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第三章导数应用§1函数的单调性与极值1.1导数与函数的单调性学习目标核心素养1．掌握函数的单调性与导数的关系．2．能利用导数研究函数的单调性．(重难点)3．会求不超过三次的多项式函数的单调区间和其它函数的单调区间．(重点)1．借助图象认识函数的单调性与导数的关系，提升学生的直观想象的核心素养．2．通过利用导数研究函数的单调性的学习，培养学生的数学抽象和数学运算的核心素养.自主预习探新知1．函数的单调性与其导数正负的关系一般地，在区间(a，b)内函数的单调性与导数有如下关系：导数函数的单调性f′(x)0单调_______f′(x)0单调______f′(x)＝0常数函数递增递减2．函数图像的变化趋势与导数值大小的关系一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上：导数的绝对值函数值变化函数的图像越大____比较“______”(向上或向下)越小____比较“______”(向上或向下)大陡峭小平缓思考：如果在区间(a，b)内恒有f′(x)＝0，则f(x)有什么特性？[提示]函数f(x)为常函数．1．若在区间(a，b)内，f′(x)0，且f(a)≥0，则在(a，b)内有()A．f(x)0B．f(x)0C．f(x)＝0D．不能确定A[由条件可知，f(x)在(a，b)内单调递增，∵f(a)≥0，∴在(a，b)内有f(x)0.]2．已知函数y＝f(x)的图像是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图像如图所示，则该函数的图像是()B[由f′(x)图像可知，f′(x)0，函数单调递增，且开始和结尾增长速度慢，故应选B.]3．已知函数f(x)＝12x2－x，则函数f(x)的单调增区间是()A．(－∞，－1)和(0，＋∞)B．(0，＋∞)C．(－1,0)和(1，＋∞)D．(1，＋∞)D[法一：f(x)＝12x2－x＝12(x－1)2－12，对应的抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，可知函数f(x)的单调增区间是(1，＋∞)．法二：f′(x)＝x－1，令f′(x)0，解得x1．故函数f(x)的单调增区间是(1，＋∞)．]合作探究提素养单调性与导数的关系【例1】(1)函数y＝f(x)的图像如图所示，给出以下说法：①函数y＝f(x)的定义域是[－1,5]；②函数y＝f(x)的值域是(－∞，0]∪[2,4]；③函数y＝f(x)在定义域内是增函数；④函数y＝f(x)在定义域内的导数f′(x)0.其中正确的序号是()A．①②B．①③C．②③D．②④(2)设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图像如图所示，则导函数y＝f′(x)的图像可能为()ABCD思路探究：研究一个函数的图像与其导函数图像之间的关系时，注意抓住各自的关键要素，对于原函数，要注意其图像在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应注意其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致．(1)A(2)D[(1)由图像可知，函数的定义域为[－1,5]，值域为(－∞，0]∪[2,4]，故①②正确，选A.(2)由函数的图像可知：当x0时，函数单调递增，导数始终为正；当x0时，函数先增后减再增，即导数先正后负再正，对照选项，应选D.]1．利用导数判断函数的单调性比利用函数单调性的定义简单得多，只需判断导数在该区间内的正负即可．2．通过图像研究函数单调性的方法(1)观察原函数的图像重在找出“上升”“下降”产生变化的点，分析函数值的变化趋势；(2)观察导函数的图像重在找出导函数图像与x轴的交点，分析导数的正负．1．