奥数全年级一百七十九专题题库教师版1212等差数列计算题教师版

等差数列的相关公式(1)三个重要的公式①通项公式：递增数列：末项首项(项数1)公差，11naand（）递减数列：末项首项(项数1)公差，11naand（）回忆讲解这个公式的时候可以结合具体数列或者原来学的植树问题的思想，让学生明白末项其实就是首项加上(末项与首项的)间隔个公差个数，或者从找规律的情况入手．同时还可延伸出来这样一个有用的公式：nmaanmd（），nm（）②项数公式：项数(末项首项)公差+1由通项公式可以得到：11nnaad（）(若1naa)；11nnaad（）(若1naa)．找项数还有一种配组的方法，其中运用的思想我们是常常用到的．譬如：找找下面数列的项数：4、7、10、13、、40、43、46，分析：配组：(4、5、6)、(7、8、9)、(10、11、12)、(13、14、15)、、(46、47、48)，注意等差是3，那么每组有3个数，我们数列中的数都在每组的第1位，所以46应在最后一组第1位，4到48有484145项，每组3个数，所以共45315组，原数列有15组．当然还可以有其他的配组方法．③求和公式：和=(首项末项)项数÷2对于这个公式的得到可以从两个方面入手：(思路1)123989910011002993985051共50个101（）（）（）（）101505050(思路2)这道题目，还可以这样理解：23498991001009998973212101101101101101101101和=1+和倍和即，和(1001)1002101505050(2)中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首项与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数．譬如：①48123236436922091800（），题中的等差数列有9项，中间一项即第5项的值是20，而和恰等于209；②65636153116533233331089（），题中的等差数列有33项，中间一项即第17项的值是33，而和恰等于3333．知识点拨等差数列计算题【例1】用等差数列的求和公式会计算下面各题吗？⑴3456767778⑵13578799⑶471013404346【考点】等差数列计算题【难度】2星【题型】计算【【解解析析】】⑴根据例1的结果知：算式中的等差数列一共有76项，所以：34567677783787623078（）⑵算式中的等差数列一共有50项，所以：13578799(199)5022500⑶算式中的等差数列一共有15项，所以：471013404346446152375（）【答案】⑴3078⑵2500⑶375【【巩巩固固】】12……891098……21_____。【考点】等差数列计算题【难度】2星【题型】计算【关键词】希望杯，四年级，二试【解析】1+2+3+…+n+…+3+2+1=n×n，所以原式=10×10=100【答案】100【【巩巩固固】】1966、1976、1986、1996、2006这五个数的总和是多少?【考点】等差数列计算题【难度】1星【题型】计算【关键词】华杯赛，初赛【解析】1986是这五个数的平均数，所以和＝1986×5＝9930。【答案】9930【【巩巩固固】】计算：110＋111＋112＋…＋126＝【考点】等差数列计算题【难度】2星【题型】计算【关键词】走美杯，四年级，初赛【解析】原式(110126)1722006【答案】2006【【巩巩固固】】计算下面结果．⑴4812163236⑵656361531⑶34599100【考点】等差数列计算题【难度】2星【题型】计算【解析】根据刚刚学过的求项数以及求和公式，项数(末项首项)公差1等差数列的和（首项＋末项）项数2⑴项数：364419（）；和：43692180（）⑵项数：6512133（）；和：16533233331089（）⑶项数：10031198（）；和：31009825047（）【答案】⑴180⑵1089⑶5047【【巩巩固固】】用等差数列的求和公式会计算下面各题吗？⑴3456767778⑵13578799⑶471013404346例题精讲【考点】等差数列计算题【难度】2星【题型】计算【【解解析析】】（1）算式中的等差数列一共有76项，所以：34567677783787623078（）（2）算式中的等差数列一共有50项，所以：13578799(199)5022500（3）算式中的等差数列一共有15项，所以：471013404346446152375（）【答案】（1）3078（2）2500（3）375【【巩巩固固】】计算下列一组数的和：105，110，115，120，…，195，200【考点】等差数列计算题【难度】2星【题型】计算【解析】根据等差数列求和公式，必须知道首项、末项和项数，这里首项是105，末项是200，但项数不知道．若利用1(1)naand，可有1()1nnaad据此可先求出项数，再求数列的和．解：数列的项数1()1nnaad(200105)51955120．