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课前篇自主预习课堂篇探究学习首页-1-1.5全称量词与存在量词课前篇自主预习课堂篇探究学习首页课标阐释思维脉络1.通过已知的数学实例,理解全称量词与存在量词的意义.2.掌握判断全称量词命题与存在量词命题.3.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定;能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定.课前篇自主预习课堂篇探究学习首页一二三一、全称量词与全称量词命题1.给出下列命题:①所有的矩形都是平行四边形;②对任意一个x∈R,都有x20;③每一个菱形的对角线都垂直;④自然数是正整数.(1)上述命题①②③中的“所有的”“任意一个”“每一个”都表示什么含义?如何定义这类命题?提示:这些短语一般在指定的范围内都表示整体或全部,这样的词叫做全称量词.含有全称量词的命题,叫做全称量词命题.(2)命题④是全称量词命题吗?它的量词是什么?提示:是全称量词命题.它的量词是“所有的”(“每一个”等).即所有的自然数都是正整数.课前篇自主预习课堂篇探究学习首页一二三(3)判断这四个命题的真假.提示:命题①③是真命题,命题②④是假命题.因为当x=0时,x20不成立,所以②是假命题;因为0是自然数,但不是正整数,所以命题④是假命题.(4)说一说如何判断一个全称量词命题的真假?提示:要判断一个全称量词命题是真命题,需要说明每一个元素都满足题意;而要说明它是假命题,则只需要举出一个反例.2.填空短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“∀”表示.含有全称量词的命题,叫做全称量词命题.全称量词命题“对M中任意一个x,p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M,p(x).课前篇自主预习课堂篇探究学习首页一二三二、存在量词与存在量词命题1.给出下列命题:①有些矩形不是平行四边形;②存在一个x∈R,使得x2≤0;③至少有一个菱形的对角线不垂直;④有的自然数不是正整数.(1)上述命题中的“有些”“存在一个”“至少有一个”“有的”都表示什么含义?如何定义这类命题?提示:这些短语在陈述中表示所述事物的个体或部分,称为存在量词.含有存在量词的命题,叫做存在量词命题.(2)判断这四个命题的真假.提示:命题②④是真命题,命题①③是假命题.因为当x=0时,x2≤0成立,所以②是真命题;因为0是自然数,但不是正整数,所以命题④是真命题.课前篇自主预习课堂篇探究学习首页一二三(3)说一说如何判断一个存在量词命题的真假?提示:要判断一个存在量词命题是真命题,只要举一个特例满足题意即可.2.填空短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,用符号“∃”表示.含有存在量词的命题,叫做存在量词命题.存在量词命题“存在M中的元素x,P(x)成立”,可用符号简记为∃x∈M,p(x).课前篇自主预习课堂篇探究学习首页一二三3.做一做(1)判断(正确的打“√”,错误的打“×”)①全称量词的含义是“任意性”,存在量词的含义是“存在性”.()②全称量词命题一定含有全称量词,存在量词命题一定含有存在量词.()(2)下列存在量词命题是假命题的是()A.存在x∈Q,使2x-x3=0B.存在x∈R,使x2+x+1=0C.有的素数是偶数D.有的有理数没有倒数(3)命题“有些长方形是正方形”含有的量词是,该量词是量词(填“全称”或“存在”).答案:(1)①√②×(2)B(3)有些存在课前篇自主预习课堂篇探究学习首页一二三三、全称量词命题和存在量词命题的否定1.已知命题:①所有的矩形都是平行四边形;②每一个自然数都是正整数;③存在一个x∈R,使得x2≤0;④至少有一个菱形的对角线不垂直.(1)写出这四个命题的否定.提示:①有些矩形不是平行四边形;②至少存在一个自然数不是正整数;③对任意一个x∈R,都有x20;④每一个菱形的对角线都垂直.(2)这四个命题分别是什么命题?它的否定又是什么命题?提示:①②是全称量词命题,它们的否定是存在量词命题.③④是存在量词命题,它们的否定是全称量词命题.(3)判断上述命题与其否定的真假,你能发现什么规律?提示:命题①③是真命题,它们的否定是假命题;命题②④是假命题,它们的否定是真命题.