(1)设f′(x)是函数f(x)的导函数，将y＝f(x)和y＝f′(x)的图像画在同一个直角坐标系中，不正确的是()ABCD(2)函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图像可能是()(1)D(2)D[(1)A，B，C均有可能；对于D，若C1为导函数，则y＝f(x)应为增函数，不符合；若C2为导函数，则y＝f(x)应为减函数，也不符合．(2)根据函数的导数的正负与单调性的关系，对照图像可知，答案应选D.]三角函数的图象变换【例2】求函数f(x)＝x＋ax(a≠0)的单调区间．思路探究：求出导数f′(x)，分a0和a0两种情况．由f′(x)0求得单调增区间，由f′(x)0求得单调减区间．[解]f(x)＝x＋ax的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，f′(x)＝1－ax2.当a0时，令f′(x)＝1－ax20，解得xa或x－a；令f′(x)＝1－ax20，解得－ax0或0xa；当a0时，f′(x)＝1－ax20恒成立，所以当a0时，f(x)的单调递增区间为(－∞，－a)和(a，＋∞)；单调递减区间为(－a，0)和(0，a)．当a0时，f(x)的单调递增区间为(－∞，0)和(0，＋∞)．利用导数求函数单调区间的步骤1．确定函数f(x)的定义域．2．求导数f′(x)．3．由f′(x)0(或f′(x)0)，解出相应的x的范围．当f′(x)0时，f(x)在相应区间上是增函数；当f′(x)0时，f(x)在相应区间上是减函数．4．结合定义域写出单调区间．2．(1)函数f(x)＝ex－ex，x∈R的单调递增区间为()A．(0，＋∞)B．(－∞，0)C．(－∞，1)D．(1，＋∞)(2)函数f(x)＝lnx－x的单调递增区间是()A．(－∞，1)B．(0,1)C．(0，＋∞)D．(1，＋∞)(1)D(2)B[(1)∵f′(x)＝(ex－ex)′＝ex－e，由f′(x)＝ex－e0，可得x1．即函数f(x)＝ex－ex，x∈R的单调增区间为(1，＋∞)，选D.(2)函数的定义域为(0，＋∞)，又f′(x)＝1x－1，由f′(x)＝1x－10，得0x1，所以函数f(x)＝lnx－x的单调递增区间是(0,1)，选B.]已知函数的单调性求参数的取值范围[探究问题]1．函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，其中a，b，c为实数，当a2－3b0时，f(x)的单调性如何？[提示]求函数的导函数f′(x)＝3x2＋2ax＋b，导函数对应方程f′(x)＝0的Δ＝4(a2－3b)0，所以f′(x)0恒成立，故f(x)是增函数．2．函数单调性的充要条件如何？[提示](1)在某个区间内，f′(x)0(f′(x)0)是函数f(x)在此区间内单调递增(减)的充分条件，而不是必要条件．例如，函数f(x)＝x3在定义域(－∞，＋∞)上是增函数，但f′(x)＝3x2≥0.(2)函数f(x)在(a，b)内单调递增(减)的充要条件是f′(x)≥0(f′(x)≤0)在(a，b)内恒成立，且f′(x)在(a，b)的任意子区间内都不恒等于0.这就是说，在区间内的个别点处有f′(x)＝0并不影响函数f(x)在该区间内的单调性．【例3】已知关于x的函数y＝x3－ax＋b.(1)若函数y在(1，＋∞)内是增函数，求a的取值范围；(2)若函数y的一个单调递增区间为(1，＋∞)，求a的值．思路探究：(1)函数在区间(1，＋∞)内是增函数，则必有y′≥0在(1，＋∞)上恒成立，由此即可求出a的取值范围．(2)函数y的一个单调递增区间为(1，＋∞)，即函数单调区间的端点值为1，由此可解得a的值．[解]y′＝3x2－a.(1)若函数y＝x3－ax＋b在(1，＋∞)内是增函数．则y′＝3x2－a≥0在x∈(1，＋∞)时恒成立，即a≤3x2在x∈(1，＋∞)时恒成立，则a≤(3x2)min.因为x1，所以3x23.所以a≤3，即a的取值范围是(－∞，3]．(2)令y′0，得x2a3.若a≤0，则x2a3恒成立，即y′0恒成立，此时，函数y＝x3－ax＋b在R上是增函数，与题意不符．若a0，令y′0，得xa3或x－a3.因为(1，＋∞)是函数的一个单调递增区间，所以a3＝1，即a＝3.1．将本例(1)改为“若函数y在(1，＋∞)上不单调”，则a的取值范围又如何？