19时间序列模型的特征

第五章时间序列计量经济学模型的理论与方法第一节随机时间序列的特征第二节随机时间序列分析模型第三节协整分析与误差修正模型§5.1随机时间序列的特征一、随机时间序列模型简介二、刻画时间序列的自相关函数三、时间序列平稳性的检验四、趋势平稳与差分平稳随机过程一、随机时间序列模型简介前提假设：时间序列是由某个随机过程生成的。即，假定序列Y1,Y2,…,YT的每一个数值都是从一个概率分布中随机得到。注意：模型不必（一般也不会）与序列的过去实际行为完全一致，因为序列和模型都是随机的，只要模型能够刻画序列的随机特征就可以应用。1.时间序列过程规范地，一个标有时间脚标的随机变量序列被称为一个随机过程(Stochasticprocess)或时间序列过程(timeseriesprocess)。当搜集到一个时间序列数据集时，就得到该随机过程的一个可能结果或实现(realization)。该时间序列所有可能的实现集，相当于横截面分析中的总体。样本容量就是我们观察的时期数。美国通货膨胀和失业率部分数据表year通货膨胀率(%)失业率(%)19488.13.81949-1.25.919501.35.319517.93.3﹕﹕﹕19981.64.519992.24.220003.44.020022.84.720021.65.820032.36.02.白噪声和随机游走另一个简单的随机时间列序被称为随机游走(randomwalk)，该序列由如下随机过程生成：Yt=Yt-1+t这里，t是一个白噪声。一个最简单的随机时间序列是一具有零均值同方差的独立同分布序列：Yt=t，t~N(0,2)该序列常被称为是一个白噪声(whitenoise)。对随机游走过程的预测：1111ˆ(,,)()TTTTTTYEYYYYEYT+1期的预测：2211212ˆ(,,)()()TTTTTTTTTYEYYYEYEYYT+2期的预测：类似地，T+l期的预测也是YT。预测误差的方差随着l的增大而增大。T+l期的预测误差的方差为。2l带漂移的随机游走过程1tttYYd如果d0，平均而言过程向上移动，T+1期的预测为：T+l期的预测则是：111ˆ(,,)TTTTYEYYYYdˆTlTYYld预测的标准误差同随机游走过程。预测值随l增加而线性增加，预测标准误差随而增大。l3.平稳和非平稳时间序列经典回归分析暗含着一个重要假设：数据是平稳的。数据非平稳，大样本下的统计推断基础——“一致性”要求——被破怀。经典回归分析的假设之一：解释变量X是非随机变量放宽该假设：X是随机变量，则需进一步假定：X与随机扰动项不相关∶Cov(X,)=0(1)平稳性与经典回归任一随机时间按序列Y1,Y2,…,YT都可以被认为是由一组联合分布随机变量生成，即Y1,Y2,…,YT代表一个联合概率分布函数的某一特定结果。那么，一个未来的观测Yt+1可以认为是由条件概率分布函数生成，即是给定过去观测值Y1,Y2,…,YT下的Yt+1的概率分布。定义平稳过程为其联合分布和条件分布均不随时间而变化的过程。即如果Yt是平稳，则对任意的t，k和m，都有：(2)平稳过程的性质12(,,,)TpYYY112(,,,)TTpYYYY112(,,,)TTpYYYY(,,)(,,)()()ttktmtkmttmpYYpYYpYpY且如果时间序列Yt满足：1）均值E(Yt)=是与时间t无关的常数；2）方差Var(Yt)=2是与时间t无关的常数；3）协方差Cov(Yt,Yt+k)=k是只与时期间隔k有关，与时间t无关的常数；则称该随机时间序列是平稳的（stationary)，而该随机过程是一平稳随机过程（stationarystochasticprocess）。问题：白噪声过程是否平稳？随机游走过程是否平稳？如果Yt是随机游走过程，对Yt取一阶差分(firstdifference):Yt=Yt−Yt-1=t由于t是一个白噪声，则序列Yt是平稳的。如果一个时间序列是非平稳的，它常常可通过取差分的方法而形成平稳序列。(3)齐次非平稳过程如果一个时间序列是非平稳的，经过一次或多次差分后成为平稳序列，产生这样的非平稳序列的随机过程称为齐次随机过程。原序列转化为平稳序列所需的差分次数称为齐次的阶数。如果Yt是一阶齐次非平稳过程，则序列:Wt=Yt−Yt-1=Yt就是平稳的。如果Yt是二阶齐次非平稳过程，则序列：Wt=Yt−Yt-1=2Yt就是平稳的。(4)单整与非单整•如果一个时间序列经过一次差分变成平稳序列,也称原序列是1阶单整(integratedof1)序列,记为I(1)过程。如果经过d次差分后变成平稳序列,则称原序列是d阶单整(integratedofd),记为I(d)。•I(0)代表平稳时间序列。•多次差分无法变为平稳的时间序列称为非单整的(non-integrated)。只有当-11时，该随机过程才是平稳的。2)=1时,是一个随机游走过程,也是非平稳的.•1阶自回归过程AR(1)又是如下k阶自回归AR(k)过程的特例：Yt=1Yt-1+2Yt-2…+kYt-k该随机过程平稳性条件将在后面讨论。•随机游走过程是1阶自回归AR(1)过程的特例Yt=Yt-1+t1)||1时，该随机过程生成的时间序列是发散的，表现为持续上升(1)或持续下降(-1)，因此是非平稳的；定义序列Yt的滞后期为k的自相关系数为：对于平稳过程，有：二、刻画时间序列的自相关函数22[()()]cov(,)[()][()]ttktYtkYttkkYYtYtkYEYYYYEYEY220[()()]cov(,)tYtkYttkkkYYEYYYY1.自相关函数与Q统计量例如，假设随机过程是Yt=εt，其中εt是均值为零的独立同分布随机变量。