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-1-2.1曲线与方程目标导航1.了解曲线与方程的对应关系,理解曲线的方程、方程的曲线的概念.2.了解解析几何研究的主要问题,掌握求曲线的方程的方法与步骤.知识梳理1.曲线的方程与方程的曲线在直角坐标系中,如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系:(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解;(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么,这个方程叫做曲线的方程;这条曲线叫做方程的曲线.名师点拨如果曲线C的方程是f(x,y)=0,那么点P0(x0,y0)在曲线C上的充要条件是f(x0,y0)=0.【做一做1】已知圆C:(x-2)2+(y+1)2=4及直线l:x+2y-2=0,则点M(4,-1)()A.不在圆C上,但在直线l上B.在圆C上,但不在直线l上C.既在圆C上,也在直线l上D.既不在圆C上,也不在直线l上答案:C知识梳理2.解析几何所研究的主要问题(1)根据已知条件,求出表示曲线的方程.(2)通过曲线的方程,研究曲线的性质.【做一做2】曲线x2-xy-y2-3x+4y-4=0与x轴的交点坐标是.解析:由题意知y=0,则x2-3x-4=0,解得x1=4,x2=-1.故交点坐标为(4,0),(-1,0).答案:(4,0),(-1,0)知识梳理3.求曲线方程的一般步骤(1)建立适当的平面直角坐标系,用有序实数对(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标;(2)写出适合条件p的点M的集合P={M|p(M)};(3)用坐标表示条件p(M),列出方程f(x,y)=0;(4)化方程f(x,y)=0为最简形式;(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上.【做一做3】已知动点P到点(1,-2)的距离为3,则动点P的轨迹方程是()A.(x+1)2+(y-2)2=9B.(x-1)2+(y+2)2=9C.(x+1)2+(y-2)2=3D.(x-1)2+(y+2)2=3解析:根据圆的定义可知,点P轨迹为以(1,-2)为圆心,以3为半径的圆.答案:B重难聚焦1.对曲线与方程的定义的理解剖析:(1)定义中的第一条“曲线上点的坐标都是这个方程的解”,阐明曲线上没有坐标不满足方程的点,也就是说曲线上所有的点都符合这个条件而毫无例外(纯粹性).(2)定义中的第二条“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”,阐明符合条件的以方程的解为坐标的所有点都在曲线上而毫无遗漏(完备性).(3)定义的实质是平面曲线的点集{M|p(M)}和方程f(x,y)=0的解集{(x,y)|f(x,y)=0}之间的一一对应关系.由曲线和方程的这一对应关系,既可以求出曲线的方程,又可以通过方程研究曲线的性质.重难聚焦2.求曲线方程的常用方法剖析:(1)直接法:建立适当的平面直角坐标系后,设动点坐标为(x,y),根据几何条件寻求x,y之间的关系式.(2)定义法:若所给几何条件正好符合圆等曲线的定义,则可直接利用这些已知曲线的方程写出动点的轨迹方程.(3)相关点法:利用所求曲线上的动点与某一已知曲线上的动点的关系,用所求动点的坐标(x,y)来表示已知动点的坐标,并代入已知动点满足的曲线的方程,由此即可求得动点坐标(x,y)所满足的关系式,从而确定曲线方程.