2020版高考数学一轮复习 第四篇 平面向量 第3节 平面向量的数量积及平面向量的应用课件 文 新人

第四篇平面向量(必修4)返回导航第3节平面向量的数量积及平面向量的应用最新考纲1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义．2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系．3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．5．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．6．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.返回导航【教材导读】1．在等边△ABC中，向量AB→与BC→的夹角是多少？提示：〈AB→，BC→〉＝2π3.返回导航2．对于非零向量a，b，c.(1)若a·c＝b·c，则a＝b吗？(2)(a·b)c＝a(b·c)恒成立吗？提示：(1)不一定有a＝b，因为a·c＝b·c⇔c·(a－b)＝0，即c与a－b垂直，但不一定有a＝b.因此向量数量积不满足消去律．(2)因为(a·b)c与向量c共线，(b·c)a与向量a共线．所以(a·b)c与a(b·c)不一定相等，即向量的数量积不满足结合律．返回导航1．向量的夹角(1)定义已知两个非零向量a和b，作OA→＝a，OB→＝b，如图所示，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角，也可记作〈a，b〉＝θ.返回导航(2)范围向量夹角θ的范围是[0，π]，a与b同向时，夹角θ＝0；a与b反向时，夹角θ＝π．(3)垂直关系如果非零向量a与b的夹角是90°，我们说a与b垂直，记作a⊥b．返回导航2．平面向量的数量积(1)数量积的定义已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则向量a与b的数量积是数量|a||b|cosθ，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ．(2)向量的投影设θ为a与b的夹角，则向量a在b方向上的投影是|a|cosθ；向量b在a方向上的投影是|b|cosθ．返回导航(3)数量积的几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积．返回导航3．平面向量数量积的性质及其坐标表示已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角.定义及性质坐标表示数量积a·b＝|a||b|cosθa·b＝x1x2＋y1y2模|a|＝a·a|a|＝x21＋y21返回导航夹角cosθ＝a·b|a||b|cosθ＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22a⊥b的充要条件a·b＝0x1x2＋y1y2＝0|a·b|与|a||b|的关系|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)|x1x2＋y1y2|≤x21＋y21x22＋y22返回导航4.平面向量数量积的运算律已知向量a，b，c和实数λ，则：(1)交换律：a·b＝b·a；(2)结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；(3)分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c．5．向量在平面几何中的应用平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、全等、相似、长度、夹角等问题．返回导航6．平面向量在物理中的应用(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的加法和减法相似，可以用向量的知识来解决．(2)物理学中的功是一个标量，这是力F与位移s的数量积．即W＝F·s＝|F||s|cosθ(θ为F与s的夹角)．返回导航1．