2019-2020学年高中数学 第2章 平面解析几何初步 2.1 直线与方程 2.1.5 平面上两点

2．1.5平面上两点之间的距离预习课本P97～101，思考并完成以下问题1．平面上两点之间的距离公式是什么？2．线段的中点坐标公式是什么？如何应用它求有关对称问题？[新知初探]1．平面内两点间的距离公式平面上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式是P1P2＝.特别地，原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离为OP＝.x2－x12＋y2－y12x2＋y2[点睛]平面上两点间距离公式是数轴上两点间距离公式的推广，此公式与两点的先后顺序无关，仅与点的位置有关．2．线段的中点坐标公式设平面上的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的中点是M(x0，y0)，则x0＝，y0＝.122xx122yy[点睛]①中点坐标公式的应用反映了“知二求一”的思想，即已知线段AB的端点及中点P的三个坐标中的两个便可求第三个．②求点关于点的对称点，点关于直线的对称点，直线关于点的对称直线问题，其实就是中点坐标公式与垂直知识的简单应用．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内任意两点间的距离均可由两点间的距离公式计算得出．()(2)点A(－3,2)关于点(－1,0)的对称点A′的坐标是(－2,1)．()(3)点M(a,b)和N(b,a)(其中a≠b)关于直线y＝x对称．()√×√2．已知A(－3,2)，B(7，－8)，C(m，n)，若C为AB的中点，则m＋n等于.答案：－13．直线l过点P(－2,3)，且与x轴、y轴分别相交于A，B两点，若点P恰好为A，B的中点，则直线l的方程为________．答案：3x－2y＋12＝04．若△ABC三个顶点坐标A(－2,2)，B(3,2)，C(4,0)，则AC边的中线BD长为_______．答案：5两点间距离公式及简单应用[典例]已知点A(－1,2)，B(2，7)，在x轴上求一点P，使PA＝PB，并求PA的值．[解]由题意，设点P坐标为(x,0)，则PA＝x＋12＋0－22＝x2＋2x＋5.PB＝x－22＋0－72＝x2－4x＋11，由PA＝PB，得x2＋2x＋5＝x2－4x＋11，解得x＝1.所以点P的坐标为(1,0)．且PA＝12＋2×1＋5＝22.解答此类问题的关键是借助两点间的距离公式建立参数的方程，利用方程的思想求得参数值，在解答过程中体现了几何问题代数化的思想．[活学活用]已知三角形A(－3,1)，B(3，－3)，C(1,7)．试判断△ABC的形状．解：法一：∵kAC＝7－11－－3＝32，kAB＝－3－13－－3＝－23，则kAC·kAB＝－1，∴AC⊥AB.又AC＝1＋32＋7－12＝52，AB＝3＋32＋－3－12＝52，∴AC＝AB，∴△ABC是等腰直角三角形．法二：∵AB＝3＋32＋－3－12＝52，AC＝1＋32＋7－12＝52，又BC＝1－32＋7＋32＝104，∴AB2＋AC2＝BC2，且AB＝AC，∴△ABC是等腰直角三角形.中点坐标公式在对称问题中的应用题点一：点关于点对称1．过点P(0,1)作直线l使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，求直线l的方程．解：设l1与l的交点为A(a,8－2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a,2a－6)在l2上，代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即点A(4,0)在直线l上，所以直线l的方程为x＋4y－4＝0.题点二：点关于线对称2．点P(－3,4)关于直线x＋y－2＝0的对称点Q的坐标是_____．解析：设对称点坐标为(a，b)，则a－32＋b＋42－2＝0，b－4a＋3＝1，解得a＝－2，b＝5，即Q(－2,5)．答案：(－2,5)题点三：线关于点对称3．与直线2x＋3y－6＝0关于点(1，－1)对称的直线方程是_____．解析：由平面几何知识易知所求直线与已知直线2x＋3y－6＝0平行，则可设所求直线方程为2x＋3y＋C＝0.在直线2x＋3y－6＝0上任取一点(3,0)，关于点(1，－1)对称点为(－1，－2)，则点(－1，－2)必在所求直线上，∴2×(－1)＋3×(－2)＋C＝0，C＝8.∴所求直线方程为2x＋3y＋8＝0.答案：2x＋3y＋8＝0题点四：线关于线对称4．求直线m：3x－2y－6＝0关于直线l：2x－3y＋1＝0的对称直线m′的方程．解：在直线m上取一点，如M(2,0)，则M(2,0)关于直线l的对称点M′必在直线m′上．设对称点为M′(a，b)，则2×a＋22－3×b＋02＋1＝0，b－0a－2×23＝－1.解得M′613，3013.设直线m与直线l的交点为N，则由2x－3y＋1＝0，3x－2y－6＝0.得N(4,3)．又∵m′经过点N(4,3)，∴由两点式得直线m′的方程为9x－46y＋102＝0.(1)求点关于点的对称，其实就是中点坐标公式的简单应用；(2)点关于直线的对称点，其实质就是中点问题和垂直问题的结合；(3)求直线关于点的对称直线问题就是利用点之间坐标得相关性通过方程思想求解．解析法证明几何问题[典例]设点M是等腰直角三角形ABC的斜边BA的中点，P是直线BA上任意一点，PE垂直于AC，E为垂足，PF垂直于BC，F为垂足，求证：(1)ME＝MF；(2)ME⊥MF.[证明](1)如图，以等腰直角三角形的直角顶点C为坐标原点O，以OA为单位长，直线OA，OB分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，则A(1,0)，B(0,1)，M12，12.设P(x0，y0)，则有x0＋y0＝1.∵PE⊥OA，PF⊥OB，∴E(x0,0)，F(0，y0)，ME＝x0－122＋14，MF＝14＋12－y02.∵x0－12＝12－y0，∴ME＝MF.(2)∵ME2＋MF2＝x0－122＋14＋14＋12－y02＝x20＋y20，EF2＝x20＋y20，∴ME2＋MF2＝EF2，△MEF是直角三角形，因此∠EMF＝90°，ME⊥MF.1．解析法证明几何问题的步骤2．建系的原则(1)要使尽可能多的已知点在坐标轴上，这样便于运算；(2)如果图形条件中有互相垂直的两条线，要考虑将其作为坐标轴；如果图形具有中心对称性，可以考虑将图形中心作为原点；如果图形具有轴对称性，可以考虑将对称轴作为坐标轴．平面直角坐标系建立得是否合适会直接影响问题能否方便解决．[活学活用]已知AO是△ABC中BC边的中线，证明AB2＋AC2＝2(AO2＋OC2)．证明：以O为坐标原点，BC为x轴，BC的中垂线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系xOy.设点A(a，b)，B(－c,0)，C(c,0)，由两点间距离公式得AB＝a＋c2＋b2，AC＝a－c2＋b2，AO＝a2＋b2，OC＝c，所以AB2＋AC2＝2(a2＋b2＋c2)，AO2＋OC2＝a2＋b2＋c2.所以AB2＋AC2＝2(AO2＋OC2)．