典例透析题型一题型二题型三曲线的方程与方程的曲线的概念辨析【例1】已知设方程f(x,y)=0的解集非空,若命题“坐标满足方程f(x,y)=0的点都在曲线C上”是不正确的,则下列命题正确的是()A.坐标满足方程f(x,y)=0的点都不在曲线C上B.曲线C上的点的坐标都不满足方程f(x,y)=0C.坐标满足方程f(x,y)=0的点有些在曲线C上,有些不在曲线C上D.一定有不在曲线C上的点,其坐标满足方程f(x,y)=0解析:命题“坐标满足方程f(x,y)=0的点都在曲线C上”是不正确的,即“坐标满足方程f(x,y)=0的点不都在曲线C上”是正确的,“不都在”包括“都不在”和“有的在,有的不在”这两种情况,故选项A,C错;而选项B显然错;故选D.答案:D典例透析题型一题型二题型三反思本题一是要正确理解“不都在”的含义,二是要把握曲线与方程的关系.典例透析题型一题型二题型三【变式训练1】判断下列命题的正误,并说明理由:(1)过点A(2,0)且平行于y轴的直线l的方程为|x|=2;(2)到两坐标轴的距离相等的点的轨迹方程是y=x.解:(1)不正确.过点A(2,0)且平行于y轴的直线l的方程是x=2.直线l上的点的坐标都是方程|x|=2的解,而以|x|=2的解为坐标的点不全在直线l上.(2)不正确.到两坐标轴的距离相等的点的轨迹是第一、第三象限的角平分线(y=x)和第二、第四象限的角平分线(y=-x).以方程y=x的解为坐标的点都在到两坐标轴的距离相等的直线上,而到两坐标轴的距离相等的点的坐标不全是方程y=x的解.典例透析题型一题型二题型三求曲线的方程【例2】已知圆C:x2+(y-3)2=9,过原点作圆C的弦OP,求OP的中点Q的轨迹方程.分析:解答本题可用三种方法:直接法,定义法,代入法.在解题过程中,应注意自变量的取值范围.解法一:(直接法)如图,因为Q是OP的中点,所以∠OQC=90°.设Q(x,y)(y≠0),由题意,得|OQ|2+|QC|2=|OC|2,即x2+y2+[x2+(y-3)2]=9,所以x2+𝑦-322=94(𝑦≠0).典例透析题型一题型二题型三解法二:(定义法)如图,因为Q是OP的中点,所以∠OQC=90°,则Q在以OC为直径的圆上,故点Q的轨迹方程为x2+𝑦-322=94(𝑦≠0).解法三:(代入法):设P(x1,y1),Q(x,y),由题意,得𝑥=𝑥12,𝑦=𝑦12,即𝑥1=2𝑥,𝑦1=2𝑦.因为𝑥12+(𝑦1−3)2=9,所以4x2+4𝑦-322=9,即x2+𝑦-322=94(𝑦≠0).典例透析题型一题型二题型三反思求曲线的方程的常用方法有三种:一是直接法;二是定义法;三是相关点法(又称为代入法).在解题时,我们可以根据题目的不同特点选择最合适的方法.求曲线方程的过程中要特别注意题目中隐含的限制条件.典例透析题型一题型二题型三【变式训练2】已知一曲线是到两个点O(0,0),A(3,0)距离之比为1∶2的点的轨迹,求这条曲线的方程.解:设曲线上任意一点P(x,y),则|𝑃𝑂||𝑃𝐴|=12,即(𝑥-0)2+(𝑦-0)2(𝑥-3)2+(𝑦-0)2=12,化简,得x2+2x+y2-3=0.故这条曲线的方程为x2+2x+y2-3=0.典例透析题型一题型二题型三∴𝑦𝑥+𝑎·𝑦𝑥-𝑎=−1,整理得x2+y2=a2.∴点M的轨迹方程是x2+y2=a2.错因分析:上述解法中思路是正确的,但忽视了斜率kMA,kMB存在的前提x≠±a.易错点忽视斜率存在的前提致错【例3】设A,B两点的坐标分别是(-a,0),(a,0),若动点M满足kMA·kMB=-1,求动点M的轨迹方程.错解设M(x,y),∵kMA·kMB=-1,典例透析题型一题型二题型三正解:设M(x,y).∵kMA和kMB存在,∴x≠±a.整理得x2+y2=a2,故点M的轨迹方程是x2+y2=a2(x≠±a).由kMA·kMB=-1,得𝑦𝑥+𝑎·𝑦𝑥-𝑎=−1,典例透析