已知向量a＝(1，2)，b＝(1，0)，c＝(3，4)，若(b＋xa)⊥c，则实数x等于()(A)－311(B)－113(C)12(D)35返回导航A解析：b＋xa＝(1，0)＋x(1，2)＝(x＋1，2x)，又(b＋xa)⊥c，且c＝(3，4)，则(b＋xa)·c＝0，所以3(x＋1)＋4×2x＝0，所以x＝－311.返回导航2．已知向量a＝(2，1)，b＝(x，－2)，若a∥b，则a＋b＝()(A)(－2，－1)(B)(2，1)(C)(3，－1)(D)(－3，1)A解析：向量a＝(2，1)，b＝(x，－2)，若a∥b，则2×(－2)＝x，即x＝－4.a＋b＝(－2，－1)．故选A.返回导航3．已知向量a＝(2，－1)，b＝(x，－2)，c＝(3，y)，若a∥b，(a＋b)⊥(b－c)，则x＋y的值为()(A)0(B)2(C)4(D)－4返回导航A解析：∵a∥b，∴x＝4，∴b＝(4，－2)，∴a＋b＝(6，－3)，b－c＝(1，－2－y)．∵(a＋b)⊥(b－c)，∴(a＋b)·(b－c)＝0，即6－3(－2－y)＝0，∴y＝－4，∴x＋y＝0.返回导航4．已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________．解析：易知|a＋2b|＝|a|2＋4a·b＋4|b|2＝4＋4×2×1×12＋4＝23.返回导航5．下列命题中，假命题有________(填上正确的序号)．①两个向量的数量积是一个向量②b在a方向上的投影是向量③若a·b0，则a和b的夹角为锐角；若a·b0，则a和b的夹角为钝角④两个向量的夹角的范围是[0，π2]⑤a·b＝0，则a＝0或b＝0返回导航解析：两向量的数量积是个实数，①为假命题；b在a方向上的投影是个数量，②为假命题；a·b0，则a，b夹角可能为0，a·b0，则a，b夹角可能为π，③为假命题；两向量夹角范围是[0，π]，④为假命题；a·b＝0时，可能a⊥b，不为零向量，⑤为假命题．答案：①②③④⑤返回导航考点一平面向量数量积的运算(1)已知a＝(1，2)，2a－b＝(3，1)，则a·b等于()(A)2(B)3(C)4(D)5(2)在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E为BC的中点，若F为该矩形内(含边界)任意一点，则AE→·AF→的最大值为________．返回导航解析：(1)因为a＝(1，2)，2a－b＝(3，1)，所以b＝2a－(3，1)＝2(1，2)－(3，1)＝(－1，3)，所以a·b＝(1，2)·(－1，3)＝1×(－1)＋2×3＝5.故选D.返回导航(2)以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在的直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则E2，12，设F(x，y)，则0≤x≤20≤y≤1，AE→·AF→＝2x＋12y，令z＝2x＋12y，当z＝2x＋12y过点(2，1)时，AE→·AF→取最大值92.返回导航答案：(1)D(2)92返回导航【反思归纳】求向量数量积的方法(1)定义法；(2)坐标法；(3)由向量数量积的几何意义转化为一个向量在另一个向量上的投影与另一向量模的积．返回导航【即时训练】已知点A，B，C满足|AB→|＝3，|BC→|＝4，|CA→|＝5，则AB→·BC→＋BC→·CA→＋CA→·AB→的值是________．返回导航解析：解法一如图，根据题意可得△ABC为直角三角形，且B＝π2，cosA＝35，cosC＝45，所以AB→·BC→＋BC→·CA→＋CA→·AB→＝BC→·CA→＋CA→·AB→＝4×5cos(π－C)＋5×3cos(π－A)＝－20cosC－15cosA＝－20×45－15×35＝－25.返回导航解法二易知AB→＋BC→＋CA→＝0，将其两边平方可得AB→2＋BC→2＋CA→2＋2(AB→·BC→＋AB→·CA→＋BC→·CA→)＝0，故AB→·BC→＋AB→·CA→＋BC→·CA→＝－12(AB→2＋BC→2＋CA→2)＝－25.返回导航考点二平面向量的夹角与模(1)已知向量a，b满足(a＋2b)·(5a－4b)＝0，且|a|＝|b|＝1，则a与b的夹角θ为()(A)3π4(B)π4(C)π3(D)2π3返回导航(2)已知平面向量a，b的夹角为π6，且|a|＝3，|b|＝2，在△ABC中，AB→＝2a＋2b，AC→＝2a－6b，D为BC中点，则|AD→|等于()(A)2(B)4(C)6(D)8返回导航(3)已知a＝(－3，2)，b＝(－1，0)，向量λa＋b与a－2b垂直，则实数λ的值为()(A)－17(B)17(C)－16(D)16返回导航解析：(1)因为(a＋2b)·(5a－4b)＝0，|a|＝|b|＝1，所以6a·b－8＋5＝0，即a·b＝12.