北师大版高三数学复习专题-三角函数、三角恒等变形、解三角形基础达标-第4章第2节

第四章第二节一、选择题1．sin600°＋tan240°的值是()A．－32B．32C．－12＋3D．12＋3[答案]B[解析]sin600°＋tan240°＝sin240°＋tan240°＝sin(180°＋60°)＋tan(180°＋60°)＝－sin60°＋tan60°＝－32＋3＝32.2．(文)若tanα＝2，则2sinα－cosαsinα＋2cosα的值为()A．0B．34C．1D．54[答案]B[解析]2sinα－cosαsinα＋2cosα＝2tanα－1tanα＋2＝2×2－12＋2＝34.(理)已知tanθ＝2，则sinπ2＋θ－cosπ＋θsinπ2－θ－sinπ－θ＝()A．2B．－2C．0D．23[答案]B[解析]sinπ2＋θ－cosπ＋θsinπ2－θ－sinπ－θ＝cosθ＋cosθcosθ－sinθ＝21－tanθ＝21－2＝－2.3．已知sinα＝23，α∈(π2，3π2)，则cos(π－α)＝()A．－53B．－19C．19D．53[答案]D[解析]由诱导公式，得cos(π－α)＝－cosα.∵cos2α＝1－sin2α＝1－49＝59，又sinα0且α∈(π2，3π2)，∴cosα＝－53，∴cos(π－α)＝53.4．(文)“x＝2kπ＋π4(k∈Z)”是“tanx＝1”成立的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案]A[解析]tan(2kπ＋π4)＝tanπ4＝1(k∈Z)；反之tanx＝1，则x＝kπ＋π4(k∈Z)．所以“x＝2kπ＋π4(k∈Z)”是“tanx＝1”的充分不必要条件．(理)“θ＝2π3”是“tanθ＝2cos(π2＋θ)”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案]A[解析]∵tanθ＝2cos(π2＋θ)＝－2sinθ，即sinθcosθ＝－2sinθ.∴sinθ＝0或cosθ＝－12.显然θ＝2π3时，cosθ＝－12，但sinθ＝0时，θ≠23π.故“θ＝2π3”是“tanθ＝2cos(π2＋θ)”的充分不必要条件．5．(文)(2015·深圳调研)若角α的终边落在直线x＋y＝0上，则sinα1－sin2α＋1－cos2αcosα的值等于()A．－2B．2C．－2或2D．0[答案]D[解析]原式＝sinα|cosα|＋|sinα|cosα，由题意知角α的终边在第二、四象限，sinα与cosα的符号相反，所以原式＝0.(理)(2015·桂林调研)若tanθ＋1tanθ＝4，则sin2θ的值为()A．15B．14C．13D．12[答案]D[解析]∵tanθ＋1tanθ＝1＋tan2θtanθ＝4，∴4tanθ＝1＋tan2θ，∴sin2θ＝2sinθcosθ＝2sinθcosθsin2θ＋cos2θ＝2tanθ1＋tan2θ＝2tanθ4tanθ＝12.6．若α为三角形的一个内角，且sinα＋cosα＝23，则这个三角形是()A．正三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．钝角三角形[答案]D[解析]∵(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα＝49，∴sinαcosα＝－5180，∴α为钝角，故选D．二、填空题7．若sin(π＋α)＝－12，α∈(π2，π)，则cosα＝________.[答案]－32[解析]∵sin(π＋α)＝－sinα，∴sinα＝12，又α∈(π2，π)，∴cosα＝－1－sin2α＝－32.8．如果sinα＝15，且α为第二象限角，则sin(3π2＋α)＝________.[答案]265[解析]∵sinα＝15，且α为第二象限角，∴cosα＝－1－sin2α＝－1－125＝－265，∴sin(3π2＋α)＝－cosα＝265.9．(2014·杭州调研)设f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，其中a，b，α，β∈R，且ab≠0，α≠kπ(k∈Z)．若f(2014)＝－5，则f(2015)＝________.[答案]5[解析]∵f(2014)＝asin(2014π＋α)＋bcos(2014π＋β)＝asinα＋bcosβ＝－5，∴f(2015)＝asin(2015π＋α)＋bcos(2015π＋β)＝－asinα－bcosα＝5.三、解答题10．(文)已知cos(π＋α)＝－12，且α在第四象限，计算：(1)sin(2π－α)；(2)sin[α＋2n＋1π]＋sinπ＋αsinπ－α·cosα＋2nπ(n∈Z)．[解析]∵cos(π＋α)＝－12.∴－cosα＝－12，cosα＝12，又∵α在第四象限，∴sinα＝－1－cos2α＝－32.(1)sin(2π－α)＝sin[2π＋(－α)]＝sin(－α)＝－sinα＝32.(2)sin[α＋2n＋1π]＋sinπ＋αsinπ－αcosα＋2nπ＝sinα＋2nπ＋π－sinαsinαcosα＝sinπ＋α－sinαsinαcosα＝－2sinαsinαcosα＝－2cosα＝－4.(理)已知sin(π－α)－cos(π＋α)＝23π2απ，求下列各式的值：(1)sinα－cosα；(2)sin3π2－α＋cos3π2＋α.