专题四概率与统计第一讲排列、组合与二项式定理考点二考点一目录ONTENTSC限时规范训练[考情分析·明确方向]1.排列、组合在高中数学中占有特殊的位置,是高考的必考内容,很少单独命题,主要考查利用排列、组合知识计算古典概型.2.二项式定理以求二项展开式的特定项、特定项的系数及二项式系数为主,题目难度一般,多出现在第9~10或第13~15题的位置上.排列、组合数公式(1)排列数公式Amn=n(n-1)…(n-m+1)=n!n-m!.(2)组合数公式Cmn=AmnAmm=nn-1·…·n-m+1m!=n!m!n-m!.(1)已知5辆不同的白颜色汽车和3辆不同的红颜色汽车停成一排,则白颜色汽车至少2辆停在一起且红颜色的汽车互不相邻的停放方法有()A.1880种B.1440种C.720种D.360种解析:由题意可知,白颜色汽车按3辆,2辆分为2组,先从5辆白色汽车选3辆全排列共有A35种,再将剩余的2辆白色汽车全排列共有A22种,再将这两个整体全排列,共有A22种,排完后有3个空,3辆不同的红颜色汽车插空共有A33种,由分步计数原理得共有A35A22A22A33=1440种,故选B.答案:B(2)(2019·天河区二模)安排5名学生去3个社区进行志愿服务,且每人只去一个社区,要求每个社区至少有一名学生进行志愿服务,则不同的安排方式共有()A.360种B.300种C.150种D.125种解析:分2步分析:先将5名学生分成3组,由两种分组方法,若分成3、1、1的三组,有C35=10种分组方法,若分成1、2、2的三组,有C15C24C22A22=15种分组方法,则一共有10+15=25种分组方法;再将分好的三组全排列,对应三个社区,有A33=6种情况,则有25×6=150种不同的安排方式;故选C.答案:C(3)(2018·高考全国卷Ⅰ)从2位女生,4位男生中选3人参加科技比赛,且至少有1位女生入选,则不同的选法共有________种.(用数字填写答案)解析:法一:(直接法)按参加的女生人数可分两类:只有1位女生参加有C12C24种,有2位女生参加有C22C14种.故共有C12C24+C22C14=2×6+4=16(种).法二:(间接法)从2位女生,4位男生中选3人,共有C36种情况,没有女生参加的情况有C34种,故共有C36-C34=20-4=16(种).答案:16[类题通法]1.解答排列组合问题的4个角度解答排列组合问题要从“分析”“分辨”“分类”“分步”的角度入手.2.解决分组分配问题的3种策略(1)不等分组:只需先分组,后排列,注意分组时任何组中元素的个数都不相等,所以不需要除以全排列数.(2)整体均分:解题时要注意分组后,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后一定要除以Ann(n为均分的组数),避免重复计数.(3)部分均分:解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数,即若有m组元素个数相等,则分组时应除以m!,一个分组过程中有几个这样的均匀分组就要除以几个这样的全排列数.1.(2017·高考全国卷Ⅱ)安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,则不同的安排方式共有()A.12种B.18种C.24种D.36种解析:因为安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,所以必有1人完成2项工作.先把4项工作分成3组,即2,1,1,有C24C12C11A22=6(种),再分配给3个人,有A33=6(种),所以不同的安排方式共有6×6=36(种).答案:D2.(2017·高考天津卷)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9,组成没有重复数字,且至多有一个数字是偶数的四位数,这样的四位数一共有________个.(用数字作答)解析:一个数字是偶数、三个数字是奇数的四位数有C14C35A44=960(个),四个数字都是奇数的四位数有A45=120(个),则至多有一个数字是偶数的四位数一共有960+120=1080(个).答案:10803.(2017·高考浙江卷)从6男2女共8名学生中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人组成4人服务队,要求服务队中至少有1名女生,共有________种不同的选法.(用数字作答)解析:法一:分两步,第一步,选出4人,由于至少1名女生,故有C48-C46=55种不同的选法;第二步,从4人中选出队长、副队长各1人,有A24=12种不同的选法.根据分步乘法计数原理知共有55×12=660种不同的选法.法二:不考虑限制条件,共有A28C26种不同的选法,而没有女生的选法有A26C24种,故至少有1名女生的选法有A28C26-A26C24=840-180=660(种).