课时作业23导数的几何意义知识点一导数的几何意义1.下面说法正确的是()A.若f′(x0)不存在,则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处没有切线B.若曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处有切线,则f′(x0)必存在C.若f′(x0)不存在,则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率不存在D.若曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处没有切线,则f′(x0)有可能存在答案C解析曲线在点(x0,y0)处有导数,则切线一定存在;但有切线,切线的斜率不一定存在,即导数不一定存在.2.曲线y=x2在x=0处的()A.切线斜率为1B.切线方程为y=2xC.没有切线D.切线方程为y=0答案D解析k=y′=limΔx→0+Δx2-02Δx=limΔx→0Δx=0,所以k=0,又y=x2在x=0处的切线过点(0,0),所以切线方程为y=0.知识点二导函数的概念3.函数在某一点的导数是()A.在该点的函数的改变量与自变量的改变量的比B.一个函数C.一个常数,不是变数D.函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率答案C解析根据函数在一某点处的导数的定义,可知选C.4.设f(x)在定义域内的每一点处都存在导数,且满足limΔx→0f-f-ΔxΔx=-1,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为__________.答案-1解析由题意得limΔx→0f[1+-Δx-f-Δx=f′(1)=-1,则曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线的斜率为f′(1)=-1.5.已知抛物线y=x2+4与直线y=x+10,求:(1)它们的交点;(2)抛物线在交点处的切线方程.解(1)由y=x2+4,y=x+10,得x2+4=x+10,即x2-x-6=0,∴x=-2或x=3.代入直线的方程得y=8或y=13.∴抛物线与直线的交点坐标为(-2,8)或(3,13).(2)∵y=x2+4,∴y′=limΔx→0x+Δx2+4-x2+Δx=limΔx→0(2x+Δx)=2x.∴y′|x=-2=-4,y′|x=3=6.即在点(-2,8)处的切线斜率为-4,在点(3,13)处的切线斜率为6.∴在点(-2,8)处的切线方程为4x+y=0;在点(3,13)处的切线方程为6x-y-5=0.易错点求切线方程时忽略导数的几何意义6.已知曲线f(x)=x上的一点P(0,0),求曲线在点P处的切线方程.易错分析本题易认为曲线在点P处的导数不存在,则曲线在该点处的切线不存在.解f+Δx-fΔx=ΔxΔx=1Δx,根据切线的定义,当Δx→0时,割线的倾斜角无限逼近于π2,斜率不存在,故曲线在点P处的切线为y轴,即切线方程为x=0.一、选择题1.已知函数y=f(x)的图象如图所示,则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是()A.f′(xA)f′(xB)B.f′(xA)f′(xB)C.f′(xA)=f′(xB)D.不能确定答案B解析由图象易知,点A,B处的切线斜率kA,kB满足kAkB0.由导数的几何意义,得f′(xA)f′(xB).2.已知曲线y=-12x2-2上一点P1,-52,则在点P的切线的倾斜角为()A.30°B.45°C.135°D.165°答案C解析∵点P1,-52在曲线y=f(x)=-12x2-2上,则在点P的切线斜率为f′(1)=k=-1.∴在点P的切线的倾斜角为135°.3.若曲线y=2x2-4x+a与直线y=1相切,则a=()A.1B.2C.3D.4答案C解析设切点坐标为(x0,1),则f′(x0)=limΔx→0x0+Δx2-x0+Δx+a]-x20-4x0+aΔx=limΔx→0(4x0+2Δx-4)=4x0-4=0,∴x0=1.即切点坐标为(1,1).∴2-4+a=1,即a=3.4.如果曲线y=x3+x-10的一条切线与直线y=4x+3平行,那么曲线与切线相切的切点坐标为()A.(1,-8)B.(-1,-12)C.(1,-8)或(-1,-12)D.(1,-12)或(-1,-8)答案C解析设切点坐标为P(x0,y0),则y0=x30+x0-10的切线斜率为k=limΔx→0x0+Δx3+x0+Δx-10-x30+x0-Δx=limΔx→03x20Δx+3x0x2+x3+ΔxΔx=limΔx→0[(3x20+1)+3x0Δx+(Δx)2]=3x20+1=4,所以x0=±1,当x0=1时,y0=-8,当x0=-1时,y0=-12,所以切点坐标为(1,-8)或(-1,-12).二、填空题5.在曲线y=x2上切线倾斜角为π4的点是________.答案12,14解析∵y=x2,∴k=y′=limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0x+Δx2-x2Δx=limΔx→0(2x+Δx)=2x,∴2x=tanπ4=1,∴x=12,则y=14.6.如图是函数f(x)及f(x)在点P处切线的图象,则f(2)+f′(2)=________.答案98解析由题图可知切线方程为y=-98x+92,所以f(2)=94,f′(2)=-98,所以f(2)+f′(2)=98.7.曲线f(x)=x3在点(a,a3)(a≠0)处的切线与x轴,直线x=a围成的三角形的面积为16,则a=__________.答案±1解析因为f′(a)=limΔx→0a+Δx3-a3Δx=3a2,所以曲线在点(a,a3)处的切线方程为y-a3=3a2(x-a).令y=0,得切线与x轴的交点为23a,0,由题设知三角形面积为12a-23a|a3|=16,解得a=±1.三、解答题8.求过点P(-1,2)且与曲线y=3x2-4x+2在点M(1,1)处的切线平行的直线.解曲线y=3x2-4x+2在点M(1,1)处的切线斜率k=y′|x=1=limΔx→0+Δx2-+Δx+2-3+4-2Δx=limΔx→0(3Δx+2)=2.∴过点P(-1,2)的直线的斜率为2,由点斜式得y-2=2(x+1),即2x-y+4=0.所以所求直线方程为2x-y+4=0.9.已知曲线y=1t-x上点P(2,-1).求:(1)曲线在点P处的切线的斜率;(2)曲线在点P处的切线方程.解将P(2,-1)代入y=1t-x,得t=1,∴y=11-x.∴y′=limΔx→0fx+Δx-fxΔx=limΔx→011-x+Δx-11-xΔx=limΔx→0Δx[1-x+Δx-xx=limΔx→01-x-Δx-x=1-x2.(1)曲线在点P处的切线斜率为y′|x=2=1-2=1;(2)曲线在点P处的切线方程为y-(-1)=x-2,即x-y-3=0.
本文标题:2019-2020学年高中数学 3.1.3 导数的几何意义课时作业(含解析)新人教A版选修1-1
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