新课标版数学（理）高三总复习：题组层级快练16

题组层级快练(十六)1．函数y＝x2(x－3)的单调递减区间是()A．(－∞，0)B．(2，＋∞)C．(0,2)D．(－2,2)答案C解析y′＝3x2－6x，由y′＜0，得0＜x＜2.2．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是()A．(－∞，2)B．(0,3)C．(1,4)D．(2，＋∞)答案D解析f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝(x－2)ex，令f′(x)0，解得x2，故选D.3．(2015·湖北八校联考)函数f(x)＝lnx－ax(a0)的单调递增区间为()A．(0，1a)B．(1a，＋∞)C．(－∞，1a)D．(－∞，a)答案A解析由f′(x)＝1x－a0，得0x1a.∴f(x)的单调递增区间为(0，1a)．4．若函数y＝a(x3－x)的单调递减区间为(－33，33)，则实数a的取值范围是()A．a＞0B．－1＜a＜0C．a＞1D．0＜a＜1答案A解析y′＝a(3x2－1)，解3x2－1＜0，得－33＜x＜33.∴f(x)＝x3－x在(－33，33)上为减函数．又y＝a(x3－x)的单调递减区间为(－33，33)，∴a＞0.5．(2014·陕西理)如图，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点A的水平距离10千米处开始下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分，则该函数的解析式为()A．y＝1125x3－35xB．y＝2125x3－45xC．y＝3125x3－xD．y＝－3125x3＋15x答案A解析设所求函数解析式为y＝f(x)，由题意知f(5)＝－2，f(－5)＝2，且f′(±5)＝0，代入验证易得y＝1125x3－35x符合题意，故选A.6．若函数f(x)＝(x2－2x)ex在(a，b)上单调递减，则b－a的最大值为()A．2B.2C．4D．22答案D解析f′(x)＝(2x－2)ex＋(x2－2x)ex＝(x2－2)ex，令f′(x)0，∴－2x2.即函数f(x)的单调递减区间为(－2，2)．∴b－a的最大值为22.7．(2015·冀州中学模拟)若函数f(x)的导函数f′(x)＝x2－4x＋3，则使函数f(x－1)单调递减的一个充分不必要条件是x∈()A．(0,1)B．[0,2]C．(2,3)D．(2,4)答案C解析由f′(x)0⇔x2－4x＋30，即1x3，∴函数f(x)在(1,3)上单调递减．∴函数f(x－1)在(2,4)上单调递减．故D为充要条件，C为充分不必要条件．8．若f(x)＝－12x2＋bln(x＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则实数b的取值范围是()A．[－1，＋∞)B．(－1，＋∞)C．(－∞，－1]D．(－∞，－1)答案C解析f′(x)＝－x＋bx＋2≤0在(－1，＋∞)上恒成立，即b≤x(x＋2)在(－1，＋∞)上恒成立．又x(x＋2)＝(x＋1)2－1－1，∴b≤－1，故选C.9．函数f(x)在定义域R内可导，若f(x)＝f(2－x)，且当x∈(－∞，1)时，(x－1)f′(x)0，设a＝f(0)，b＝f(12)，c＝f(3)，则()A．abcB．cabC．cbaD．bca答案B解析由f(x)＝f(2－x)可得对称轴为x＝1，故f(3)＝f(1＋2)＝f(1－2)＝f(－1)．又x∈(－∞，1)时，(x－1)f′(x)0，可知f′(x)0.即f(x)在(－∞，1)上单调递增，f(－1)f(0)f(12)，即cab.10．已知函数f(x)(x∈R)的图像上任一点(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝(x0－2)(x20－1)(x－x0)，那么函数f(x)的单调减区间是()A．[－1，＋∞)B．(－∞，2]C．(－∞，－1)和(1,2)D．[2，＋∞)答案C解析根据函数f(x)(x∈R)的图像上任一点(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝(x0－2)(x20－1)(x－x0)，可知其导数f′(x)＝(x－2)(x2－1)＝(x＋1)(x－1)(x－2)，令f′(x)0，得x－1或1x2.因此f(x)的单调减区间是(－∞，－1)和(1,2)．11．已知函数y＝xf′(x)的图像如下图所示．下面四个图像中y＝f(x)的图像大致是()答案C解析由题意知，x∈(0,1)时，f′(x)0.f(x)为减函数；x∈(1，＋∞)时，f′(x)0.f(x)为增函数；x∈(－1,0)时，f′(x)0.f(x)为减函数．12．函数y＝x－2sinx在(0,2π)内的单调增区间为________．