函数的单调性与最值ppt课件

第三节函数的单调性与最值基础梳理1.定义：在函数y＝f(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两个数x1，x2A，当x1x2时，都有________________，那么就说f(x)在_______上是增加的(减少的)．注意：(1)函数的单调性是在________内的某个区间上的性质，是函数的______性质；(2)必须是对于区间A内的______两个自变量x1，x2，即当x1x2时，总有f(x1)f(x2)(f(x1)f(x2))．f(x1)f(x2)(f(x1)f(x2))局部定义域任意区间A2.如果函数y＝f(x)在整个定义域内是增加的或是减少的，我们分别称这个函数为________或________，统称单调函数．增函数减函数3.复合函数的单调性对于函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果当x∈(a，b)时，u∈(m，n)，且u＝g(x)在区间(a，b)上和y＝f(u)在区间(m，n)上同时具有单调性，那么复合函数y＝f(g(x))在区间(a，b)上具有________，并且具有这样的规律：“________”，见表.y＝f(u)增函数减函数u＝g(x)增函数减函数增函数减函数y＝f(g(x))单调性同增异减增函数增函数减函数减函数增函数减函数基础达标1.(教材改编题)下列函数中，在区间(0,2)上为增函数的是()A.y＝－x＋1B.y＝C.y＝x2－4x＋5D.y＝x2x解析：结合函数的图象可知只有选项B对应的函数满足题意．B2.(教材改编题)f(x)＝4x2－mx＋5在[－2，＋∞)为增函数，f(1)的取值范围是()A.(－∞，25]B.(25，＋∞)C.[25，＋∞)D.(－∞，25)解析：由题意知对称轴≤－2，即m≤－16，所以f(1)＝9－m≥25.8mC3.若函数y＝ax与y＝－在(0，＋∞)上都是减函数，则y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上是()A.增函数B.减函数C.先增后减D.先减后增bxB解析：由题意可知a＜0，b＜0，∴y＝ax2＋bx的对称轴方程：x＝＜0，又∵a＜0，∴y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上为减函数．2ba4.函数f(x)＝在[2,3]上的最小值为________，最大值为________．11x1,12解析：∵f(x)在(1，＋∞)上为减函数，∴f(x)在[2,3]上单调递减，∴f(x)min＝f(3)＝，f(x)max＝f(2)＝1.125.函数的单调递减区间是________．12log3yx解析：令u＝|x－3|，则在(－∞，3)上u为x的减函数，在(3，＋∞)上u为x的增函数．又∵01，∴在定义域内为减函数，∴在区间(3，＋∞)上y为x的减函数．1212logyu(3，＋∞)经典例题【例1】判断并证明函数f(x)＝，x∈[－1，＋∞)的单调性．题型一函数单调性的判断与证明1x解：函数f(x)=在[-1，+∞)上为增函数，证明如下：任取x1、x2∈[-1，+∞)且-1≤x1x2，f(x1)-f(x2)=1x11x21x121212111111xxxxxx12121212111111xxxxxxxx∵-1≤x1x2，∴x1-x20，1210,10xx1212011xxxx即f(x1)-f(x2)0，f(x1)f(x2)．∴函数f(x)=在[-1，+∞)上为增函数．1x判断并证明函数f(x)＝(a0)在x∈(－1,1)上的单调性．变式1－121axx方法一(定义法)：设－1x1x21，则f(x1)－f(x2)=∵-1x1x21，∴x2-x10，x1x2+10，(x12-1)(x22-1)0.又a0，∴f(x1)-f(x2)0，函数f(x)在(-1,1)上为减函数．12221211axaxxx221212122212(1)(1)axxaxaxxaxxx21122212()(1)(1)(1)axxxxxx方法二(导数法)：∵a0，x2+10，(x2-1)20，∴f‘(x)0，∴函数f(x)在(-1,1)上为减函数．2'22(1)()(1)axfxx题型二求函数的单调区间【例2】求函数f(x)＝x＋的单调区间．1x分析：利用定义法或导数法．解：方法一：首先确定定义域{x|x≠0}，所以要在(-∞，0)和(0，+∞)两个区间上分别讨．任取x1，x2∈(0，+∞)且x1x2，则f(x2)-f(x1)=要确定此式的正负只要确定1-的正负即可．12212112121=(x-x)+=(x-x)1xxxxxx121xx212111x-xxx这样，又需要判断大于1，还是小于1.由于x1、x2的任意性，考虑到要将(0，+∞)分为(0,1)与(1，+∞)．(1)当x1、x2∈(0,1)时，1-0，∴f(x2)-f(x1)0，f(x)为减函数；(2)当x1、x2∈(1，+∞)时，1-0，∴f(x2)-f(x1)0，f(x)为增函数；同理可求(3)当x1、x2∈(-1,0)时，f(x)为减函数；(4)当x1、x2∈(-∞，-1)时，f(x)为增函数．