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第4讲直线与圆、圆与圆的位置关系1．直线与圆的位置关系设直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r0)，d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.方法位置关系几何法代数法相交drΔ0相切d＝rΔ＝0相离drΔ02.圆与圆的位置关系设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21(r10)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r20)．方法位置关系几何法：圆心距d与r1，r2的关系代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况外离dr1＋r2无解外切d＝r1＋r2一组实数解相交|r1－r2|dr1＋r2两组不同的实数解内切d＝|r1－r2|(r1≠r2)一组实数解内含0≤d|r1－r2|(r1≠r2)无解导师提醒1．关注一个直角三角形当直线与圆相交时，由弦心距(圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成一个直角三角形．2．会求两圆相交时公共弦的方程设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，①圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，②若两圆相交，则有一条公共弦，其公共弦所在直线方程由①－②所得，即：(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(F1－F2)＝0.3．记住两类常用结论(1)圆的切线方程常用结论①过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2；②过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2；③过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.(2)两圆公切线的条数为①外离时4条；②外切时3条；③相交时2条；④内切时1条；⑤内含时0条．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切．()(2)若两个圆的方程组成的方程组无解，则这两个圆的位置关系为外切．()(3)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件．()(4)联立两相交圆的方程，并消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．()答案：(1)√(2)×(3)×(4)√(教材习题改编)直线l：x＋3y－4＝0与圆C：x2＋y2＝4的位置关系是()A．相交过圆心B．相交不过圆心C．相切D．相离解析：选C.圆心坐标为(0，0)，圆心到直线l的距离d＝|－4|2＝2＝r，所以直线l与圆C相切．故选C.(教材习题改编)若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是()A．[－3，－1]B．[－1，3]C．[－3，1]D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)解析：选C.由题意可得，圆的圆心为(a，0)，半径为2，所以|a－0＋1|12＋（－1）2≤2，即|a＋1|≤2，解得－3≤a≤1，故选C.圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系是()A．外离B．相交C．外切D．内切解析：选B.圆O1：(x－1)2＋y2＝1，圆O2：x2＋(y－2)2＝22，因为|O1O2|＝（1－0）2＋（0－2）2＝5，所以|2－1||O1O2|2＋1，所以两圆相交，故选B.圆x2＋y2－4x＝0在点P(1，3)处的切线方程为________．解析：圆的方程为(x－2)2＋y2＝4，圆心坐标为(2，0)，半径为2，点P在圆上，设切线方程为y－3＝k(x－1)，即kx－y－k＋3＝0，所以|2k－k＋3|k2＋1＝2，解得k＝33.所以切线方程为y－3＝33(x－1)，即x－3y＋2＝0.答案：x－3y＋2＝0(2018·高考全国卷Ⅰ)直线y＝x＋1与圆x2＋y2＋2y－3＝0交于A，B两点，则|AB|＝________．解析：由题意知圆的方程为x2＋(y＋1)2＝4，所以圆心坐标为(0，－1)，半径为2，则圆心到直线y＝x＋1的距离d＝|－1－1|2＝2，所以|AB|＝222－（2）2＝22.答案：22直线与圆的位置关系(多维探究)角度一直线与圆位置关系的判断(一题多解)直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是()A．相交B．相切C．相离D．不确定【解析】法一：由mx－y＋1－m＝0，x2＋（y－1）2＝5，消去y，整理得(1＋m2)x2－2m2x＋m2－5＝0，因为Δ＝16m2＋200，所以直线l与圆相交．法二：由题意知，圆心(0，1)到直线l的距离d＝|m|m2＋115，故直线l与圆相交．法三：直线l：mx－y＋1－m＝0过定点(1，1)，因为点(1，1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，所以直线l与圆相交．【答案】A角度二根据直线与圆的位置关系求参数(1)若直线x＋my＝2＋m与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相交，则实数m的取值范围为()A．(－∞，＋∞)B．(－∞，0)C．(0，＋∞)D．(－∞，0)∪(0，＋∞)(2)若圆x2＋y2＝r2(r0)上恒有4个点到直线x－y－2＝0的距离为1，则实数r的取值范围是()A．(2＋1，＋∞)B．(2－1，2＋1)C．(0，2－1)D．(0，2＋1)【解析】(1)由x2＋y2－2x－2y＋1＝0得(x－1)2＋(y－1)2＝1，因为直线x＋my＝2＋m与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相交，所以|1＋m－2－m|1＋m21，即1＋m21，所以m≠0，即m∈(－∞，0)∪(0，＋∞)．(2)计算得圆心到直线l的距离为22＝21，如图．直线l：x－y－2＝0与圆相交，l1，l2与l平行，且与直线l的距离为1，故可以看出，圆的半径应该大于圆心到直线l2的距离2＋1.