黑龙江省大庆市铁人中学2015届高三12月月考(期中)数学(理)试题

第I卷（选择题）一.选择题（每小题5分，共60分）1.设集合A＝{x|y＝3x－x2}，B＝{y|y＝2x，x1}，则A∩B为()A．[0,3]B．(2,3]C．[3，＋∞)D．[1,3]2.命题“∃x∈R,2x＋x2≤1”的否定是()A．∀x∈R,2x＋x21，假命题B．∀x∈R,2x＋x21，真命题C．∃x∈R,2x＋x21，假命题D．∃x∈R,2x＋x21，真命题3.已知△ABC中，tanA＝－512，则cosA＝()A.1213B.513C．－513D．－12134.若奇函数f(x)(x∈R)满足f(3)＝1，f(x＋3)＝f(x)＋f(3)，则f32等于()A．0B．1C.12D．－125.已知函数f(x)＝sin(2x－π4)，若存在α∈(0，π)使得f(x＋α)＝f(x＋3α)恒成立，则α等于()A.π6B.π3C.π4D.π26.已知抛物线y2＝2px(p0)的准线与曲线x2＋y2－6x－7＝0相切，则p的值为()A．2B．1C.12D.147.圆心在直线y＝x上，经过原点，且在x轴上截得弦长为2的圆的方程为()A．(x－1)2＋(y－1)2＝2B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2C．(x－1)2＋(y－1)2＝2或(x＋1)2＋(y＋1)2＝2D．(x－1)2＋(y＋1)2＝或(x＋1)2＋(y－1)2＝28.设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A为抛物线上一点,若AFOA＝－4，则点A的坐标为()A．(2，±22)B．(1，±2)C．(1,2)D．(2,22)9.函数y＝logax＋1(a0且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线xm＋yn－4＝0(m0，n0)上，则m＋n的最小值为()A．2＋2B．2C．1D．410．若满足条件AB＝3，C＝π3的三角形ABC有两个，则边长BC的取值范围是()A．(1，2)B．(2，3)C．(3，2)D．(2，2)11．函数f(x)的定义域是R,f(0)＝2,对任意x∈R，f(x)＋f′(x)1,则不等式ex·f(x)ex＋1的解集为()A．{x|x0}B．{x|x0}C．{x|x－1，或x1}D．{x|x－1，或0x1}12．已知点P是椭圆x216＋y28＝1(x≠0，y≠0)上的动点，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，O是坐标原点，若M是∠F1PF2的平分线上一点，且01MPMF，则||OM的取值范围是()A．[0,3)B．(0,22)C．[22，3)D．(0,4]第II卷（非选择题）二.填空题（每小题5分，共20分）13.设不等式组0≤x≤2，0≤y≤3，x＋2y－2≥0，所表示的平面区域为S，若A、B为区域S内的两个动点，则|AB|的最大值为________．14.已知|a|＝|b|＝2，(a＋2b)·(a－b)＝－2，则a与b的夹角为________．15.两个等差数列的前n项和之比为5n＋102n－1，则它们的第7项之比为________．16.函数f(x)＝xex－a有两个零点，则实数a的取值范围是________．三.解答题（共70分）17.（10分）已知函数f(x)＝2sinxcos(x＋π6)－cos2x＋m.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)当x∈[－π4，π4]时，函数f(x)的最小值为－3，求实数m的值18.（12分）已知a、b、c分别为△ABC三个内角A、B、C的对边，c＝3asinC－ccosA.(1)求A；(2)若a＝2，△ABC的面积为3，求b、c.19．（12分）各项都为正数的数列{an}，满足a1＝1，a2n＋1－a2n＝2.(1)求数列{an}的通项公式；(2)求数列{a2n2n}的前n项和Sn.20.（12分）椭圆C的中心在原点，一个焦点F(－2,0)，且短轴长与长轴长的比是32(1)求椭圆C的方程；(2)设点M(m,0)在椭圆C的长轴上，点P是椭圆上任意一点．当||MP最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，求实数m的取值范围．21.（12分）点F为(1,0)，M点在x轴上，P点在y轴上，且MPMN2，PFMP(1)当点P在y轴上运动时，求N点的轨迹C的方程；(2)设A(x1，y1)、B(x2，y2)、D(x3，y3)是曲线C上的三点，且||AF、||BF|、||DF成等差数列，当AD的垂直平分线与x轴交于E(3,0)时，求B点的坐标．22.（12分）已知bxaxxxf2ln)(.