[解]y′＝3x2－a，当a0时，y′＝3x2－a0，函数在(1，＋∞)上单调递增，不符合题意．当a0时，函数y在(1，＋∞)上不单调，即y′＝3x2－a＝0在区间(1，＋∞)上有根．由3x2－a＝0可得x＝a3或x＝－a3(舍去)．依题意，有a31，∴a3，∴a的取值范围是(3，＋∞)．2．本例(1)中函数改为f(x)＝x3－ax2－3x.区间“(1，＋∞)”改为“[1，＋∞)，a的取值范围如何？[解]由f(x)＝x3－ax2－3x得f′(x)＝3x2－2ax－3，∵f(x)在x∈[1，＋∞)上是增函数，∴3x2－2ax－3≥0，∴a3≤x2－12x.令g(x)＝x2－12x，x∈[1，＋∞)，g′(x)＝x2＋12x20，即g(x)在[1，＋∞)上单调递增，∴g(x)≥g(1)＝0，∴a的取值范围为a≤0.1．解答本题注意可导函数f(x)在(a，b)上单调递增(或单调递减)的充要条件是f′(x)≥0(或f′(x)≤0)在(a，b)上恒成立，且f′(x)在(a，b)的任何子区间内都不恒等于0.2．已知f(x)在区间(a，b)上的单调性，求参数取值范围的方法(1)利用集合的包含关系处理f(x)在(a，b)上单调递增(减)的问题，则区间(a，b)是相应单调区间的子集；(2)利用不等式的恒成立处理f(x)在(a，b)上单调递增(减)的问题，则f′(x)≥0(f′(x)≤0)在(a，b)内恒成立，注意验证等号是否成立．3．已知函数f(x)＝2ax3＋4x2＋3x－1在R上是增函数，求实数a的取值范围．[解]f′(x)＝6ax2＋8x＋3.∵f(x)在R上是增函数，∴f′(x)≥0在R上恒成立，即6ax2＋8x＋3≥0在R上恒成立，∴64－72a≤0，a0，解得a≥89.经检验，当a＝89时，只有个别点使f′(x)＝0，符合题意．故实数a的取值范围为89，＋∞.1．函数的单调性与导数符号的关系设函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导，(1)如果在(a，b)内，f′(x)0，则f(x)在此区间是增函数，(a，b)为f(x)的单调增区间；(2)如果在(a，b)内，f′(x)0，则f(x)在此区间是减函数，(a，b)为f(x)的单调减区间．2．利用导数求函数的单调区间的步骤求函数的单调区间，就是解不等式f′(x)0或f′(x)0，不等式的解集就是所求的单调区间，其步骤如下：(1)求函数f(x)的定义域；(2)求出f′(x)；(3)解不等式f′(x)0可得函数f(x)的单调增区间，解不等式f′(x)0可得函数f(x)的单调减区间．3．函数f(x)在(a，b)内单调递增(减)的充要条件是f′(x)≥0(f′(x)≤0)在(a，b)内恒成立，且f′(x)在(a，b)的任意区间内都不恒等于0.这就是说，在区间内的个别点处有f′(x)＝0并不影响函数f(x)在该区间内的单调性．当堂达标固双基1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数f(x)在定义域上都有f′(x)0，则函数f(x)在定义域上单调递增．()(2)函数在某一点的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”．()(3)函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大．()[答案](1)×(2)×(3)√2．已知函数f(x)＝x＋lnx，则有()A．f(2)＜f(e)＜f(3)B．f(e)＜f(2)＜f(3)C．f(3)＜f(e)＜f(2)D．f(e)＜f(3)＜f(2)A[因为在定义域(0，＋∞)上f′(x)＝12x＋1x＞0，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数，所以有f(2)＜f(e)＜f(3)．故选A.]3．函数f(x)＝2x3－9x2＋12x＋1的单调减区间是________．(1,2)[f′(x)＝6x2－18x＋12，令f′(x)＜0，即6x2－18x＋12＜0，解得1＜x＜2．]4．已知函数f(x)＝x3－ax－1．(1)是否存在a，使f(x)的单调减区间是(－1,1)；(2)若f(x