答案(π3，5π3)解析∵y′＝1－2cosx，∴由y′0，0x2π，即1－2cosx0，0x2π，得π3x5π3.∴函数y＝x－2sinx在(0,2π)内的增区间为(π3，5π3)．13．若函数f(x)的定义域为R，且满足f(2)＝2，f′(x)1，则不等式f(x)－x0的解集为________．答案(2，＋∞)解析令g(x)＝f(x)－x，∴g′(x)＝f′(x)－1.由题意知g′(x)0，∴g(x)为增函数．∵g(2)＝f(2)－2＝0，∴g(x)0的解集为(2，＋∞)．14．若函数f(x)＝x3＋ax－2在(1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是________．答案[－3，＋∞)解析f′(x)＝3x2＋a，f(x)在区间(1，＋∞)上是增函数，则f′(x)＝3x2＋a≥0在(1，＋∞)上恒成立，即a≥－3x2在(1，＋∞)上恒成立．∴a≥－3.15．已知函数f(x)＝kx3＋3(k－1)x2－k2＋1(k0)的单调递减区间是(0,4)．(1)实数k的值为________；(2)若在(0,4)上为减函数，则实数k的取值范围是________．答案(1)13(2)0k≤13解析(1)f′(x)＝3kx2＋6(k－1)x，由题意知f′(4)＝0，解得k＝13.(2)由f′(x)＝3kx2＋6(k－1)x≤0并结合导函数的图像可知，必有－2k－1k≥4，解得k≤13.又k0，故0k≤13.16．已知a是实数，求函数f(x)＝x(x－a)的单调区间．答案①a0时，单调递减区间为[0，a3]，单调递增区间为[a3，＋∞)②a≤0时，f(x)单调递增区间为[0，＋∞)17．已知函数f(x)＝lnx＋kex(k为常数，e＝2.71828…是自然对数的底数)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行．(1)求k的值；(2)求f(x)的单调区间．答案(1)k＝1(2)单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)解析(1)由f(x)＝lnx＋kex，得f′(x)＝1－kx－xlnxxex，x∈(0，＋∞)．由于曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线与x轴平行，所以f′(1)＝0，因此k＝1.(2)由(1)得f′(x)＝1xex(1－x－xlnx)，x∈(0，＋∞)．令h(x)＝1－x－xlnx，x∈(0，＋∞)，当x∈(0,1)时，h(x)0；当x∈(1，＋∞)时，h(x)0.又ex0，所以x∈(0,1)时，f′(x)0；x∈(1，＋∞)时，f′(x)0.因此f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)．18．(2015·山东师大附中)已知函数f(x)＝x－ax－lnx，a0.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若f(x)x－x2在(1，＋∞)上恒成立，求实数a的取值范围．答案(1)0a14时，单调递增区间为(0，1－1－4a2)，(1＋1－4a2，＋∞)，单调递减区间为(1－1－4a2，1＋1－4a2)；a≥14时，单调递增区间为(0，＋∞)(2)0a≤1解析(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，由于f′(x)＝1＋ax2－1x＝x2－x＋ax2，令m(x)＝x2－x＋a，①当Δ＝1－4a≤0，即a≥14时，f′(x)≥0恒成立，所以函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数；②当Δ＝1－4a0，即0a14时，由x2－x＋a0，得0x1－1－4a2或x1＋1－4a2.所以f(x)在(0，1－1－4a2)，(1＋1－4a2，＋∞)上是增函数，在(1－1－4a2，1＋1－4a2)上是减函数．综上知，当0a14时，f(x)在(0，1－1－4a2)，(1＋1－4a2，＋∞)上是增函数，在(1－1－4a2，1＋1－4a2)上是减函数．当a≥14时，f(x)在(0，＋∞)上是增函数．(2)f(x)x－x2，即x2－ax－lnx0，因为x∈(1，＋∞)，所以ax3－xlnx.令g(x)＝x3－xlnx，h(x)＝g′(x)＝3x2－lnx－1，h′(x)＝6x－1x＝6x2－1x，在(1，＋∞)上h′(x)0，得h(x)h(1)＝2，即g′(x)0，故g(x)＝x3－xlnx在(1，＋∞)上为增函数，g(x)g(1)＝1，所以0a≤1.已知函数f(x)＝12mx2＋lnx－2x在定义域内是增函数，则实数m的取值范围为________．答案[1，＋∞)解析f′(x)＝mx＋1x－2≥0对一切x0恒成立．m≥－1x2＋2x，令g(x)＝－1x2＋2x，则当1x＝1时，函数g(x)取得最大值1，故m≥1.