专题07三角形求角度模型之角平分线和高线的夹角备战2021中考数学解题方法系统训练

专题07:第2章三角形求角度模型之角平分线和高线的夹角学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．如图，在ABC中，AD、AE分别是ABC的高和角平分线，50B，60C°，则DAE∠__________度．2．如图，CD、CE分别是△ABC的高和角平分线，∠A＝30°，∠B＝60°，则∠DCE＝_______．二、解答题3．在△ABC中，已知∠A＝α．（1）如图1，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点D．①当α＝70°时，∠BDC度数＝度（直接写出结果）；②∠BDC的度数为（用含α的代数式表示）；（2）如图2，若∠ABC的平分线与∠ACE角平分线交于点F，求∠BFC的度数（用含α的代数式表示）．（3）在（2）的条件下，将△FBC以直线BC为对称轴翻折得到△GBC，∠GBC的角平分线与∠GCB的角平分线交于点M（如图3），求∠BMC的度数（用含α的代数式表示）．4．如图所示，在ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，50BAC，70C，求DAC、BOA的度数.5．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，∠EAD=15°，∠B=40°．（1）求∠C的度数．（2）若：∠EAD=α，∠B=β，其余条件不变，直接写出用含α，β的式子表示∠C的度数．6．如图，在ABC中，44BACBCA，M为ABC内一点，使得30,16MCAMAC，求BMC的度数．7．如图，在ABC中，AD是BAC的平分线，G为AD上一动点，GHAD，交BC的延长线于点H.（1）若30B，40BAC，求H的度数；（2）当点G在AD上运动时，探求H与BÐ、ACB之间的数量关系，并证明.8．如图，在ABC中，ABAC，BDAC于D，BE平分ABC，试用A表示DBE.9．如图，在ABC中，42A，70B，CE平分ACB，CDAB于D，DFCE于F，求EDF.10．如图，在ABC中，CE是角平分线，D是AB延长线上一动点，DFCE于点下，试探索D与ABC、A的数量关系.参考答案1．5【解析】【分析】先根据三角形的内角和定理得到∠BAC的度数，再利用角平分线的性质可求出∠EAC=12∠BAC，而∠DAC=90°-∠C，然后利用∠DAE=∠EAC-∠DAC进行计算即可．【详解】解：在△ABC中，∵∠B=50°，∠C=60°，∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-50°-60°=70°，∵AE是ABC的角平分线，∴∠EAC=12∠BAC=12×70°=35°，∵AD是△ABC的高，∴∠ADC=90°∴在△ADC中，∠DAC=180°-∠ADC-∠C=180°-90°-60°=30°，∴∠DAE=∠EAC-∠DAC=35°-30°=5°．故答案为：5.【点评】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形的内角和是180°是解答此题的关键．2．15°【解析】试题分析：根据三角形内角和定理可得：∠ACB=180°－∠A－∠B=90°，根据角平分线的性质可得：∠BCE=90°÷2=45°，根据CD⊥AB，∠B=60°可得：∠BCD=30°，则∠DCE=45°－30°=15°.考点：（1）、角平分线的性质；（2）、三角形内角和定理3．（1）（1）①125°；②1902，（2）1BFC2；（3）1BMC904【解析】【分析】（1）①由三角形内角和定理易得∠ABC+∠ACB=110°，然后根据角平分线的定义，结合三角形内角和定理可求∠BDC；②由三角形内角和定理易得∠ABC+∠ACB=180°-∠A，采用①的推导方法即可求解；（2）由三角形外角性质得BFCFCEFBC，然后结合角平分线的定义求解；（3）由折叠的对称性得BGCBFC，结合（1）②的结论可得答案．【详解】解：（1）①∵12DBC∠ABC，∠DCB＝12∠ACB，∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠DCB＝180°﹣12（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣12（180°﹣70°）＝125°②∵12DBC∠ABC，∠DCB＝12∠ACB，∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠DCB＝180°﹣12（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣12（180°﹣∠A）＝90°+12∠A＝90°+12α．故答案分别为125°，90°+12α．（2）∵BF和CF分别平分∠ABC和∠ACE∴1FBCABC2，1FCEACE2，∴BFCFCEFBC＝11(ACEABC)A22即1BFC2．（3）由轴对称性质知：1BGCBFC2，由（1）②可得1BMC90BGC2，∴1BMC904．【点评】本题考查三角形中与角平分线有关的角度计算，熟练掌握三角形内角和定理，以及三角形的外角性质是解题的关键．4．20DAC，125BOA【解析】【分析】由AD是高易得∠DAC与∠C互余，即可求出∠DAC，由三角形内角和定理求出∠ABC，再根据角平分线的定义求出∠ABO与∠BAO，最后根据三角形内角和定理即可求出∠BOA的度数.