2019-2020学年高中数学 学期综合测评课件 新人教A版必修4

学期综合测评本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．tan(－570°)＋sin240°＝()A．－536B．36C．332D．3解析原式＝－tan30°－sin60°＝－33－32＝－536.2．若sinθ＋3π20，cosπ2－θ0，则角θ的终边位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析∵sinθ＋3π2＝－cosθ0，∴cosθ0，cosπ2－θ＝sinθ0，∴θ为第二象限角，选B．3．下列函数中同时满足最值是12，最小正周期是6π的三角函数的解析式是()A．y＝12sinx3＋π6B．y＝12sin3x＋π6C．y＝2sinx3＋π6D．y＝12sinx＋π6解析由题意得，A＝12，2πω＝6π，ω＝13.故选A．4．若角600°的终边上有一点(－4，a)，则a的值是()A．43B．－43C．±43D．3解析tan600°＝tan(2×360°－120°)＝tan(－120°)＝－tan120°＝3＝a－4，a＝－43.5．将函数y＝sin2x＋π3的图象经怎样的平移后所得的图象关于点－π12，0成中心对称()A．向左平移π12B．向左平移π6C．向右平移π12D．向右平移π6解析函数y＝sin2x＋π3的对称中心为kπ2－π6，0，其中离－π12，0最近的对称中心为－π6，0，故函数图象只需向右平移π12个单位即可．6．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，x≥0)的部分图象如图所示，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(11)的值等于()A．2B．2＋2C．2＋22D．－2－22解析由图象可知，函数的振幅为2，初相为0，周期为8，则A＝2，φ＝0，2πω＝8，从而f(x)＝2sinπ4x.所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(11)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＝2sinπ4＋2sinπ2＋2sin3π4＝2＋22.7．设θ为两个非零向量a，b的夹角．已知对任意实数t，|b＋ta|的最小值为1.那么，()A．若θ确定，则|a|唯一确定B．若θ确定，则|b|唯一确定C．若|a|确定，则θ唯一确定D．若|b|确定，则θ唯一确定解析|b＋ta|2＝b2＋2a·bt＋a2t2，令f(t)＝a2t2＋2a·bt＋b2，又t是任意实数，所以可得f(t)的最小值为4a2b2－2a·b24a2＝4a2b2－4a2b2cos2θ4a2＝4b2sin2θ4＝1，即|b|2sin2θ＝1，易知若θ确定，则|b|唯一确定．8．设a0，对于函数f(x)＝sinx＋asinx(0xπ)，下列结论正确的是()A．有最大值而无最小值B．有最小值而无最大值C．有最大值且有最小值D．既无最大值又无最小值解析令t＝sinx，t∈(0,1]，则函数f(x)＝sinx＋asinx(0xπ)的值域为函数y＝1＋at，t∈(0,1]的值域．又a0，所以y＝1＋at，t∈(0,1]是一个减函数，故选B．9．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(x∈R)，其中ω0，－πφ≤π，若f(x)的最小正周期为6π，且当x＝π2时，f(x)取得最大值，则()A．f(x)在区间[－2π，0]上是增函数B．f(x)在区间[－3π，－π]上是增函数C．f(x)在区间[3π，5π]上是减函数D．f(x)在区间[4π，6π]上是减函数解析∵f(x)的最小正周期为6π，∴ω＝13.∵当x＝π2时，f(x)有最大值，∴13×π2＋φ＝π2＋2kπ(k∈Z)，φ＝π3＋2kπ(k∈Z)．∵－πφ≤π，∴φ＝π3，∴f(x)＝2sinx3＋π3，由函数图象，易得在区间[－2π，0]上是增函数，而在区间[－3π，－π]或[3π，5π]上均没有单调性，在区间[4π，6π]上是单调增函数．故选A．10．已知|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为60°，c＝2a＋3b，d＝ka－b(k∈R)，且c⊥d，那么k的值为()A．－6B．6C．－145D．145解析a·b＝1×2×cos60°＝1，∵c⊥d，∴c·d＝(2a＋3b)·(ka－b)＝2ka2－2a·b＋3ka·b－3b2＝2k－2＋3k－12＝0，∴k＝145.11．已知向量a＝(cos2α，sinα)，b＝(1,2sinα－1)，α∈π2，π，若a·b＝25，则tanα＋π4＝()A．13B．27C．17D．23解析a·b＝cos2α＋sinα(2sinα－1)＝cos2α＋2sin2α－sinα＝1－2sin2α＋2sin2α－sinα＝1－sinα＝25，∴sinα＝35.∵α∈π2，π，∴cosα＝－45，∴tanα＝sinαcosα＝－34，∴tanα＋π4＝tanα＋11－tanα＝－34＋11－－34＝17.12.如图，边长为1的正方形ABCD的顶点A，D分别在x轴、y轴正半轴上移动，则OB→·OC→的最大值是()A．2B．1＋2C．πD．4解析设∠OAD＝θ，因为AD＝1，所以OA＝cosθ，OD＝sinθ，则∠BAx＝π2－θ，AB＝1，所以xB＝cosπ2－θ＋OA＝sinθ＋cosθ，yB＝sinπ2－θ＝cosθ，即OB→＝(sinθ＋cosθ，cosθ)，同理C(sinθ，sinθ＋cosθ)，OC→＝(sinθ，sinθ＋cosθ)．