教辅-高考数学大二轮专题复习-第三编中难解答突破训练(二)

特色专项增分练第三编讲应试3套中难解答突破训练中难解答突破训练(二)1.在①S4是a2与a21的等差中项；②a7是S33与a22的等比中项；③数列{a2n}的前5项和为65这三个条件中任选一个，补充在横线中，并解答下面的问题．已知{an}是公差为2的等差数列，其前n项和为Sn，________．(1)求an；解(1){an}是公差d为2的等差数列，若选①S4是a2与a21的等差中项，可得2S4＝a2＋a21，即有2(4a1＋6d)＝2a1＋21d，即为6a1＝9d＝18，解得a1＝3.所以an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，n∈N*.若选②a7是S33与a22的等比中项，可得a27＝13S3·a22，即(a1＋6×2)2＝13(3a1＋3×2)·(a1＋21×2)，即(a1＋12)2＝(a1＋2)·(a1＋42)，解得a1＝3.所以an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，n∈N*.若选③数列{a2n}的前5项和为65，可得a2＋a4＋…＋a10＝65，即5a1＋(1＋3＋5＋7＋9)d＝5a1＋25d＝5a1＋50＝65，解得a1＝3.所以an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，n∈N*.(2)设bn＝34n·an，是否存在k∈N*，使得bk＞278？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．解(2)bn＝34n·an＝(2n＋1)·34n，由bn＋1－bn＝(2n＋3)·34n＋1－(2n＋1)·34n＝5－2n4·34n，当n＝1，2时，可得bn＋1－bn＞0，即b3＞b2＞b1；当n≥3，n∈N*时，可得bn＋1－bn＜0，即b3＞b4＞b5＞…，则bn的最大项为b3＝18964，由18964＜278，可得不存在k∈N*，使得bk＞278.2.某市规划了一条自行车赛道的平面示意图，如图五边形ABCDE.ED，DC，CB，BA，AE为赛道(不考虑宽度)，BE为赛道内的一条服务通道，∠BCD＝∠CDE＝∠BAE＝2π3，DE＝4km，BC＝CD＝3km.(1)求服务通道BE的长度；解(1)连接BD，∵∠BCD＝∠CDE＝∠BAE＝2π3，DE＝4km，BC＝CD＝3km，∴在△BCD中，由余弦定理可得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos∠BCD＝3＋3＋2×3×3×12＝9，∴BD＝3km.∵BC＝CD，∴∠CBD＝∠CDB＝π6.又∠CDE＝2π3，∴∠BDE＝π2.在Rt△BDE中，BE＝BD2＋DE2＝5km.(2)应如何设计，才能使折线段赛道BAE最长？解(2)解法一：在△BAE中，∠BAE＝2π3，BE＝5km，由余弦定理可得BE2＝AB2＋AE2－2AB·AE·cos∠BAE，即25＝AB2＋AE2＋AB·AE，可得(AB＋AE)2－25＝AB·AE≤AB＋AE22，从而34(AB＋AE)2≤25，即AB＋AE≤1033，当且仅当AB＝AE＝533时，等号成立，即将折线段赛道设计为AB＝AE＝533km时，折线段赛道BAE最长．解法二：在△BAE中，∠BAE＝2π3，BE＝5km.设∠ABE＝θ，则0θπ3，由正弦定理得BEsin2π3＝AEsinθ＝ABsinπ3－θ，所以AE＝1033sinθ，AB＝1033sinπ3－θ，则AE＋AB＝1033sinθ＋1033sinπ3－θ＝103312sinθ＋32cosθ＝1033sinπ3＋θ.因为0θπ3，所以当θ＝π6时，AB＋AE取最大值，即折线段赛道BAE最长，即将∠ABE设计为π6时，折线段赛道BAE最长．3．新药在进入临床实验之前，需要先通过动物进行有效性和安全性的实验．