121xx121xx121xx方法二：f’(x)=，令f’(x)0，得x21，即x1或x-1，令f′(x)0，得x21，即-1x1，∴f(x)的单调增区间为(1，+∞)和(-∞，-1)，单调减区间为(-1,0)和(0,1)．211x解析：∵y＝－x2＋2|x|＋3＝x2＋2x＋3，x0，x2-2x＋3，x0，即y＝-(x-1)2+4,x0，-(x+1)2+4，x0，如图．∴单调递增区间是(－∞，－1]和[0,1]，递减区间是(－1,0)和(1，＋∞)．求函数y＝－x2＋2|x|＋3的单调区间．【例3】函数f(x)对任意的a、b∈R，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1，并且当x0时，f(x)1.(1)求证：f(x)是R上的增函数；(2)若f(4)＝5，解不等式f(3m2－m－2)3.题型三单调性的应用解：(1)证明：设x1，x2∈R，且x1x2，则x=x2-x10，∴f(x2-x1)1，∴f(x2)-f(x1)=f[(x2-x1)+x1]-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)=f(x2-x1)-10，∴f(x2)f(x1)，即f(x)是R上的增函数．(2)∵f(4)=f(2+2)=f(2)+f(2)-1=5，∴f(2)=3，∴原不等式可化为f(3m2-m-2)f(2)．∵f(x)是R上的增函数，∴3m2-m-22，解得-1m，则其解集为.434(1,)3已知偶函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(2)＝0，解不等式f[log2(x2＋5x＋4)]≥0.变式3－1∵f(2)=0，∴原不等式可化为f[log2(x2+5x+4)]≥f(2)．又∵f(x)为偶函数，且f(x)在(0，+∞)上为增函数，∴f(x)在(-∞，0)上为减函数且f(-2)=f(2)=0.∴不等式可化为log2(x2+5x+4)≥2，①或log2(x2+5x+4)≤-2，②由①得x2+5x+4≥4，∴x≤-5或x≥0，③解析：.由②得0x2+5x+4≤∴≤x-4或-1x≤，④由③、④得原不等式的解集为1451025102510510{5410}22xxxxx或或或【例4】已知函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x＞0时，f(x)＜0，(1)求证：f(x)在R上是减函数；(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．题型四函数的最值23解：(1)证明：设x1，x2∈R，且x1＞x2，则f(x1)-f(x2)=f(x1-x2+x2)-f(x2)=f(x1-x2)+f(x2)-f(x2)=f(x1-x2)，又∵x＞0时，f(x)＜0，而x1-x2＞0，∴f(x1-x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，∴f(x)在R上是减函数．(2)∵f(x)在R上是减函数，∴f(x)在[-3,3]上也是减函数，∴f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值分别为f(-3)与f(3)，而f(3)=3f(1)=-2，由题意知f(0)=f(0)+f(0)，∴f(0)=0，∴f(0)=f(x-x)=f(x)+f(-x)，∴f(-x)=-f(x)，故f(x)为奇函数．f(-3)=-f(3)=2.∴f(x)在[-3,3]上的最大值为2，最小值为-2.易错警示【例】求函数的单调区间，并指出每一个单调区间上的单调性．错解设u＝x2－4x＋3，则在区间[2，＋∞)上为减函数，在区间(－∞，2]上为增函数．212log(43)yxx212log(43)yxx错解分析：由于忽略了对数函数的定义域，而求错函数的单调区间。正解：由不等式x2-4x+3＞0，得函数的定义域为(-∞，1)∪(3，+∞)．设u=x2-4x+3，则又u=x2-4x+3=(x-2)2-1，故由二次函数的性质知：当x≥2时，u=x2-4x+3为增函数；当x＜2时，u=x2-4x+3为减函数．因为函数定义域为(-∞，1)∪(3，+∞)且为减函数，在(-∞，1)上为增函数，在(3，+∞)上为减函数．12logyu12logyu212log(43)yxx链接高考(2010·天津)设函数f(x)＝x2－1，对任意x∈，恒成立，则实数m的取值范围是________．3[,)22()4()(1)4()xfmfxfxfmm知识准备：1.不等式恒成立问题转化为求函数的最值；2.形如y＝a[f(x)]2＋b[f(x)]＋c的类型求最值，换元后利用二次函数求最值．33(,)(,)22依据题意，－1－4m2(x2－1)≤(x－1)2－1＋4(m2－1)在x∈上恒成立，即在x∈上恒成立，令，22xm3[,)22221324m+1mxx2232114g(x)=-=1=-3.33xxx32,0,23xx解析：3[,)2∴当x＝时，函数取得最小值，，即(3m2＋1)·(4m2－3)≥0，解得m≤或m≥.232g(x)=-=1xx32532215-4m3m3232