（1）若1a，函数)(xf在其定义域内是增函数，求b的取值范围；（2）当1a，1b时，证明函数)(xf只有一个零点；（3）)(xf的图象与x轴交于)0,(1xA,)0,(2xB(21xx)两点，AB中点为),(00xC，求证：00)(xf．三.解答题（共70分）17[解析](1)∵f(x)＝2sinxcos(x＋π6)－cos2x＋m＝2sinx(32cosx－12sinx)－cos2x＋m＝3sinxcosx－sin2x－cos2x＋m＝32sin2x－1－cos2x2－cos2x＋m＝32sin2x－12cos2x－12＋m＝sin(2x－π6)－12＋m.∴f(x)的最小值为－1－12＋m.由已知，有－1－12＋m＝－3，∴m＝－32.18.[解析](1)由c＝3asinC－ccosA及正弦定理得，3sinAsinC－cosAsinC－sinC＝0.由于sinC≠0，所以sin(A－π6)＝12.又0Aπ，故A＝π3.(2)△ABC的面积S＝12bcsinA＝3，故bc＝4.而a2＝b2＋c2－2bccosA，故b2＋c2＝8.解得b＝c＝2.19．[解析](1)因为a2n＋1－a2n＝2，a21＝1，所以数列{a2n}是首项为1，公差为2的等差数列．所以a2n＝1＋(n－1)×2＝2n－1，因为an0，所以an＝2n－1(n∈N*)．(2)由(1)知，an＝2n－1，所以a2n2n＝2n－12n，于是Sn＝12＋322＋523＋…＋2n－32n－1＋2n－12n，①12Sn＝122＋323＋524＋…＋2n－32n＋2n－12n＋1，②①－②得，12Sn＝12＋222＋223＋224＋…＋22n－2n－12n＋1＝12＋2(122＋123＋124＋…＋12n)－2n－12n＋1＝12＋2×14－12n－11－12－2n－12n＋1＝32－2n＋32n＋1，所以Sn＝3－2n＋32n.20.[解析](1)设椭圆C的方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，由题意a2＝b2＋c2，ab＝23，c＝2.解得a2＝16，b2＝12.所以椭圆C的方程为x216＋y212＝1.(2)设P(x，y)为椭圆上的动点，由于椭圆方程为x216＋y212＝1，故－4≤x≤4.因为MP→＝(x－m，y)，所以|MP→|2＝(x－m)2＋y2＝(x－m)2＋12×1－x216.＝14x2－2mx＋m2＋12＝14(x－4m)2＋12－3m2.因为当|MP→|最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，也即当x＝4时，|MP→|2取得最小值．而x∈[－4,4]，故有4m≥4，解得m≥1.又点M在椭圆的长轴上，即－4≤m≤4.故实数m的取值范围是m∈[1,4]．21.解(1)∵MN→＝2MP→，故P为MN中点．又∵PM→⊥PF→，P在y轴上，F为(1,0)，故M在x轴的负半轴上，设N(x，y)，则M(－x,0)，P0，y2，(x0)，∴PM→＝－x，－y2，PF→＝1，－y2，又∵PM→⊥PF→，∴PM→·PF→＝－x＋y24＝0，∴y2＝4x(x0)是轨迹C的方程．(2)抛物线C的准线方程是x＝－1，由抛物线定义知|AF→|＝x1＋1，|BF→|＝x2＋1，|DF→|＝x3＋1，∵|AF→|、|BF→|、|DF→|成等差数列，∴x1＋1＋x3＋1＝2(x2＋1)，∴x1＋x3＝2x2又y21＝4x1，y22＝4x2，y23＝4x3，故y21－y23＝(y1＋y3)(y1－y3)＝4(x1－x3)，∴kAD＝y1－y3x1－x3＝4y1＋y3，∴AD的中垂线为y＝－y1＋y34(x－3)AD的中点x1＋x32，y1＋y32在其中垂线上，∴y1＋y32＝－y1＋y34x1＋x32－3.∴x2＝x1＋x32＝1.由y22＝4x2.∴y2＝±2.∴B点坐标为(1,2)或(1，－2)．22.解：（1）依题意：f(x)＝lnx＋x2－bx．∵f(x)在(0，＋∞)上递增，∴1()20fxxbx对x∈(0，＋∞)恒成立，……1分即12bxx对x∈(0，＋∞)恒成立，只需min1(2)bxx．…………2分∵x＞0，∴1222xx，当且仅当22x时取“＝”，∴22b，∴b的取值范围为(,22]．………………4分（2）当a＝-1，b＝－1时，f(x)＝lnx+x2＋x，其定义域是(0，＋∞)，分）上单调递增，又，在（分602)1(,0111)1(0)(5012121)(22feeefxfxxxxxxf．∴函数f(x)只有一个零点．……7分（3）由已知得221111111222222111()ln0ln()ln0lnfxxaxbxxaxbxfxxaxbxxaxbx，两式相减，得11212122ln()()()xaxxxxbxxx112122ln()[()]xxxaxxbx．…………9分由1()2fxaxbx及2x0＝x1＋x2，得10012012121221221()2[()]lnxfxaxbaxxbxxxxxxxx11212111212212222(1)2()11[ln][ln](1)xxxxxxxxxxxxxxxx