1第2讲·目标班·教师版教师备案本讲主要是数列的概念和等差数列的初步认识,包括等差数列的通项和求和公式,以及等知识切片满分晋级数列1级与数列的第一次亲密接触数列2级数列的小伙伴们数列3级等差数列深入第2讲与数列的第一次亲密接触2第2讲·目标班·教师版差数列最简单的几个性质,更多的性质会在春季同步时再深入研究.本讲内容较多,下讲内容较少,可以与下一讲作个时间上的均衡.数列的引入我们已经学习过整数、有理数和无理数,它们可以用来表示某些数量.不过有些时候,表示的会比较不一般.比如下面这个著名的问题(兔子问题):1202年,意大利数学家斐波那契(LeonardoFibonacci)在他的一本书中提出的一个问题.一般而言,兔子在出生两个月后,就有繁殖能力,一对兔子每个月能生出一对小兔子来.如果所有兔子都不死,年初由一对初生的小兔子开始,一年以后共有多少对兔子?要解决这个问题,我们可以列一个表:时间(月)123456789101112兔宝宝(对)1011235813213455成熟兔(对)01123581321345589兔总数(对)1123581321345589144如果我们只是单纯的写出最后的答案,我们会错过很多有趣的结论.我们将每个月最后的兔子数写成一列112358,,,,,,,就得到一列数,研究这一列数的规律,容易发现它们满足:从第3项起,每一项都等于前两项的和,由这条规律我们就可以知道两年后乃至若干年后的兔子总数了.这一列数就称为数列.还有很多其它的数列,各个数列其各自的项之间都有其内在关系和规律,研究数列的规律和性质是我们接下来两讲要学习的内容.(斐波那契数列有视频,可结合视频说明)考点1:数列的定义与分类1.数列的概念按照一定次序排列的一列数称为数列.数列中的每一个数都叫做这个数列的项,各项依次叫做这个数列的第1项(或首项),第2项,…,第n项,…,所以,数列的一般形式可以写成:123aaa,,,简记为na.教师备案以前面的斐波那契数列为例,12341123aaaa,,,,,需要注意的:①数列中每一项都和它的序号有关,数列中的数是按一定次序排列的.如果组成两个数列的数相同而排列次序不同,那么它们就不是相同的数列.如:数列1,2,3,4,5与5,4,3,2,1是不同的数列.数列12341235aaaa,,,,和斐波那契数列也是不同的数列.②数列的定义中,并没有规定数列中的数必须不同.因此,同一个数在数列中可以重复出现.如:1,1,1,1,1,…;2,2,2,2,2,…等.③na与na是不同的概念.na表示数列1a,2a,3a,…,na…,而na仅表示数列na的第n项.2.1数列的认识知识点睛3第2讲·目标班·教师版2.数列的分类①按照数列的项数的多少可分为:有穷数列与无穷数列.项数有限的数列叫有穷数列,项数无限的数列叫无穷数列.②按照数列的每一项随序号变化的情况可分为:递增数列、递减数列、常数列、摆动数列.从第2项起,每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列;从第2项起,每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列;各项相等的数列叫做常数列;从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列叫做摆动数列.③按照任何一项的绝对值是否小于某一正数可分为:有界数列和无界数列.教师备案斐波那契数列是无穷数列,递增数列,无界数列.更多的例子见例1【例1】⑴下面数列哪些是递增数列,递减数列,常数列,摆动数列?哪些是有穷数列,无穷数列?①全体自然数组成数列:0,1,2,3,…;②某校6个班学生人数构成的数列:15,16,18,20,22,30;③数列:5,1,3,2.6,1.5,8;④数列:5,5,5,5,5;⑤数列:100,90,80,70,60,50,….⑵根据数列的规律填空①112358__②531061512____③3591733__④122346__⑶(2010湖南文20)给出下面的数表序列:12845314311表3表2表1其中表(123)nn,,,有n行,第1行的n个数是1,3,5,…,21n,从第2行起,每行中的每个数都等于它肩上的两数之和,写出表4.【解析】⑴①递增数列无穷数列②递增数列有穷数列③摆动数列有穷数列④常数列有穷数列⑤递减数列无穷数列⑵①13.此数列为著名的斐波那契数列,从第三项起每一项是前两项之和.②20,24.此数列是混合数列,奇数项为首项为5,公差为5的等差数列,偶数项是首项为3,公比为2的等比数列,按顺序应填20,24.③65根据数列的规律每一项为21n.④9从第三项起每一项为前两项之和减1,所以空格应填9.⑶经典精讲123220128475314第2讲·目标班·教师版教师备案趣味数列:(供课堂增加趣味性,活跃气氛选用)1.请写出下列数列的下一项:2,12,1112,3112,211213,______.2.按规律填空:①17__9100;②3621428469291____;【解析】1.这个数列中每一项都和前一项和读法有关,第一项是2,第二项是一个2,第三项是一个1一个2,第四项是三个1一个2,往后以此类推.所以应该填入的数列为:312213.2.①101278910,所以应该填1;②将数列的前几项反过来写:3612244896192,,,,,,,所以,以此类推后边应该为384768,,所以应该填483867,考点2:数列的通项公式与递推公式数列的表示方法:⑴图象法:数列是以正整数集N(或它的有限子集12n,,,)为定义域的函数()nafn,当自变量按照从小到大的顺序取值时,所对应的项是一系列函数值.所以,可以以序号为横坐标,相应的项为纵坐标,描点作图来表示这个数列.全体正偶数组成的数列246,,,用图象法表示为(如图):数列图象与一般函数图象的区别在于数列的图象是一系列孤立的点.⑵列表法:与函数一样,数列也可以用列表的方法来表示.如:全体正偶数按从小到大的顺序构成的数列2,4,6,8,…用列表法可表示为n123…k…na246…2k…列表法可以清楚地反映出数列的许多具体的项,但由于受某些条件的限制,用列表的方法有时不能完整的反映一个数列,或数列的具体规律,所以并不是每一个数列都可以用列表的方法表示.教师备案图象法可以比较清楚的揭示数列的变化规律,列表法表示数列能使人一目了然,但它们的缺点就是数列的项数比较多时,表示起来一般会非常费劲,比如斐波那契数列用这两种方法就不好表示.数列更多的是用下面两种方法来表示.⑶递推公式法:如果已知数列na的第1项(或前几项),且任意一项na与它相邻的一项(或几项)间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做数列的递推公式.如:数列3,4,5,6,7,…用递推公式可这样表示:13a,11nnaa,nN.⑷通项公式法:数列na的第n项na也叫做数列的通项.如果数列na的第n项na与n之间的关系可用一个函数关系()nafn来表示,这个公式就叫做这个数列的通项公式.⑶中的数列可以用*2nannN来表示.教师备案理解数列的通项公式:①数列的通项公式实际上是一个以正整数集N或它的有限子集12n,,,为定义域的函数知识点睛10865443221Onan5第2讲·目标班·教师版的表达式;②如果知道了数列的通项公式,那么依次用12n,,,去替代公式中的n就可以求出这个数列的各项;同时,用数列的通项公式也可以判断某数是否是某数列中的项,如果是的话,是第几项.③数列的通项公式形式不是惟一的,如111111,,,,,,,它可以写成(1)nna,也可以写成cosπnan或11nnan,为奇数,,为偶数..④不是所有的数列都有通项公式,好比不是所有的函数都有解析式一样.有穷数列一定有通项公式.无穷数列不一定有.比如由全体质数组成的数列2357,,,,,目前就没有通项公式.前面提过的斐波那契数列的递推公式:121aa,112nnnaaannN≥,,通项公式为11515225nnna,这是一个正整数列用无理数来表示通项的例子.高中阶段只学习比较简单的递推形式的通项公式,象斐波那契这种比较复杂的递推和通项仅作为帮助了解数列的相关概念.【例2】⑴观察数列前几项,求出下列数列的一个通项公式①1111,,,,;②0101,,,,;③1234,,,,;④1111111111,,,,;⑤131793832435,,,,,;⑥11315228432,,,,,…;⑵已知数列{}na满足11a,11nnnaan(*2nnN,≥),则2a_____;5a______.⑶已知数列{}na满足11a,121nnaa(*2nnN,≥)),则2a_____;10a______.⑷(目标班专用)(2010西城二模理14)我们可以利用数列na的递推公式2,,nnnnaan为奇数为偶数nN,求出这个数列各项的值,使得这个数列中的每一项都是奇数.则2425aa_________;研究发现,该数列中的奇数都会重复出现,那么第8个5是该数列的第_____项.【解析】⑴①(1)nna或cosπnan(可以不讲)或11nnan,为奇数,为偶数.②112nna或01nnan,为奇数,为偶数;③1(1)nn;④1(101)9n;⑤121(1)(2)nnnann;(观察分子觉得分子可能为13579,,,,,从而得到分母为38152435,,,,)⑥2nnna;(观察分母得分母都为2k,将分母整理为2481632,,,,,得到规律).⑵2133,;212233aa;323142aa;434255aa;545163aa.可以推断21nan;经典精讲6第2讲·目标班·教师版⑶31023,;21213aa;32217aa;415a;531a.可以推断21nna.101023a.⑷28;640.2412633aaaa,同时2525a,因此242528aa;第k个5出现在第152k项,因此第8个5是该数列的第752640项.【例3】⑴根据下列数列的前几项,写出数列的一个通项公式,并分析.①24816,求出()nafn,na是否有最大、最小值?②111124816,求出()nafn,na是否有最大、最小值?③111124816,求出()nafn,na是否有最大、最小值?④111124816,求出()nafn,na是否有最大、最小值?⑵类比函数的单调性、有界性来分析数列的性质.①数列na的通项公式是2610nann,*nN,当n取何值时,na最小?②数列na的通项公式是23.61nan,*nN,当n取何值时,na最小?【解析】⑴①2nna,最小值为首项2,没有最大值,该数列为单调递增数列.②12nna,最大值为首项12,没有最小值,该数列为单调递减数列.③12nna,最小值为12,没有最大值,该数列为单调递增数列.④1112nnna,最大值为12,最小值为14,该数列不是单调数列.⑵①3n时,na最小为1.该数列无最大值.②4n时,na最小为1.16.该数列无最大值.【点评】引出用函数的分析方法分析数列的取值,强调数列是一种特殊的函数,用函数的方法进行分析时,要注意其定义域是大于0的整数.12nafnn,,,数列12aa,,函数fx定义域12,,7第2讲·目标班·教师版【拓展】若25nann,当且仅当3n时na有最小值,问的取值范围.【解析】函数2()5fxxx的对称轴为2x,故3x离2最近,即3222且3422,解得57.考点3:数列的前n项和nS数列na
本文标题:2020学而思教材讲义高一数学寒假(目标班、尖子班)-高一寒假-第2讲-与数列的第一次亲密接触-教师
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