答案:6601.二项式定理(1)二项式定理(a+b)n=C0nan+C1nan-1b+…+Cknan-kbk+…+Cnnbn.(2)通项与二项式系数Tk+1=Cknan-kbk,其中Ckn(k=0,1,2,…,n)叫做二项式系数.2.各二项式系数之和(1)C0n+C1n+C2n+…+Cnn=2n.(2)C1n+C3n+…=C0n+C2n+…=2n-1.3.二项式系数的性质(1)Crn=Cn-rn,Crn+Cr-1n=Crn+1.(2)二项式系数最值问题当n为偶数时,中间一项即第n2+1项的二项式系数Cn2n最大;当n为奇数时,中间两项即第n+12,n+32项的二项式系数Cn-12n,Cn+12n相等且最大.(1)(2018·高考全国卷Ⅲ)x2+2x5的展开式中x4的系数为()A.10B.20C.40D.80解析:x2+2x5的展开式的通项公式为Tr+1=Cr5·(x2)5-r·2xr=Cr5·2r·x10-3r,令10-3r=4,得r=2.故展开式中x4的系数为C25·22=40.答案:C(2)(2019·潍坊一模)若x+2x2n展开式中只有第六项的二项式系数最大,则展开式中的常数项是()A.360B.180C.90D.45解析:依题意知n=10,∴Tr+1=Cr10(x)10-r·2x2r=Cr102r·x5-52r,令5-52r=0,得r=2,∴常数项为C21022=180.答案:B(3)(2019·广州一模)(2-x3)(x+a)5的展开式的各项系数和为32,则该展开式中x4的系数是()A.5B.10C.15D.20解析:∵(2-x3)(x+a)5的展开式的各项系数和为32,则(2-1)(1+a)5=32,∴a=1,该展开式中x4的系数是2·C15·a-1·C45·a4=10a-5a4=5,故选A.答案:A(4)(2019·西安模拟)已知(x+2)9=a0+a1x+a2x2+…+a9x9,则(a1+3a3+5a5+7a7+9a9)2-(2a2+4a4+6a6+8a8)2的值为()A.39B.310C.311D.312解析:对(x+2)9=a0+a1x+a2x2+…+a9x9两边同时求导,得9(x+2)8=a1+2a2x+3a3x2+…+8a8x7+9a9x8,令x=1,得a1+2a2+3a3+…+8a8+9a9=310,令x=-1,得a1-2a2+3a3-…-8a8+9a9=32.所以(a1+3a3+5a5+7a7+9a9)2-(2a2+4a4+6a6+8a8)2=(a1+2a2+3a3+…+8a8+9a9)(a1-2a2+3a3-…-8a8+9a9)=312,故选D.答案:D[类题通法]求解二项式定理相关问题的常用思路(1)二项式定理中最关键的是通项公式,求展开式中特定的项或者特定项的系数均是利用通项公式和方程思想解决的.(2)二项展开式的系数之和通常是通过对二项式及其展开式中的变量赋值得出的,注意根据展开式的形式给变量赋值.1.(2019·长郡中学模拟)若二项式x2+ax7的展开式的各项系数之和为-1,则含x2项的系数为()A.560B.-560C.280D.-280解析:取x=1,得二项式x2+ax7的展开式的各项系数之和为(1+a)7,即(1+a)7=-1,解得a=-2.二项式x2-2x7的展开式的通项Tr+1=Cr7·(x2)7-r·-2xr=Cr7·(-2)r·x14-3r.令14-3r=2,得r=4.因此,二项式x2-2x7的展开式中含x2项的系数为C47·(-2)4=560,故选A.答案:A2.(2019·西安二模)(2x2-x+1)8的展开式中x5的系数是()A.1288B.1280C.-1288D.-1280解析:x5可能是(-x)5,(2x2)(-x)3,(2x2)2(-x),(-x)5表示在8个式子中5个选(-x),其余3个选出1,系数为(-1)5C58·13=-56;(2x2)(-x)3表示在8个式子中1个选2x2,其余7个中3个选(-x),其余选1,系数为C18·2·C37(-1)3·14=-560;(2x2)2(-x)表示在8个式子中2个选2x2,其余6个中一个选(-x),其余选1,系数为C28·22·C16(-1)·15=-672,所以将(2x2-x+1)8展开合并同类项之后的式子中x5的系数是-56-560-672=-1288.故选C.答案:C3.(2019·高考全国卷Ⅲ)(1+2x2)(1+x)4的展开式中x3的系数为()A.12B.16C.20D.24解析:法一:(1+2x2)(1+x)4的展开式中x3的系数为1×C34+2C14=12.故选A.法二:∵(1+2x2)(1+x)4=(1+2x2)(1+4x+6x2+4x3+x4),∴x3的系数为1×4+2×4=12.故选A.答案:A
本文标题:2020版高考数学大二轮复习 专题四 概率与统计 第一讲 排列、组合与二项式定理课件 理
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