即一个命题和它的否定真假相反.课前篇自主预习课堂篇探究学习首页一二三2.填空命题类型全称量词命题存在量词命题形式∀x∈M,p(x)∃x∈M,p(x)否定∃x∈M,p(x)∀x∈M,p(x)结论全称量词命题的否定是存在量词命题存在量词命题的否定是全称量词命题课前篇自主预习课堂篇探究学习首页一二三3.做一做(1)命题“存在一个三角形,内角和不等于180°”的否定为()A.存在一个三角形的内角和等于180°B.所有三角形的内角和都等于180°C.所有三角形的内角和都不等于180°D.很多三角形的内角和不等于180°(2)命题“∀x∈Z,4x-1是奇数”的否定是.答案:(1)B(2)∃x∈Z,4x-1不是奇数课前篇自主预习课堂篇探究学习首页探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练全称量词命题与存在量词命题的辨析例1判断下列语句是否为全称量词命题或存在量词命题.(1)有些素数的和仍是素数;(2)自然数的平方是正数.解:因为(1)含有存在量词,所以命题(1)为存在量词命题;又因为“自然数的平方是正数”的实质是“任意一个自然数的平方都是正数”,所以(2)含有全称量词,故为全称量词命题.综上所述:(1)为存在量词命题,(2)为全称量词命题.课前篇自主预习课堂篇探究学习首页探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练反思感悟判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的思路课前篇自主预习课堂篇探究学习首页探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练变式训练1下列命题中,是全称量词命题的是,是存在量词命题的是(填序号).①正方形的四条边相等;②有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形;③正数的平方根不等于0;④至少有一个正整数是偶数.解析:①②③是全称量词命题,④是存在量词命题.答案:①②③④课前篇自主预习课堂篇探究学习首页探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练全称量词命题与存在量词命题的真假判断例2判断下列命题的真假.(1)∃x∈Z,x31;(2)存在一个四边形不是平行四边形;(3)在平面直角坐标系中,任意有序实数对(x,y)都对应一点P;(4)∀x∈N,x20.解:(1)这是存在量词命题.因为-1∈Z,且(-1)3=-11,它是真命题.(2)这是存在量词命题.是真命题,如梯形是四边形,不是平行四边形.(3)这是全称量词命题.由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知,它是真命题.(4)这是全称量词命题.因为0∈N,02=0,所以命题“∀x∈N,x20”是假命题.课前篇自主预习课堂篇探究学习首页探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练反思感悟判断全称量词命题和存在量词命题真假的方法(1)要判断一个全称量词命题为真,必须对在给定集合的每一个元素x,使命题p(x)为真;但要判断一个全称量词命题为假时,只需在给定的集合中找到一个元素x,使命题p(x)为假.(2)要判断一个存在量词命题为真,只要在给定的集合中找到一个元素x,使命题p(x)为真;要判断一个存在量词命题为假,必须对在给定集合的每一个元素x,使命题p(x)为假.课前篇自主预习课堂篇探究学习首页探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练变式训练2指出下列命题中,哪些是全称量词命题,哪些是存在量词命题,并判断真假.(1)存在一个实数,它的绝对值不是正数;(2)每一条线段的长度都能用正有理数来表示;(3)存在一个实数x,使得等式x2+x+8=0成立.解:(2)是全称量词命题,(1)(3)是存在量词命题.(1)真命题.存在一个实数0,它的绝对值不是正数.(2)假命题,如边长为1的正方形,其对角线的长度为,就不能用正有理数表示.(3)假命题,方程x2+x+8=0的判别式Δ=-310,故方程无实数解.22课前篇自主预习课堂篇探究学习首页探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练全称量词命题与存在量词命题的否定例3写出下列各命题的否定.