则：ρ0=1，且对于k0，ρk=0成立，即Yt是白噪声过程，最好地预测报白噪声的模型是ˆ0TlY如果对所有的k0，序列的自相关函数为0或近似为0，则没有必要建模预测该序列。在实际应用中，需要估计自相关函数，即样本自相关函数：121()()ˆ()TkttktkTttYYYYYYkk•为了检验自相关函数的某个数值ρk是否为0，可以用Bartlett的研究结果：如果时间序列由白噪声生成，则(对所有k0)样本自相关系数近似地服从均值为0，标准差为的正态分布。如果某个时序由100个数据点构成，则每个自相关系数的标准误差都为0.1。因此如果某个自相关系数大于0.2，就有95%的把握认为真正的相关系数不为零。1T21ˆ(2)KkkQTTTk•为了检验所有k0的自相关函数ρk都为0的联合假设，可以采用Box-Pierce的Q统计量：•Q统计量近似地服从自由度为K的分布。如果计算出Q值大于显著性水平下的临界值，就有的把握确信实际自相关系数不全为0。1k2考察序列的样本自相关函数图：2.平稳性与自相关函数kρk非平稳序列kρk平稳序列02040608012345678x104timeprice铜现货价格（月度数据）：010203040-0.4-0.200.20.40.60.81LagSampleAutocorrelationSampleAutocorrelationFunction(ACF)cumonthlyspotprice铜现货价格的样本自相关函数图（月度数据）：010203040-0.4-0.200.20.40.60.81LagSampleAutocorrelationSampleAutocorrelationFunction(ACF)cumonthlyspotprice一阶差分后铜现货价格的样本自相关函数图（月度数据）：1cucutttSPSP010203040-0.200.20.40.60.8LagSampleAutocorrelationSampleAutocorrelationFunction(ACF)铜现货价格的样本自相关函数图（日数据）：010203040-0.200.20.40.60.8LagSampleAutocorrelationSampleAutocorrelationFunction(ACF)cudailyspotprice一阶差分后的铜现货价格样本自相关函数图（日数据）：010203040-0.200.20.40.60.8LagSampleAutocorrelationSampleAutocorrelationFunction(ACF)cuweeklyspotprice一阶差分后铜现货价格的样本自相关函数图（周数据）：原理：如果月度时间序列Yt有年度的季节周期性，则序列的数据将显示每一期与它的前12期或滞后12期的一定程度的相关性。3.季节性与自相关函数方法：通过观察时间序列Yt自相关函数的有规律的峰值来识别季节性。tρk剔出季节变动的方法：如果月度时间序列Yt有年度的季节周期性，则对原序列进行12个月的差分：Zt=Yt−Yt-12以消除季节性。观察Zt的样本自相关函数，如果仍然是非平稳的，对Zt再进行差分以获得平稳序列。给出一个随机时间序列，首先可通过该序列的时间路径图来粗略地判断它是否是平稳的。一个平稳的时间序列在图形上往往表现出一种围绕其均值不断波动的过程；而非平稳序列则往往表现出在不同的时间段具有不同的均值（如持续上升或持续下降）。1.平稳性检验的图示判断三、时间序列的平稳性检验tXtXtt(a)(b)图9.1平稳时间序列与非平稳时间序列图平稳时间序列与非平稳时间序列图进一步的判断:检验样本自相关函数及其图形。随机时间序列的自相关函数（autocorrelationfunction,ACF）：k=k/0自相关函数是关于滞后期k的递减函数。对一个随机过程只有一个实现(样本),因此,只能计算样本自相关函数(Sampleautocorrelationfunction)。随着k的增加，非平稳序的样本自相关函数下降缓慢，而平稳序列样本自相关函数迅速下降且趋于零。krkr110k0k(a)(b)图9.1.2平稳时间序列与非平稳时间序列样本相关图平稳时间序列与非平稳时间序列样本自相关函数图注意:Bartlett曾证明:如果时间序列由白噪声过程生成，则对所有的k0，样本自相关系数近似地服从以0为均值，1/T为方差的正态分布,其中T为样本数。可检验对所有k0，自相关系数都为0的联合假设，可通过Q统计量进行。如果计算的Q值大于显著性水平为的临界值，则有1-的把握拒绝所有k(k0)同时为0的假设。（a）（b）-0.6-0.4-0.20.00.20.40.624681012141618RANDOM1-0.8-0.40.00.40.81.224681012141618RANDOM1AC从图形看：它在其样本均值0附近上下波动，且样本自相关系数迅速下降到0，随后在0附近波动且逐渐收敛于0。例1，序列Random1是通过一随机过程（随机函数）生成的有19个样本的随机时间序列。由于该序列由一随机过程生成，可以认为不存在序列相关性，因此该序列为一白噪声。根据Bartlett的理论：k~N(0,1/19)因此任一ρk(k0)的95%的置信区间都将是：可以看出:k0时，ρk的值确实落在了该区间内，因此可以接受k(k0)为0的假设。同样地，从Q统计量的计算值看，滞后17期的计算值为26.38，未超过5%显著性水平的临界值27.58，因此,可以接受所有的自相关系数k(k0)都为0的假设。因此，该随机过程是一个平稳过程。0.0250.025[,][1.96119,1.96119][0.4497,0.4497]ZZ例2，序列Random2是由随机游走过程Yt=Yt-1+t生成的一随机游走时间序列