故选A.【答案】(1)D(2)A判断直线与圆的位置关系常用的方法[提醒]上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题．1．已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是()A．相切B．相交C．相离D．不确定解析：选B.因为M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，所以a2＋b2＞1，从而圆心O到直线ax＋by＝1的距离d＝|a·0＋b·0－1|a2＋b2＝1a2＋b2＜1，所以直线与圆相交．2．(一题多解)圆x2＋y2＝1与直线y＝kx＋2没有公共点的充要条件是________．解析：法一：将直线方程代入圆方程，得(k2＋1)x2＋4kx＋3＝0，直线与圆没有公共点的充要条件是Δ＝16k2－12(k2＋1)0，解得k∈(－3，3)．法二：圆心(0，0)到直线y＝kx＋2的距离d＝2k2＋1，直线与圆没有公共点的充要条件是d1，即2k2＋11，解得k∈(－3，3)．答案：k∈(－3，3)3．直线y＝－33x＋m与圆x2＋y2＝1在第一象限内有两个不同的交点，则m的取值范围是________．解析：当直线经过点(0，1)时，直线与圆有两个不同的交点，此时m＝1；当直线与圆相切时有圆心到直线的距离d＝|m|1＋332＝1，解得m＝233(切点在第一象限)，所以要使直线与圆在第一象限内有两个不同的交点，则1m233.答案：1，233圆与圆的位置关系(师生共研)已知两圆x2＋y2－2x－6x－1＝0，x2＋y2－10x－12y＋m＝0.(1)m取何值时两圆外切？(2)m取何值时两圆内切？(3)当m＝45时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．【解】因为两圆的标准方程分别为(x－1)2＋(y－3)2＝11，(x－5)2＋(y－6)2＝61－m，所以两圆的圆心分别为(1，3)，(5，6)，半径分别为11，61－m，(1)当两圆外切时，由（5－1）2＋（6－3）2＝11＋61－m，得m＝25＋1011.(2)当两圆内切时，因为定圆半径11小于两圆圆心之间的距离5，所以61－m－11＝5，解得m＝25－1011.(3)由(x2＋y2－2x－6y－1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，得两圆的公共弦所在直线的方程为4x＋3y－23＝0.故两圆的公共弦的长为2（11）2－|4＋3×3－23|42＋322＝27.(1)判断两圆位置关系的方法常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差的绝对值的关系，一般不用代数法．(2)两圆公共弦长的求法两圆公共弦长，在其中一圆中，由弦心距d，半弦长l2，半径r所在线段构成直角三角形，利用勾股定理求解．[提醒](1)当两圆相交时，两圆方程相减，所得的直线方程即两圆公共弦所在的直线方程，这一结论的前提是两圆相交，如果不确定两圆是否相交，两圆方程相减得到的方程不一定是两圆的公共弦所在的直线方程．(2)两圆公共弦的垂直平分线过两圆的圆心．(3)求公共弦长时，几何法比代数法简单且易求．1．圆C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9与圆C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4外切，则m的值为()A．2B．－5C．2或－5D．不确定解析：选C.由C1(m，－2)，r1＝3；C2(－1，m)，r2＝2；则两圆心之间的距离为|C1C2|＝（m＋1）2＋（－2－m）2＝2＋3＝5，解得m＝2或－5.故选C.2．两圆C1：x2＋y2＋4x＋y＋1＝0，C2：x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0相交于A、B两点，则|AB|＝________．解析：由(x2＋y2＋4x＋y＋1)－(x2＋y2＋2x＋2y＋1)＝0得弦AB所在直线方程为2x－y＝0.圆C2的方程即为(x＋1)2＋(y＋1)2＝1，圆心C2(－1，－1)，半径r2＝1.圆心C2到直线AB的距离d＝|2×（－1）－（－1）|5＝15.所以|AB|＝2r22－d2＝21－15＝455.答案：455圆的切线问题(师生共研)已知点P(2＋1，2－2)，点M(3，1)，圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4.(1)求过点P的圆C的切线方程；(2)求过点M的圆C的切线方程，并求出切线长．【解】由题意得圆心C(1，2)，半径长r＝2.(1)因为(2＋1－1)2＋(2－2－2)2＝4，所以点P在圆C上．又kPC＝2－2－22＋1－1＝－1，所以切线的斜率k＝－1kPC＝1.所以过点P的圆C的切线方程是y－(2－2)＝1×[x－(2＋1)]，即x－y＋1－22＝0.(2)因为(3－1)2＋(1－2)2＝5＞4，所以点M在圆C外部．当过点M的直线斜率不存在时，直线方程为x＝3，即x－3＝0.又点C(1，2)到直线x－3＝0的距离d＝3－1＝2＝r，即此时满足题意，所以直线x＝3是圆的切线．当切线的斜率存在时，设切线方程为y－1＝k(x－3)，即kx－y＋1－3k＝0，则圆心C到切线的距离d＝|k－2＋1－3k|k2＋1＝r＝2，解得k＝34.所以切线方程为y－1＝34(x－3)，即3x－4y－5＝0.综上可得，过点M的圆C的切线方程为x－3＝0或3x－4y－5＝0.当切线为3x－4y－5＝0时，因为|MC|＝（3－1）2＋（1－2）2＝5，所以过点M的圆C的切线长为|MC|2－r2＝5－4＝1.当切线为x＝3时，切线长为1.(1)求过圆上一点(x0，y0)的切线方程的方法先求切点与圆心连线的斜率k，若k不存在，则结合图形可直接写出切线方程为y＝y0；若k＝0，则结合图形可直接写出切线方程为x＝x0；若k存在且k≠0，则由垂直关系知切线的斜率为－1k，由点斜式方程可求得切线方程．(2)求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程两方法几何法当切线斜率存在时，设斜率为k，切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，可得出k的值，进而求出切线方程.代数法当切线斜率存在时，设斜率为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由判别式Δ＝0，求得k，切线方程即可求出.1．一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率