所以OB→·OC→＝(sinθ＋cosθ，cosθ)·(sinθ，sinθ＋cosθ)＝1＋sin2θ，所以当sin2θ＝1时，OB→·OC→的最大值为2，选A．第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．设a＝(log2x,2)，b＝(1，－1)，a∥b，则x＝________.14解析a∥b⇒2＝－log2x，∴x＝14.14．若非零向量a与b的夹角为2π3，|b|＝4，(a＋2b)·(a－b)＝－32，则向量a的模为________．2解析(a＋2b)·(a－b)＝a2＋a·b－2b2＝|a|2＋|a||b|cos2π3－2|b|2＝|a|2－12×4|a|－2×42＝－32，解得|a|＝2或0(舍去)．15．已知e1，e2是夹角为2π3的两个单位向量，a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2.若a·b＝0，则实数k的值为________．54解析由题意知，a·b＝(e1－2e2)·(ke1＋e2)＝0，即ke21＋e1·e2－2ke1·e2－2e22＝0，即k＋cos2π3－2kcos2π3－2＝0，化简可求得k＝54.16．有下列四个命题：①若α，β均为第一象限角，且αβ，则sinαsinβ；②若函数y＝2cosax－π3的最小正周期是4π，则a＝12；③函数y＝sin2x－sinxsinx－1是奇函数；④函数y＝sinx－π2在[0，π]上是增函数．其中正确命题的序号为________．④解析α＝390°30°＝β，但sinα＝sinβ，所以①不正确；函数y＝2cosax－π3的最小正周期为T＝2π|a|＝4π，所以|a|＝12，a＝±12，因此②不正确；③中函数定义域是{xx≠2kπ＋π2，k∈Z，显然不关于原点对称，所以③不正确；由于函数y＝sinx－π2＝－sinπ2－x＝－cosx，它在(0，π)上单调递增，因此④正确．三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)在平面直角坐标系中，A(1，－2)，B(－3，－4)，O为坐标原点．(1)求OA→·OB→；(2)若点P在直线AB上，且OP→⊥AB→，求OP→的坐标．解(1)OA→·OB→＝1×(－3)＋(－2)×(－4)＝5.(2)设P(m，n)，因为P在AB上，所以BA→与PA→共线．BA→＝(4,2)，PA→＝(1－m，－2－n)，所以4·(－2－n)－2(1－m)＝0.即2n－m＋5＝0.①又因为OP→⊥AB→，所以(m，n)·(－4，－2)＝0.所以2m＋n＝0.②由①②解得m＝1，n＝－2，所以OP→＝(1，－2)．18．(本小题满分12分)已知|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为θ.(1)若a∥b，求a·b；(2)若a－b与a垂直，求θ.解(1)∵a∥b，∴θ＝0°或180°，∴a·b＝|a||b|cosθ＝±2.(2)∵a－b与a垂直，∴(a－b)·a＝0，即|a|2－a·b＝1－2cosθ＝0，∴cosθ＝22.又0°≤θ≤180°，∴θ＝45°.19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)ω0，0φπ2的部分图象如图所示．(1)求f(x)的解析式；(2)将函数y＝f(x)的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12，再将所得函数图象向右平移π6个单位，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)的单调递增区间．解(1)由图得34T＝11π6－π3＝9π6＝3π2，∴T＝2π，∴ω＝2πT＝1.又f11π6＝0，得Asin11π6＋φ＝0，∴11π6＋φ＝2kπ，k∈Z，φ＝2kπ－11π6，k∈Z.∵0φπ2，∴当k＝1时，φ＝π6.又由f(0)＝2，得Asinπ6＝2，∴A＝4，∴f(x)＝4sinx＋π6.(2)将f(x)＝4sinx＋π6的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变得到y＝4sin2x＋π6，再将图象向右平移π6个单位得到g(x)＝4sin2x－π6＋π6＝4sin2x－π6，由2kπ－π2≤2x－π6≤2kπ＋π2(k∈Z)，得kπ－π6≤x≤kπ＋π3(k∈Z)，∴g(x)的单调递增区间为kπ－π6，kπ＋π3(k∈Z)．20．(本小题满分12分)已知向量OA→＝(cosα，sinα)，α∈[－π，0]，向量m＝(2,1)，n＝(0，－5)，且m⊥(OA→－n)．(1)求向量OA→；(2)若cos(β－π)＝210，0＜β＜π，求cos(2α－β)的值．解(1)因为OA→＝(cosα，sinα)，所以OA→－n＝(cosα，sinα＋5)．因为m⊥(OA→－n)，所以m·(OA→－n)＝0，所以2cosα＋sinα＋5＝0.①又sin2α＋cos2α＝1，②由①②得sinα＝－55，cosα＝－255，所以OA→＝－255，－55.(2)因为cos(β－π)＝210，所以cosβ＝－210，又0＜β＜π，所以sinβ＝1－cos2β＝7210，且π2＜β＜π.又因为sin2α＝2sinαcosα＝2×－55×－255＝45，cos2α＝2cos2α－1＝2×45－1＝35，所以cos(2α－β)＝cos2αcosβ＋sin2αsinβ＝35×－210＋45×7210＝25250＝22.21．(本小题满分12分)已知f(x)＝1＋1tanxsin2x－2sinx＋π4sinx－π4.(1)若tanα＝2，求f(α)的值；(2)若x∈π12，π2，求f(x)的取值范围．解(1)f(x)＝(sin2x＋sinxcosx)＋2sin