(1)p:对任意的正数x,x-1;(2)q:三角形有且仅有一个外接圆;(3)r:存在一个三角形,它的内角和大于180°;(4)s:有些质数是奇数.分析:先判断每个命题是全称量词命题还是存在量词命题,再写出相应的否定.𝑥课前篇自主预习课堂篇探究学习首页探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练解:(1)p:存在正数x,使𝑥≤x-1.(2)q:存在一个三角形有两个或两个以上的外接圆或没有外接圆.(3)r:所有三角形的内角和小于或等于180°.(4)s:所有的质数都不是奇数.反思感悟1.一般地,写含有一个量词的命题的否定,首先要明确这个命题是全称量词命题还是存在量词命题,并找到量词及相应结论,然后把命题中的全称量词改成存在量词,存在量词改成全称量词,同时否定结论,即得其否定.2.对于省略量词的命题,应先挖掘命题中隐含的量词,改写成含量词的完整形式,再写出命题的否定.课前篇自主预习课堂篇探究学习首页探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练变式训练3写出下列命题的否定,并判断其真假.(2)q:所有的正方形都是矩形;(3)r:∃x∈R,x2+3x+7≤0;(4)s:至少有一个实数x,使x3+1=0.(1)p:∀x∈R,x2-x+14≥0;解:(1)p:∃x∈R,x2-x+140,是假命题.∵∀x∈R,x2-x+14=𝑥-122≥0恒成立,∴p是假命题.(2)q:至少存在一个正方形不是矩形,是假命题.课前篇自主预习课堂篇探究学习首页探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练(3)r:∀x∈R,x2+3x+70,是真命题.∵∀x∈R,x2+3x+7=𝑥+322+1940恒成立,∴r是真命题.(4)s:∀x∈R,x3+1≠0,是假命题.∵当x=-1时,x3+1=0,∴s是假命题.课前篇自主预习课堂篇探究学习首页探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练根据命题的真假求参数的取值范围例4已知命题“∀x∈R,x2+ax+1≥0”是假命题,求实数a的取值范围.分析:若全称量词命题为假命题,通常转化为其否定形式——存在量词命题为真命题来解决;同理,若存在量词命题为假命题,通常转化为其否定形式——全称量词命题为真命题来解决.解:因为全称量词命题“∀x∈R,x2+ax+1≥0”的否定形式为:“∃x∈R,x2+ax+10”.由“命题真,其否定假;命题假,其否定真”可知,这个否定形式的命题是真命题.由于函数f(x)=x2+ax+1是开口向上的抛物线,借助二次函数的图象易知:Δ=a2-40,解得a-2或a2.所以实数a的取值范围是(-∞,-2)∪(2,+∞).课前篇自主预习课堂篇探究学习首页探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练反思感悟求解含有量词的命题中参数范围的策略(1)对于全称量词命题“∀x∈M,af(x)(或af(x))”为真的问题,实质就是不等式恒成立问题,通常转化为求函数f(x)的最大值(或最小值),即af(x)max(或af(x)min).(2)对于存在量词命题“∃x∈M,af(x)(或af(x))”为真的问题,实质就是不等式能成立问题,通常转化为求函数f(x)的最小值(或最大值),即af(x)min(或af(x)max).课前篇自主预习课堂篇探究学习首页探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练延伸探究(1)若本例中的“假命题”改为“真命题”,求实数a的取值范围.(2)若本例中的“∀x∈R”改为“∀x0”,求实数a的取值范围.解:(1)由题意知Δ≤0,则a2-4≤0,得-2≤a≤2.所以实数a的取值范围为[-2,2].(2)因为全称量词命题“∀x0,x2+ax+1≥0”的否定形式为:“∃x0,x2+ax+10”.由“命题真,其否定假;命题假,其否定真”可知,这个否定形式的命题是真命题.由于函数f(x)=x2+ax+1是开口向上的抛物线,解得a-2,所以实数a的取值范围是(-∞,-2).借助二次函数的图象易知:𝛥=𝑎2-40,-