故数列的和是：1()2nSaan(105200)2023052023050【答案】3050【【巩巩固固】】聪明的小朋友们，PK一下吧．⑴4812163236⑵656361531【考点】等差数列计算题【难度】2星【题型】计算【解析】根据刚刚学过的求项数以及求和公式，项数(末项首项)公差1等差数列的和（首项＋末项）项数2⑴项数：364419（）；和：43692180（）；⑵项数：6512133（）；和：16533233331089（）．【答案】⑴180⑵1089【【巩巩固固】】巧算下题：⑴500024698100⑵1357199519971999【考点】等差数列计算题【难度】2星【题型】计算【解析】⑴原式50002469810050002100502500025502450（）（）⑵这一串加数可以组成首项为1、末项为1999，公差为2的等差数列，项数19991211000（），原式11999100022000100021000000（）【答案】⑴2450⑵1000000【【巩巩固固】】(123200720082007321)2008【考点】等差数列计算题【难度】2星【题型】计算【关键词】走美杯，四年级，初赛【解析】观察原式可知，1、2、3…2007分别可与2007、2006、2005…1组成2008，于是括号中有2008个2008，故原式结果为2008。【答案】2008【【巩巩固固】】2008)2011201020092008200720062005(__________【考点】等差数列计算题【难度】2星【题型】计算【关键词】希望杯，4年级，1试【解析】根据中项定理知:2005+2006+2007+2008+2009+2010+2011=2008×7,所以原式=2008×7÷2008=7【答案】7【【巩巩固固】】计算：1÷50+2÷50+……+98÷50+99÷50=【考点】等差数列计算题【难度】2星【题型】计算【关键词】希望杯，4年级，1试【解析】原式=()()123459899501999925099L【答案】99【例2】计算：⑴1351997199924619961998（）-（）⑵40005101595100⑶99198297396495594693792891990【考点】等差数列计算题【难度】3星【题型】计算【解析】⑴（方法一）第一个数列的项数1000，第二个数列的项数为999，利用求和公式得：11999100022199899921000（）（）．（方法二）第一个括号内共有1000个数，第二个括号内有999个数．把1除外，第一个括号内的各数依次比第二个括号里相应的数大1，因此可简捷求和．原式1325419991998111l（）（）（）(共1000个1)1000⑵通过观察可知，题目中的减数可以组成等差数列，所以，可先求这些减数的和，再从被减数中减去这个和．400051015951004000510159510040005100202（）（）（）400010502950．当一个数连续减去几个数，这些减数能组成等差数列时，可以先求这些减数的和，再从被减数中减去这个和．⑶99198297396495594693792891990100120023003100010100200300100012310（）1001000102110102（）（）5500555445【答案】⑴1000⑵2950⑶5445【【巩巩固固】】计算246198419861988135198319851987（）（）【考点】等差数列计算题【难度】3星【题型】计算【解析】根据求项数公式可知两个括号内的算式都各有994项原式21432143(19881987)（）（）（）（）11111994994个【答案】994【【巩巩固固】】计算：20072006200520042003200254321【考点】等差数列计算题【难度】3星【题型】计算【关键词】走美杯，3年级，决赛【解析】找规律并分组计算如下：2007200620052004200320025432120031=20072006200520042003200254321=1+1++1+1=2004个【答案】2004【【巩巩固固】】计算：⑴2469698100135959799（）（）⑵13467910121366676970；⑶1000999998997996995106105104103102101．⑷616926993699946999956999996【考点】等差数列计算题【难度】3星【题型】计算【【解解析析】】⑴和式2498100，1359799中的项成等差数列，从而可能想到先求和，再做减法．这样做，很自然，也比较简便，有其他更为简便的解法吗?再看题，你会冒出一个好想法：运用加减运算性质先做减法：21，43，65，，10099，它们的差都等于1，然后，计算等于1的差数有多少个．由于题中1至100的全部偶数之和作为被减数，奇数之和为减数，所以，相邻的奇偶数相减(以大减小)，共得50个差数1，从而，原式214398971009950（）（）（）（）．⑵以把这个数列拆分为两个数列14710136770和369126669，对它们分别求和：原式1702423692321680（）（）；⑶本题也可以按照上题的方法做，但还有更简便