.5W/(m·K)，板内有均匀内热源q=1000kW/m3,表面温度A、B分别保持为TA=100ºC，TB=200ºC。求板内x向的温度分布。解：由于板在y、z方向为无限大，因此可作为一维问题处理，即只考虑x方向。相对于无源问题，控制方程中增加了源项。即0)(qdxdTkdxd）（82uEEWWPPSaaaPEWPePEeEwWPwWSaaaAxaAxa,,第一步：生成离散网格（先控制体后节点）,生成5个单元）82（uEEWWPPSaaaPEWPePEeEwWPwWSaaaAxaAxa,,第二步：构造离散方程方法一：可以直接套用公式(2-8)，但边界节点需特殊处理。PPuSSVS式中注：方法二：也可通过对控制方程的积分推导出离散方程，同例2.1的过程，以下用方法求离散方程。)12(0)(Sdxddxd0)(dVSdVdxddxdVV)212(0)()(本题：)22(0)()()()(VqdxdTkAdxdTkAVSdxdAdxdAdVSdAdxddVSdVdxddxdweweVAVVn0)(本题：qdxdTkdxd)212(0)()(本题：VqdxdTkAdxdTkAwexAV0)()(xqdxdTkdxdTkwe由于有厚度L=2cm，导热系数k=0.5W/(m·K)，板内均匀内热源q=1000kW/m3,表面温度A、B分别保持为TA=100ºC，TB=200ºC。求板内x向的温度分布。0004.0100.004-0.50.002-0.50004.0100.002-0.50.004-0.50004.0100.004-0.50.004-0.50004.0100.004-0.50.004-0.50004.0100.004-0.50.004-0.50)()(6455B6A112634456233461223TTTTTTTTTTTTTTTTTTTTxqdxdTkdxdTkwe由得控制体2、3、4、1、5的离散方程为（打一4个字母的英文单词）2-2多维稳态扩散问题的FVM求解2-2-1二维稳态扩散问题的有限体积法第一步：生成离散网格由通用变量方程得稳态扩散方程为：0)(Sdivgrad0)()()(Szzyyxxzyx将上式按张量运算法则展开得：由上式得二维条件下的稳态扩散方程：0)()(Syyxxyx下面，对上式在控制体上进行积分第二步：构造离散方程控制微分方程在控制体上积分：0)]()([VyVxSdVdVyyxx0]cos0cos)(cos)[(VyxSdVdSyx应用高斯散度定理：式中：S为控制体表面，α、β、γ为S上任一微小表面的外法线与xyz轴的夹角积分上式得：0]cos)(cos)[(VyxSdVdSyx0])()([])()([VSyAyAxAxAsssnnn用线性插值方法，可将上式第一~四项中的偏导数表示为：PEPEexx)(WPWPwxx)(PNPNnyy)(SPSPsyy)(将以上四项的表达式代入积分方程，得：0])()([])()([VSyAyAxAxAsSPSPssnPNPNnnwWPWPwwePEPEeePPuSSVS并对源项进行线性化处理，即：整理得：uNPNnnSSPssEPEeeWWPwwPPPNnnSPssPEeeWPwwSyAyAxAxASyAyAxAxA)()()()(][写成通用形式uNNSSEEWWPPSaaaaa通用离散方程:PNnnNSPssSPEeeEWP