华南理工大学高等数学 10届 统考卷下

1614592021607共5页第1页高等数学下册试卷2011．6．16姓名：学院与专业：学号：一、填空题[共20分]1.函数2249zxy在点2,1的梯度为gradz16,182.函数44222zxyxxyy的极值点是1,1,1,13.假设L为圆222xya的右半部分,则22Lxyds2a4.设22sin,2,xAeyxyzxzy,则1,0,1divA05.设221233,3,3xyyxyxe都是方程22222266xxyxyxyx的解,则方程的通解为2123xycxce二、（本题8分）计算三重积分222xyzdv,其中是由2221xyz所围成的闭区域.解原式2140004sin5ddd三、（本题8分）证明:,fxyxy在点0,0处连续,0,0xf,与0,0yf存在,但在0,0处不可微.证因为00lim,00,0xyfxyf,所以,fxyxy在点0,0处连续;00,00,0000,0limlim00xxxfxffxx,00,0,00,0lim00yyfyffy,,所以0,0xf,与0,0yf存在,1614592021607共5页第2页但220000,00,0limlimxyxyxyzfxfyxy不存在(只要取0ykx便可证明),从而该函数在0,0处不可微.四、（本题8分）设函数,uxy有连续偏导数,试用极坐标与直角坐标的转化公式cos,sinxryr,将uuxyyx转化为,r下的表达式.解:cossinuuxuyuurxryrxysincosuuxuyuurrxyxy从而sincoscos,sinuyuuyuxrryrr故cossinsincosuuyuyuuxyxyyxrrrr五、（本题8分）计算22Lxdyydxxy,其中L为(1)圆周22111xy(按反时针方向)(2)圆周1xy(按反时针方向)解:(1)令2222,yxPQxyxy,则22222PyxQyxxy在所围区域每点成立从而由格林公式220LDxdyydxQPxyxy(2)取1L为圆周220.01xy(按反时针方向)则在1L和L中间的区域1D内每一点成立22222PyxQyxxy从而由格林公式11220LLDxdyydxQPxyxy1614592021607共5页第3页1112222111220.0120.010.010.01LLLDxdyydxxdyydxxdyydxdxdyxyxy六、（本题8分）计算ydS,是平面1xyz被圆柱面221xy截出的有限部分解平面的法向量为111,1,1,1,1,1,cos33nn30xyDydSydxdy(由对称性)七、（本题8分）计算曲面积分2Iyzdzdxdxdy,其中为上半球面224zxy的上侧.解取一曲面221:04zxy,下侧.两曲面形成封闭曲面的外侧,围成有高斯公式122230002cossin4yzdzdxdxdyzdvddd1228Dyzdzdxdxdydxdy故原式12八、（本题6分）求微分方程sindyyxdxxx的通解解由非齐次线性微分方程的解的公式11lnlnsinsin1sincosdxdxxxxxxxxcxyeedxceedxcxdxcxxxxx九、（本题6分）求微分方程22xyyye的通解解对应的齐次方程的特征方程为2121210,2110,1,2rrrrrr对照非齐次项的标准形式,0,1xmfxPxem不是特征根，故0k特解的待定形式为*kxxmyxQxeae，代入非齐次方程，得1a从而原方程的通解为1212xxxycecee十、（非化工类做）（本题6分）求幂级数121114nnnnxn的收敛域.1614592021607共5页第4页解1111114lim4,241nnnnnnRRRn当2x时，幂级数化为111nnn收敛当2x时，幂级数化为111nnn也收敛从而收敛域为2,2十一（本题7分）将函数22xfxxx展开成麦克劳林级数，并确定其成立的区间.解11112131231612xxxxfxxxxxxx011,1,11nnnxxx；01,2,2212nnnxxx从而011,1,1362nnnnfxxx十二、（非化工类做）（本题6分）设函数fx是以2为周期的周期函数，它,在上的表达式为1,01,0xfxx，将其展成傅立叶级数，并确定其成立范围。.解:由函数,上的奇函数性质，00a，022sin11,1,2,,nnbnxdxnn所以1,221~sin,0,1,2,0,nnfxxkfxnxknxk十、（化工类做）（本题6分）求微分方程222336640xxydxxyydy的通十一、（化工类做）（本题7分）计算Lxds，其中L为直线yx及抛物线2yx所1614592021607共5页第5页围成的区域的整个边界.十二、（化工类做）（本题6分）求微分方程2201yyy的通解