搜索
127.2.3切线第2课时切线长定理及三角形的内切圆知|识|目|标1．经历折叠纸片的操作过程，归纳得出切线长定理并掌握切线长定理．2．经历教材中“试一试”的实践操作，理解三角形的内切圆及相关知识．目标一能探索并掌握切线长定理例1教材补充例题如图27－2－12，已知⊙O的切线PA，PB，A，B为切点，把⊙O沿着直线OP对折，你能发现什么？请证明你所发现的结论．结论：PA＝________，∠OPA＝________.图27－2－12证明：如图27－2－13，连结OA，OB.∵PA，PB与⊙O相切，A，B是切点，∴OA⊥________，OB⊥________，即∠OAP＝________＝90°.∵__________________________，∴Rt△AOP≌Rt△BOP(H.L.)，∴PA＝________，∠OPA＝________．图27－2－13试用文字语言叙述你所发现的结论．例2高频考题如图27－2－14，PA，PB分别切⊙O于A，B两点，∠OAB＝30°.(1)求∠APB的度数；(2)当OA＝3时，求AP的长．图27－2－142【归纳总结】切线长定理中的基本图形：如图27－2－15，PA，PB为⊙O的切线，A，B为切点，此图形中含有：图27－2－15(1)两个等腰三角形(△PAB，△OAB)；(2)一条特殊的角平分线(OP平分∠APB和∠AOB);(3)三个垂直关系(OA⊥PA,OB⊥PB，OP⊥AB)．目标二理解三角形的内切圆例3教材补充例题如图27－2－16，已知△ABC的内切圆⊙O与各边分别相切于点D，E，F，则点O是△DEF的()图27－2－16A．三条中线的交点B．三条高的交点C．三条角平分线的交点D．三条边的垂直平分线的交点例4教材补充例题△ABC的内切圆的半径为r，△ABC的周长为l，求△ABC的面积S.3【归纳总结】三角形“四心”的区别：外心三角形外接圆的圆心，即三角形三边垂直平分线的交点内心三角形内切圆的圆心，即三角形三条角平分线的交点重心三角形三条中线的交点垂心三角形三条高的交点提示：(1)三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形某顶点的连线平分这个顶点处的内角；三角形的内心都在三角形内部．(2)三角形的内切圆有且只有一个，而圆有无数个外切三角形．(3)常用S△ABC＝12(a＋b＋c)r(其中a，b，c为△ABC的三边长)求三角形的内切圆的半径r.(4)若△ABC为直角三角形(不妨设∠C＝90°)，则△ABC内切圆的半径r＝a＋b－c2或r＝aba＋b＋c(其中a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边)．知识点一切线长及切线长定理(1)圆的切线上某一点与________之间的线段的长叫做这点到圆的切线长．(2)过圆外一点所画的圆的两条切线，________相等．这一点和圆心的连线平分____________________．知识点二三角形的内切圆(1)与三角形________________叫做这个三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做这个三角形的________，这个三角形叫做这个圆的外切三角形．(2)三角形的内心就是三角形______________，三角形的内心到____________的距离相等．4如图27－2－17是切线长定理的一个基本图形(PA，PB为⊙O的切线，A，B为切点)，由切线长定理可以推出很多的结论，如：(1)垂直：OA⊥________，OB⊥________，AB⊥________；(2)角相等：∠1＝∠________＝∠________＝∠________，∠5＝∠________＝∠________＝∠________；(3)线段相等：PA＝________，AC＝________；(4)弧相等：AD︵＝________，AE︵＝________．图27－2－175教师详解详析【目标突破】例1解：PB∠OPBPAPB∠OBPOA＝OB，OP＝OPPB∠OPB用文字语言叙述结论：过圆外一点所画的圆的两条切线，它们的切线长相等．这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角．例2[解析](1)方法一：根据切线的性质可知：∠OAP＝∠OBP＝90°.根据三角形的内角和为180°可求出∠AOB的度数，再根据四边形的内角和为360°可求出∠APB的度数；方法二：证明△ABP为等边三角形，从而可求出∠APB的度数．(2)方法一：作辅助线，连结OP.在Rt△OAP中，利用三角函数可求出AP的长；方法二：作辅助线，过点O作OD⊥AB于点D.在Rt△OAD中，求出AD的长，从而求出AB的长，即为AP的长．解：(1)方法一：∵在△ABO中，OA＝OB，∠OAB＝30°，∴∠AOB＝180°－2×30°＝120°.∵PA，PB是⊙O的切线，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∴在四边形OAPB中，∠APB＝360°－120°－90°－90°＝60°.方法二：∵PA，PB是⊙O的切线，∴PA＝PB，OA⊥PA.∵∠OAB＝30°，∴∠BAP＝90°－30°＝60°，∴△ABP是等边三角形，∴∠APB＝60°.(2)方法一：如图①，连结OP.∵PA，PB是⊙O的切线，∴PO平分∠APB，即∠APO＝12∠APB＝30°.又∵在Rt△OAP中，OA＝3，∴AP＝OAtan30°＝33.方法二：如图②，过点O作OD⊥AB于点D.∵在△OAB中，OA＝OB，∴AD＝12AB.∵在Rt△AOD中，OA＝3，∠OAD＝30°，6∴AD＝OA·cos30°＝332，∴AB＝2AD＝33，∴AP＝AB＝33.例3[答案]D例4解：如图，设△ABC的内切圆⊙O与三边分别相切于点D，E，F，连结OA，OB，OC，OD，OE，OF，则OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC.所以S＝S△AOB＋S△AOC＋S△BOC＝12AB·OD＋12AC·OF＋12BC·OE＝12lr.【总结反思】[小结]知识点一(1)切点(2)它们的切线长这两条切线的夹角知识点二(1)各边都相切的圆内心(2)三条角平分线的交点三角形三边[反思](1)PAPBPO(2)234678(3)PBBC(4)BD︵BE︵