[分析](1)化简已知条件sinα＋cosα＝23，再平方求sinαcosα则可求(sinα－cosα)2，最后得sinα－cosα.(2)化简cos3α－sin3α，再因式分解并利用(1)求解．[解析]由sin(π－α)－cos(π＋α)＝23，得sinα＋cosα＝23，两边平方，得1＋2sinα·cosα＝29，故2sinα·cosα＝－79.又π2απ，∴sinα0，cosα0.(1)(sinα－cosα)2＝1－2sinα·cosα＝1－－79＝169，∴sinα－cosα＝43.(2)sin3π2－α＋cos3π2＋α＝cos3α－sin3α＝(cosα－sinα)(cos2α＋cosα·sinα＋sin2α)＝－43×1－718＝－2227.一、选择题1．(2014·新课标Ⅰ)设α∈(0，π2)，β∈(0，π2)，且tanα＝1＋sinβcosβ，则()A．3α－β＝π2B．3α＋β＝π2C．2α－β＝π2D．2α＋β＝π2[答案]C[解析]本题考查了诱导公式以及三角恒等变换．运用验证法．解法1：当2α－β＝π2时，β＝2α－π2，所以1＋sin2α－π2cos2α－π2＝1－cos2αsin2α＝2·sin2αsin2α＝tanα.解法2：∵tanα＝sinαcosα＝1＋sinβcosβ，∴sin(α－β)＝cosα＝sin(π2－α)，∵α、β∈(0，π2)，∴α－β∈(－π2，π2)，π2－α∈(0，π2)，∴α－β＝π2－α，∴2α－β＝π2.2．已知cosπ6－α＝33，则cos56π＋α－sin2α－π6的值是()A．2＋32B．－2＋32C．2－33D．－2＋33[答案]B[解析]∵cos56π＋α＝cosπ－π6－α＝－cosπ6－α＝－33，而sin2α－π6＝1－cos2α－π6＝1－13＝23，∴原式＝－33－23＝－2＋33.二、填空题3．已知α∈(π，2π)，sin(α－7π2)＝－35，则sin(3π＋α)的值为________．[答案]45[解析]sin(α－7π2)＝－sin(7π2－α)＝－sin(－π2－α)＝sin(π2＋α)＝cosα＝－35，又α∈(π，2π)，∴sinα＝－45.∴sin(3π＋α)＝sin(π＋α)＝－sinα＝45.4．设函数f(x)＝sinx＋cosx，f′(x)是f(x)的导数，若f(x)＝2f′(x)，则sin2x－sin2xcos2x＝________.[答案]－59[解析]∵f(x)＝sinx＋cosx，∴f′(x)＝cosx－sinx，∴sinx＋cosx＝2(cosx－sinx)，即3sinx＝cosx，得tanx＝13，于是sin2x－sin2xcos2x＝sin2x－2sinxcosxcos2x＝tan2x－2tanx＝19－23＝－59.三、解答题5．已知f(x)＝cos2nπ＋x·sin2nπ－xcos2[2n＋1π－x](n∈Z)．(1)化简f(x)的表达式；(2)求f(π2014)＋f(503π1007)的值．[解析](1)当n为偶函数，即n＝2k(k∈Z)时，f(x)＝cos22kπ＋x·sin22kπ－xcos2[2×2k＋1π－x]＝cos2x·sin2－xcos2π－x＝cos2x·－sinx2－cosx2＝sin2x；当n为奇数，即n＝2k＋1(k∈Z)时，f(x)＝cos2[2k＋1π＋x]·sin2[2k＋1π－x]cos2{[2×2k＋1＋1]π－x}＝cos2[2kπ＋π＋x]·sin2[2kπ＋π－x]cos2[2×2k＋1π＋π－x]＝cos2π＋x·sin2π－xcos2π－x＝－cosx2sin2x－cosx2＝sin2x，综上得f(x)＝sin2x.(2)由(1)得f(π2014)＋f(503π1007)＝sin2π2014＋sin21006π2014＝sin2π2014＋sin2(π2－π2014)＝sin2π2014＋cos2π2014＝1.6．(文)已知sinθ，cosθ是方程x2－(3－1)x＋m＝0的两根．(1)求m的值；(2)求sinθ1－cosθsinθ＋cosθ1－tanθ的值．[解析](1)由韦达定理可得sinθ＋cosθ＝3－1①sinθ·cosθ＝m②，由①得1＋2sinθ·cosθ＝4－23.将②代入得m＝32－3，满足Δ＝(3－1)2－4m≥0，故所求m的值为32－3.(2)先化简：sinθ1－cosθsinθ＋cosθ1－tanθ＝sinθ1－cosθsinθ＋cosθ1－sinθcosθ＝sin2θsinθ－cosθ＋cos2θcosθ－sinθ＝cos2θ－sin2θcosθ－sinθ＝cosθ＋sinθ＝3－1.(理)已知A、B、C是三角形的内角，3sinA，－cosA是方程x2－x＋2a＝0的两根．(1)求角A．(2)若1＋2sinBcosBcos2B－sin2B＝－3，求tanB．[解析](1)由已知可得，3sinA－cosA＝1①又sin2A＋cos2A＝1，∴sin2A＋(3sinA－1)2＝1，即4sin2A－23sinA＝0，得sinA＝0(舍去)，sinA＝32，∴A＝π3或2π3，将A＝π3或2π3代入①知A＝23π时不成立，∴A＝π3.(2)由1＋2sinBcosBcos2B－sin2B＝－3，得sin2B－sinBcosB－2cos2B＝0，∵cosB≠0，∴tan2B－tanB－2＝0，∴tanB＝2或tanB＝－1.∵tanB＝－1使cos2B－sin2B＝0，舍去，故tanB＝2.