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竞赛讲座(25)-绝对值与二次根式1.绝对值例1(1986年扬州初一竞赛题)设T=|x-p|+|x-15|+|x-p-15|，其中0P15.对于满足P≤X≤15的X的来说，T的最小值是多少?p解由已知条件可得T=(x-p)+(15-x)+(p+15-x)=30-x.∵当p≤x≤15时，上式中在x取最大值时T最小;当x=15时，T=30-15=15，故T的最小值是15.例2若两数绝对值之和等于绝对值之积，且这两数都不等于0.试证这两个数都不在-1与-之间.证设两数为a、b，则|a|+|b|=|a||b|.∴|b|=|a||b|-|a|=|a|(|b|-1).∵ab≠0，∴|a|0，|b|0.∴|b|-1=0，∴|b|1.同理可证|a|1.∴a、b都不在-1与1之间.例3设a、b是实数，证明|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|.证明当|a|-|b|≤0时，|a|-|b|≤|a+b|成立.当|a|-|b|0时，由于(|a|-|b|)2-|a+b|2=(a2+b2-2|ab|)-(a2+b2+2ab)=-2(|ab|-ab)≤0，∴|a|-|b|≤|a+b|.同理可证|a+b|≤|a|+|b|.2.根式在根式进行化简、求值和证明的过程中，常采用配方法、乘方法、比较系数法、设参法、公式法等等，现举例如下：(1)配方法：将二次根号内的式子配成完全平方式，将三次根号下的式子配成完全立方式.例4(1981年宁波初中竞赛题)设的整数部分为x,小数部分为y,试求的值.解=4-=2+(2-),故x=2,y=2-,∴x+y+=4-+2+=6.例5化简解原式==|x+3|+|x-1|-|x-2|.令x+3=0，x-1=0，x-2=0.得x=-3，x=1，x=2，这些点把数轴划分成四个部分：当x-3时原式=-(x+3)-(x-1)+(x-2)=-x-4;当-3≤x1时，原式=(x+3)-(x-1)+(x-2)=x+2;当1≤x≤2时，原式=(x+3)+(x-1)+(x-2)=3x;当x2时，原式=(x+3)+(x-1)-(x-2)=x+4.说明：将根号下含字母的式子化为带绝对值的式子来讨论，是解这类问题的一般技巧.例6化简(a0).解原式===∵a0.∴a22b2，∴原式=例7求证：证明：∵=∴原式=4.(2)乘方法:由于乘方与开方互为逆运算,顺理成章地可以用乘方的方法去根号例8已知求证:(x+y+z)3=27xyz.证明:∵∴两边立方x+y+即再边再立方得(x+y+z)3=27xyz.例9已知求证证明设则即同理可设则∴A+B===由A+B=a，得∴(2)比较系数法例10求满足条件的自然数a、x、y.解将等式两边平方得∵x、y、a都是自然数.∴只能是无理数，否则与等式左边是无理数相矛盾.∴x+y=a，xy=6.由条件可知xy且x、y是自然数.当x=6时，y=1，得a=7.当x=3时，y=2，得a=5.故x=6,y=1,a=7.或x=3,y=2,a=5.例11化简分析被开方式展开后得13+2,含有三个不同的根式,且系数都是2,可看成是将平方得来的.解设=,两边平方得13+2=x+y+z+2比较系数,得①②③④由②有，代入③，得代入④，得y2=52，∴y=5(x、y、z非负)，∴=1，∴原式=1+(4)设参法例12(1986年数理化接力赛题)设(a1，a2，…，an，b1，b2，…，bn都是正数).求证:=证明设且a1=b1k,a2=b2k,…，an=bnk.左边==右边=·=∴左边=右边(5)公式法、代数变换及其他例13已知x=求x3+12x的值.解由公式(a-b)3=a3-b3-3ab(a-b)可得·=8-3=8-12x.∴x3+12x=8.例14设求x4+y4+(x+y)4.解由条件知∴x+y=5，xy=1.∴原式=(x2+y2)2-2x2y2+(x+y)4=[(x+y)2-2xy]2-2x2y2+(x+y)4=(25-2)2-2+54=1152.例15(1978年罗马尼亚竞赛题)对于a∈R，确定的所有可能的值.解记y=.①先假定a≥0，这时y≥0，把①两边平方得②即③再平方，整理后得④从而≥0.由②知y22a2+2-2=2.再由⑤知y2≤1，∴0≤y1.反过来,对于[0,1]中的每一个y值,由⑤可以定出a，并且这时2a2+2-y20，故可由⑤逆推出②和①，因而在a≥0时，的值域为(0，1).同样在a0时，的值域为(-1，0)，综上的值域是(-1，1).练习十七1.选择题(1)若实数x满足方程|1-x|=1+|x|，那么等于().(A)x-1(B)1-x(C)±(x-1)(D)1(E)-1(2)方程x|x|-5|x|+6=0的最大根和最小根的积为().(A)-6(B)3(C)-3(D)6(E)-18(3)已知最简根式与是同类根式，则满足条件的a、b的值().(A)不存在(B)有一组(C)有二组(D)多于二组2.空题(1)已知|x-8y|+(4y-1)2+则x+y+z=_________.(2)若abc0，l1=乘积中最小的一个是__________.(3)已知0X1，化简p(4)已知则(5)(北京市1989年高一数学竞赛题)设x是实数，且f(x)=|x+1|+|x+2|+|x+3|+|x+4|+|x+5|.则f(x)的最小值等于__________.3.化简(a0).4.已知ab0，a2+b2=a2b2，化简5.如果x0，y0，且试求的值.6.(第8届美国教学邀请赛试题)求的值.7.求适合下列各式的x、y;(1)若x、y为有理数，且(2)若x、y为整数，8.已知求证a2+b2=1.9.已知A=求证11A3-B312A3+B313.p10.(1985年武汉初二数学竞赛题)已知其中a、b都是正数.(1)当b取什么样的值时，的值恰好为b?(2)当b取什么样的值时，的值恰好为?练习十七1.略2.(1)3(2)l(3)2x(4)a2-2(5)6.3.当时，y=a，当x2a2时，y=4.∵ab0，∴|ab|=-ab，若a0b，原式=-ab;若a0p5.原式=2.6.原式=828.7.(1)(2)x=22，y=2;x=-22，y=-2.8.由条件知两边平方后整理得再平方得1-2b2-2a2+b4+2a2b2+a4=0即1-2(a2+b2)+(a2+b2)2=0,[1-(a2+b2)]2=0,∴a2+b2=1.9.∵A2+B2=6,AB=2,∴(A+B)2=1,A+B=,A-B=,∴A3-B3=(A-B)+3AB(A-B)=8.当b≥0时，原式值为b，当0B1时，原式值为p