现对某种新药进行5000次动物实验，一次实验方案如下：选取3只白鼠对药效进行检验，当3只白鼠中有2只或2只以上使用“效果明显”，即确定“实验成功”；若有且只有1只“效果明显”，则再取2只白鼠进行二次检验，当2只白鼠均使用“效果明显”，即确定“实验成功”，其余情况则确定“实验失败”．设对每只白鼠的实验相互独立，且使用“效果明显”的概率均为p(0p1).(1)若p＝12，设该新药在一次实验方案中“实验成功”的概率为P0，求P0的值；解(1)当p＝12时，一次检验就取得“实验成功”的概率为C23p2(1－p)＋C33p3＝3×14×12＋123＝12；经过两次检验才取得“实验成功”的概率为[C13p(1－p)2]p2＝3×12×14×14＝332.在一次实验方案中“实验成功”的概率为P0＝12＋332＝1932.(2)若动物实验预算经费700万元，对每只白鼠进行实验需要300元，其他费用总计为100万元，问该动物实验总费用是否会超出预算，并说明理由．解(2)设一次实验方案需要用到的经费为X元，则X的可能取值为900，1500.P(X＝900)＝1－C13p(1－p)2，P(X＝1500)＝C13p(1－p)2.所以E(X)＝900×[1－C13p(1－p)2]＋1500C13p(1－p)2＝900＋1800p(1－p)2，设f(p)＝p(1－p)2，则f′(p)＝(1－p)2＋2p(p－1)＝(3p－1)(p－1)，当p∈0，13时，f′(p)0，所以f(p)在0，13上单调递增；当p∈13，1时，f′(p)0，所以f(p)在13，1上单调递减．所以f(p)的最大值为f13＝427，因此实施一次此方案最高费用为900＋1800×427＝35003元，所以动物实验阶段估计最高试验费用为100＋35003×5000×10－4＝100＋17503＝20503万元，因为20503700，所以该阶段经费使用不会超出预算．4.如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD(及其内部)以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G是DF︵的中点．(1)设P是CE︵上的一点，且AP⊥BE，求∠CBP的大小；解(1)因为AP⊥BE，AB⊥BE，AB，AP⊂平面ABP，AB∩AP＝A，所以BE⊥平面ABP.又BP⊂平面ABP，所以BE⊥BP.又∠EBC＝120°，所以∠CBP＝30°.(2)当AB＝3，AD＝2时，求二面角E－AG－C的大小．解(2)解法一：如图，取EC︵的中点H，连接EH，GH，CH.因为∠EBC＝120°，所以四边形BEHC为菱形，所以AE＝GE＝AC＝GC＝32＋22＝13.取AG的中点M，连接EM，CM，EC，则EM⊥AG，CM⊥AG，所以∠EMC为所求二面角的平面角．又AM＝1，所以EM＝CM＝13－1＝23.在△BEC中，由于∠EBC＝120°，由余弦定理得EC2＝22＋22－2×2×2×cos120°＝12，所以EC＝23，所以△EMC为等边三角形，故所求的角为60°.解法二：以B为坐标原点，分别以BE，BP，BA所在的直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz.由题意得A(0，0，3)，E(2，0，0)，G(1，3，3)，C(－1，3，0)，故AE→＝(2，0，－3)，AG→＝(1，3，0)，CG→＝(2，0，3).设m＝(x1，y1，z1)是平面AEG的一个法向量，由m·AE→＝0，m·AG→＝0，可得2x1－3z1＝0，x1＋3y1＝0，取z1＝2，可得平面AEG的一个法向量为m＝(3，－3，2).设n＝(x2，y2，z2)是平面ACG的一个法向量．由n·AG→＝0，n·CG→＝0，可得x2＋3y2＝0，2x2＋3z2＝0，取z2＝－2，可得平面ACG的一个法向量n＝(3，－3，－2).所以cos〈m，n〉＝m·n|m||n|＝12.故所求的角为60°.本课结束