【详解】解：AD是ABC的高90ADC在ADC中90907020DACC在ABC中180180507060ABCBACCAE∵、BF是角平分线11603022ABOABC11502522BAOBAC在ABC中，1801803025125BOAABOBAO【点评】本题考查了三角形中的角度计算，熟练掌握高和角平分线的定义以及三角形内角和定理是解题的关键.5．（1）70°；（2）∠C=β+2α．【解析】【分析】（1）根据三角形的内角和定理求出∠BAD，求出∠BAE，根据角平分线的定义求出∠BAC，即可求出答案；（2）根据三角形的内角和定理求出∠BAD，求出∠BAE，根据角平分线的定义求出∠BAC，即可求出答案．【详解】（1）∵AD⊥BC，∴∠ADC=∠ADB=90°，∵∠B=40°，∴∠BAD=90°-40°=50°，∵∠EAD=15°，∴∠BAE=50°-15°=35°，∵AE平分∠BAC，∴∠CAE=∠BAE=12∠BAC=35°，∴∠BAC=70°，∴∠C=180°-∠BAC-∠B=180°-70°-40°=70°；（2）∵AD⊥BC，∴∠ADC=∠ADB=90°，∵∠B=β，∴∠BAD=90°-β，∵∠EAD=α，∴∠BAE=90°-β-α，∵AE平分∠BAC，∴∠CAE=∠BAE=12∠BAC=90°-β-α，∴∠BAC=180°-2β-2α，∴∠C=180°-∠BAC-∠B=180°-（180°-2β-2α）-β=β+2α．【点评】本题考查了三角形的内角和定理，能灵活运用定理进行计算是解此题的关键．6．150°【解析】【分析】作BDAC于点D，延长CM交BD于点O，连接AO，301614OAMOACMAC,故BAOMAO，证ABOAMO，从而OBOM.由120BOM，得180120302OMBOBM，故180BMCOMB.【详解】如图，作BDAC于点D，延长CM交BD于点O，连接AO，则30OACMAC，443014BAO，301614OAMOACMAC，得BAOMAO.又9060AODOADCOD，所以120AOMAOB，又AOAO因此ABOAMO，从而OBOM.由120BOM，得180120302OMBOBM，故18018030150BMCOMB.【点评】考核知识点：全等三角形判定和性质，等腰三角形性质.作好辅助线是关键.7．（1）40H，（2）12HACBB，见解析.【解析】【分析】（1）先根据三角形外角的性质及角平分线求出ADH的度数，再根据直角三角形两锐角互余即可求出H的度数；（2）先根据三角形外角的性质及角平分线得出12ADHBBAC，再根据直角三角形两锐角互余即可得出H与BÐ、ACB之间的数量关系.【详解】解：（1）∵AD是BAC的平分线，∴11402022BADBAC，∴302050ADHBBAD,∵GHAD，90905040HADH；（2）∵AD是BAC的平分线，∴12BADBAC，∴12ADHBBADBBAC,∵GHAD，19090()2HADHBBAC；∵180BBACACB,∴11190222BBACACB1111()2222HBBACACBBBAC,即12HACBB.【点评】本题考查了三角形内角和定理及其推论、角平分线的性质等知识.熟练应用三角形内角和定理及其推论是解题的关键.8．3454DEBA.【解析】【分析】先根据等腰三角形的性质及角平分线的性质可得1454ABEA,根据三角形外角的性质得BEDAABE,再根据直角三角形两锐角互余即可得出结论.【详解】解：∵ABAC，∴AABCCB∠，∴18019022AABCA,∵BE平分ABC，∴114524ABEABCA，∵BDAC于D，∴90BEEDDB,∵BEDAABE,∴90901(45)4AADBEABAE,即3454DEBA.【点评】本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理及其推论.灵活转化角之间的关系是解题的关键.9．14EDF.【解析】【分析】根据三角形内角和定理求出∠ACB，根据角平分线的定义求出∠ACE，根据三角形的外角的性质求出∠FED，根据三角形内角和定理计算即可．【详解】解：∵∠A=42°，∠B=70°，∴∠ACB=180°-70°-42°=68°，∵CE平分∠ACB，∴∠ACE=12∠ACB=34°，∴∠FED=∠A+∠ACE=76°，∵DF⊥CE，∴∠EDF=90°-∠FED=14°，故答案为14°．【点评】本题考查的是三角形内角和定理以及三角形的角平分线的定义，掌握三角形内角和等于180°是解题的关键．10．12DABCA，见解析.【解析】【分析】过点C作CGAB于点G，首先根据三角形的内角和定理，求出∠BCA的度数；然后根据角平分线的性质，求出∠ACE；再根据三角形的外角的性质，求出∠CED的度数，进而求出∠ECG，再根据同角的余角相等得出∠ECG=∠D即可．【详解】解：如图，过点C作CGAB于点GDFCE，90GCECEGDDEF，DECG，在ABC中，∠ACB=180°-（∠A+∠ABC）∵CE是角平分线，∴∠ACE=1ACB290°-12∠A-12∠ABC∴∠DEC=90°+12∠A-12∠ABC∵CGAB∴∠ECG=90°-∠DEC∴12ECGABCA，12DABCA【点评】此题主要考查了三角形的内角和定理，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的内角和是180°．此题还考查了三角形的外角的性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和．此题还考查了角平分线的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：一个角的角平分线把这个角分成两个大小相同的角．