又a·b＝|a||b|cosθ＝cosθ，所以cosθ＝12.因为θ∈[0，π]，所以θ＝π3.返回导航(2)因为AD→＝12(AB→＋AC→)＝12(2a＋2b＋2a－6b)＝2a－2b，所以|AD→|2＝4(a－b)2＝4(a2－2b·a＋b2)＝4×(3－2×2×3×cosπ6＋4)＝4，则|AD→|＝2.返回导航(3)由条件得λa＋b＝(－3λ－1，2λ)，a－2b＝(－1，2)，因为λa＋b与a－2b垂直，所以(－3λ－1，2λ)·(－1，2)＝0，即3λ＋1＋4λ＝0，解得λ＝－17.答案：(1)C(2)A(3)A返回导航【反思归纳】(1)利用数量积求解长度的处理方法①|a|2＝a2＝a·a；②|a±b|2＝a2±2a·b＋b2；③若a＝(x，y)，则|a|＝x2＋y2.返回导航(2)求两个非零向量的夹角时要注意①向量的数量积不满足结合律；②数量积大于0说明不共线的两个向量的夹角为锐角；数量积等于0说明两个向量的夹角为直角；数量积小于0且两个向量不能共线时两个向量的夹角就是钝角．③解有关向量夹角问题或两向量垂直问题的思路是直接运用夹角公式cos〈a，b〉＝a·b|a||b|或向量垂直的充要条件求解．返回导航【即时训练】(1)已知向量a＝(－1，2)，b＝(3，－6)，若向量c满足c与b的夹角为120°，c·(4a＋b)＝5，则|c|等于()(A)1(B)5(C)2(D)25(2)已知向量a与b的夹角为120°，|a|＝1，|b|＝4，则|a＋5b|＝________．返回导航解析：(1)设c＝(x，y)，因为a＝(－1，2)，b＝(3，－6)，所以4a＋b＝(－1，2)，因为c·(4a＋b)＝5，所以－x＋2y＝5，即x－2y＝－5.因为向量c满足c与b夹角为120°，所以c·b|c|·|b|＝－12，即3x－6y35×x2＋y2＝－12，因为3×（－5）35×x2＋y2＝－12，所以x2＋y2＝25.故|c|＝25.返回导航(2)因为a·b＝|a|·|b|cos120°＝1×4×－12＝－2，所以|a＋5b|2＝a2＋10a·b＋25b2＝1＋10×(－2)＋25×16＝381，所以|a＋5b|＝381.答案：(1)D(2)381返回导航考点三平面向量的应用已知a，b为单位向量，且a＋b＋c＝0，则|c|的最大值为________．解析：∵a，b为单位向量，且a＋b＋c＝0，∴c＝－(a＋b)，|c|2＝a2＋b2＋2|a||b|cosθ＝2＋2cosθ≤4，|c|≤2，即|c|的最大值为2.答案：2返回导航【反思归纳】(1)运用向量处理几何问题是把线段表示成向量，然后利用向量运算处理所求问题．(2)运用向量处理物理问题是把物理学中有大小、方向的量抽象为向量运算．(3)运用向量解决三角、线性规划问题是利用向量的坐标运算转化为三角、线性规划的运算．(4)平面向量与三角函数的综合问题，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式然后求解．返回导航【即时训练】在△ABC中，已知AB→＝(2，3)，AC→＝(1，k)，且△ABC的一个内角为直角，则实数k的值为________．返回导航解析：①若∠A＝90°，则有AB→·AC→＝0，即2＋3k＝0，解得k＝－23.②若∠B＝90°，则有AB→·BC→＝0，因为BC→＝AC→－AB→＝(－1，k－3)，所以－2＋3(k－3)＝0，解得k＝113.③若∠C＝90°，则有AC→·BC→＝0，即－1＋k(k－3)＝0，解得k＝3±132.综上所述，得k＝－23或113或3±132.返回导航坐标系法在向量运算中的应用(2018天津卷)如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝AD＝1.若点E为边CD上的动点，则AE→·BE→的最小值为()(A)2116(B)32(C)2516(D)3返回导航审题指导关键点所获信息AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝12