课时作业8二项式系数的性质知识点一与杨辉三角有关的问题1.如下图,在由二项式系数所构成的杨辉三角中,第________行从左至右第14与第15个数之比为2∶3.111121133114641…答案34解析设第n行从左至右第14与第15个数之比为2∶3,则C13n∶C14n=2∶3.∴3C13n=2C14n,即3·n!13!n-!=2·n!14!n-!,∴n=34.知识点二二项式系数和的问题2.若x+1xn展开式的二项式系数之和为64,则展开式的常数项为()A.10B.20C.30D.120答案B解析由2n=64,得n=6,∴Tr+1=Cr6x6-r1xr=Cr6x6-2r(0≤r≤6,r∈N).由6-2r=0,得r=3.∴T4=C36=20.3.(1+x)n(3-x)的展开式中各项系数的和为1024,则n的值为()A.8B.9C.10D.11答案B解析由题意知(1+1)n(3-1)=1024,即2n+1=1024,所以n=9.故选B.知识点三二项式系数的性质应用4.已知(a+b)n展开式中只有第5项的二项式系数最大,则n等于()A.11B.10C.9D.8答案D解析∵只有第5项的二项式系数最大,∴n2+1=5.∴n=8.5.已知(1+2x)2n的展开式中奇次项系数之和等于364,那么展开式中二项式系数最大的项是()A.第3项B.第4项C.第5项D.第6项答案B解析设(1+2x)2n=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a2n-1x2n-1+a2nx2n,则展开式中奇次项系数之和就是a1+a3+a5+…+a2n-1.分别令x=1,x=-1,得a0+a1+a2+a3+…+a2n-1+a2n=32n,a0-a1+a2-a3+…-a2n-1+a2n=1,两式相减,得a1+a3+a5+…+a2n-1=32n-12.由已知,得32n-12=364,∴32n=729=36,即n=3.(1+2x)2n=(1+2x)6的展开式共有7项,中间一项的二项式系数最大,即第4项的二项式系数最大,选B.6.在二项式x+13x2n的展开式中,(1)若第5项的二项式系数与第3项的二项式系数的比是14∶3,求展开式中的常数项;(2)若所有奇数项的二项式系数的和为A,所有项的系数和为B,且AB=24364,求展开式中二项式系数最大的项.解(1)依题意C4n∶C2n=14∶3,化简:得(n-2)(n-3)=56,解得n=10或n=-5(舍去).∴Tr+1=Cr10·x10-r2·(3x2)-r=3-rCr10x10-5r2,令10-5r2=0得r=2.∴常数项为第3项,T3=3-2C210=5.(2)由题意可知,A=2n-1,B=43n,则AB=2n-143n=24364,解得n=5,展开式中二项式系数最大的项是第3项和第4项,T3=C25(x)313x22=109x-52,T4=C35(x)213x23=1027x-5.一、选择题1.x-1x11的展开式中二项式系数最大的项是()A.第3项B.第6项C.第6、7项D.第5、7项答案C解析x-1x11的展开式中第11+12项和11+12+1项,即第6、7项的二项式系数相等,且最大.2.x+1xn的展开式中第8项是常数,则展开式中系数最大的项是()A.第8项B.第9项C.第8项和第9项D.第11项和第12项答案D解析由题意T8=C7n(x)n-7·1x7=C7nxn-212,故n=21.则展开式中系数最大的项是第11项和第12项.3.设m为正整数,(x+y)2m展开式的二项式系数的最大值为a,(x+y)2m+1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a=7b,则m等于()A.5B.6C.7D.8答案B解析由二项式系数的性质知:二项式(x+y)2m的展开式中二项式系数最大值有一项Cm2m=a,二项式(x+y)2m+1的展开式中二项式系数最大值有两项Cm2m+1=Cm+12m+1=b,因此13Cm2m=7Cm2m+1,所以13·m!m!m!=7·m+!m!m+!,所以m=6.故选B.4.若对于任意实数x,有x3=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+a3(x-2)3,则a2的值为()A.3B.6C.9D.12答案B解析解法一:x3=[2+(x-2)]3=C0323+C1322(x-2)+C232(x-2)2+C33(x-2)3=8+12(x-2)+6(x-2)2+(x-2)3,∴a2=6.解法二:右边x2的系数为C02a2+C13(-2)a3=a2-6a3,右边x3的系数为a3,利用左右两边对应系数相等,得a3=1,a2-6a3=0.∴a2=6.故选B.5.(2x-1)10的展开式中x的奇次幂项的系数之和为()A.1+3102B.1-3102C.310-12D.-1+3102答案B解析设(2x-1)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,令x=1,得1=a0+a1+a2+…+a10,再令x=-1,得310=a0-a1+a2-a3+…-a9+a10,两式相减可得,a1+a3+…+a9=1-3102,故选B.二、填空题6.下列关于(a+b)10的说法:①展开式中的各二项式系数之和为1024;②展开式中第6项的二项式系数最大;③展开式中第5项与第7项的二项式系数最大;④展开式中第6项的系数最小.其中正确说法的个数为________.答案2解析根据二项式系数的性质,知(a+b)10的展开式中的各二项式系数之和为210=1024,故说法①正确;(a+b)10的展开式中,二项式系数最大的项是中间一项,即第6项的二项式系数最大,故说法②正确,说法③错误;易知展开式中各项的系数等于二项式系数,故第6项的系数最大,故说法④错误.7.已知(x+1)10=a1+a2x+a3x2+…+a11x10,若数列a1,a2,a3,…,ak(1≤k≤11,k∈Z)是一个单调递增数列,则k的最大值是________.答案6解析(x+1)n展开式的各项系数为其二项式系数,当n=10时,展开式的中间项第六项的二项式系数最大,故k的最大值为6.8.已知x4(x+3)8=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+…+a12·(x+2)12,则log2(a1+a3+…+a11)=________.答案7解析令x=-1,∴28=a0+a1+a2+…+a11+a12.令x=-3,∴0=a0-a1+a2-…-a11+a12,∴28=2(a1+a3+…+a11),∴a1+a3+…+a11=27,∴log2(a1+a3+…+a11)=log227=7.三、解答题9.已知(3x+x2)2n的展开式的系数和比(3x-1)n的展开式的系数和大992,求2x-1x2n的展开式中:(1)二项式系数最大的项;(2)系数的绝对值最大的项.解由题意得22n-2n=992,解得n=5.(1)2x-1x10的展开式中第6项的二项式系数最大,即T6=C510·(2x)5·-1x5=-8064.(2)设第k+1项的系数的绝对值最大,则Tk+1=Ck10·(2x)10-k·-1xk=(-1)k·Ck10·210-k·x10-2k.∴Ck10·210-k≥Ck-110·210-k+1,Ck10·210-k≥Ck+110·210-k-1,得Ck10≥2Ck-110,2Ck10≥Ck+110,即11-k≥2k,k+-k.∴83≤k≤113,∴k=3,故系数的绝对值最大的是第4项T4=(-1)3C310·27·x4=-15360x4.10.已知(2x-3y)9=a0x9+a1x8y+a2x7y2+…+a9y9,求:(1)各项系数之和;(2)所有奇数项系数之和;(3)系数绝对值的和;(4)分别求出奇数项的二项式系数之和与偶数项的二项式系数之和.解(1)令x=1,y=1,得a0+a1+a2+…+a9=(2-3)9=-1.①(2)由(1)知,a0+a1+a2+…+a9=-1.令x=1,y=-1,可得a0-a1+a2-…-a9=59.②将①②两式相加,可得a0+a2+a4+a6+a8=59-12.(3)解法一:|a0|+|a1|+|a2|+…+|a9|=a0-a1+a2-a3+…-a9,令x=1,y=-1,则|a0|+|a1|+|a2|+…+|a9|=a0-a1+a2-a3+…-a9=59.解法二:|a0|+|a1|+|a2|+…+|a9|即为(2x+3y)9的展开式中各项的系数和,令x=1,y=1,得|a0|+|a1|+|a2|+…+|a9|=59.(4)奇数项的二项式系数之和为C09+C29+…+C89=28.偶数项的二项式系数之和为C19+C39+…+C99=28.
本文标题:2019-2020学年高中数学 1.3.2.1 二项式系数的性质课时作业(含解析)新人教A版选修2-
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