2019-2020学年高中数学 第1章 立体几何初步 1.2 点、线、面之间的位置关系 1.2.4

第二课时两平面垂直预习课本P46～49，思考并完成下列问题1．什么是二面角，它的平面角是如何规定的？2．两个平面互相垂直的判定定理是什么？3．两个平面互相垂直具有什么性质？4．空间垂直关系如何转化？[新知初探]1．二面角及其有关概念(1)半平面：平面内的一条直线把这个平面分成，其中的每一部分都叫做半平面．(2)二面角：一般地，一条直线和由这条直线出发的两个_______所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面．(3)平面角：一般地，以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作于棱的射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．两部分半平面垂直(4)直二面角：平面角是的二面角叫做直二面角．(5)二面角的范围[0，π]．2．两平面互相垂直的定义一般地，如果两个平面所成的二面角是，那么就说这两个平面互相垂直．直角直二面角[点睛]两个平面垂直的定义，可以作为判定面面垂直的基本方法．3．两个平面垂直的判定定理(1)文字表述：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．(2)符号表示：⇒α⊥β.l⊥αl⊂β[点睛]两个平面互相垂直的判定定理将线面垂直关系转化为面面垂直关系．4．两个平面垂直的性质定理(1)文字表述：如果两个平面互相垂直，那么在垂直于它们的直线垂直于另一个平面．(2)符号表示：若α⊥β，，m⊂β，m⊥l，则.一个平面内交线α∩β＝lm⊥α[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若l⊥α，则过l有无数个平面与α垂直．()(2)两垂直的平面的二面角的平面角大小为90°.()(3)若α⊥β，a⊂α，b⊂β，则a⊥b.()(4)若平面α⊥平面γ，平面α⊥平面γ，则平面β∥平面γ.()√√××2．过空间任意两个定点与一个已知平面垂直的平面有______个．答案：1或无数3．如图，在正方体ABCD­A′B′C′D′中，二面角D′­AB­D的大小为________．解析：在正方体ABCD­A′B′C′D′中，AB⊥平面AD′，所以AB⊥AD′，AB⊥AD，因此∠D′AD为二面角D′­AB­D的平面角．在Rt△D′DA中，∠D′AD＝45°，所以二面角D′­AB­D的大小为45°.答案：45°二面角的有关问题[典例]如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，过C1，B，D三点作一个平面，求二面角C1­BD­C的正切值．[解]取BD的中点O，连结CO，C1O，因为BD是二面角C1­BD­C的棱，ABCD­A1B1C1D1为正方体，O是底面正方形ABCD对角线BD的中点，所以CO⊥BD.又C1D＝C1B，所以C1O⊥BD.因此，∠C1OC即为二面角C1­BD­C的平面角．设正方体的棱长为1，在Rt△C1CO中，C1C＝1，CO＝22，∴tan∠C1OC＝122＝2，即二面角C1­BD­C的正切值为2.1．求二面角的平面角的方法一作：依据题意灵活选择适当的方法；二证：凡作出的二面角的平面角均需证明，可根据定义证明；三算：一般求角的大小问题可转化到直角三角形中来求．2．作(找)二面角的平面角的策略(1)有现成的二面角的平面角，就直接证明并求解；(2)根据定义作二面角的平面角，关注棱上点的选择；(3)充分利用线面垂直关系作出作二面角的平面角；(4)如果有二面角的棱的垂面，就找该面与二面角的两个半平面的交线，就是二面角的一个平面角的两边；(5)若两个平面互相垂直，只需要证明面面垂直关系，即可得二面角为直二面角．无需再作出二面角的平面角．[活学活用]如图所示，在四面体ABCD中，AB＝AC＝DB＝DC＝3，BC＝AD＝2，求二面角A­BC­D的大小．解：如图所示，取BC的中点E，连结AE，DE，∵AB＝AC＝DB＝DC＝3，∴AE⊥BC，DE⊥BC.∴∠AED为二面角A­BC­D的一个平面角．在Rt△DEB中，DB＝3，BE＝1，∴DE＝DB2－BE2＝2，同理AE＝2.在△AED中，∵AE＝DE＝2，AD＝2，∴AD2＝AE2＋DE2.∴∠AED＝90°.∴二面角A­BC­D大小为90°.平面与平面垂直的判定[典例]已知四边形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD，M，N分别是AB，PC的中点．求证：平面MND⊥平面PCD.[证明]如图，取PD的中点E，连结AE，NE.∵E，N分别是PD，PC的中点，∴EN綊12CD.又AB∥CD，AM＝12AB.∴EN綊AM.∴四边形AMNE是平行四边形．∴MN∥AE.∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD.又CD⊥AD，PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD.∴CD⊥AE.在等腰直角三角形PAD中，AE是斜边PD上的中线，∴AE⊥PD.又CD∩PD＝D，∴AE⊥平面PCD.又MN∥AE，∴MN⊥平面PCD.∵MN⊂平面MND，∴平面MND⊥平面PCD.面面垂直的判定定理是证明面面垂直的常用方法，即要证面面垂直，只需转证线面垂直，关键是在其中一个平面内寻找一直线与另一个平面垂直．[活学活用]1.如图，四棱锥P­ABCD的底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱PA＝a，PB＝PD＝2a，则它的五个面中，互相垂直的面有________对．解析：平面PAB⊥平面PAD，平面PAB⊥平面ABCD，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD⊥平面PCD，平面PBC⊥平面PAB，共5对．答案：52．如图，在三棱锥A­BCD中，BD＝2a，AB＝AD＝CB＝CD＝AC＝a.求证：平面ABD⊥平面BCD.证明：法一：∵△ABD与△BCD是全等的等腰直角三角形．∴取BD的中点E，连结AE，CE，则AE⊥BD，BD⊥CE，∴∠AEC为二面角A­BD­C的平面角，在△ABD中，AB＝a，BE＝12BD＝22a，∴AE＝AB2－BE2＝22a，同理，CE＝22a，在△AEC中，AE＝CE＝22a，AC＝a，∴AE2＋CE2＝AC2，∴AE⊥CE，即∠AEC＝90°，即二面角A­BD­C的平面角为90°，∴平面ABD⊥平面BCD.法二：利用判定定理．∵AB＝AC＝AD，∴点A在平面BCD上的投影为△BCD的外心，∵△BCD为直角三角形，∴A点在△BCD上的投影E为斜边BD的中点，∴AE⊥平面BCD，又平面ABD过AE，∴平面ABD⊥平面BCD.平面与平面垂直性质的运用[典例]如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD.[证明]由题意知△PAD为正三角形，G是AD的中点，∴PG⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD，∴PG⊥平面ABCD.∴PG⊥BG.又∵四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，∴△ABD是正三角形．∴BG⊥AD.又AD∩PG＝G，∴BG⊥平面PAD.当题目条件中有面面垂直的条件时，往往要由面面垂直的性质定理推导出线面垂直的条件，进而得到线线垂直的关系．因此见到面面垂直条件时要找准两平面的交线，有目的的在平面内找交线的垂线．[活学活用]如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC，EF∥AC，AB＝2，CE＝EF＝1.(1)求证：AF∥平面BDE；(2)求证：CF⊥平面BDE.证明：(1)设AC与BD交于点G.因为EF∥AG，且EF＝1，AG＝12AC＝1.所以四边形AGEF为平行四边形．所以AF∥EG.因为EG⊂平面BDE，AF⊄平面BDE，所以AF∥平面BDE.(2)连结FG.因为EF∥CG，EF＝CG＝1，且CE＝1，所以四边形CEFG为菱形，所以CF⊥EG.因为四边形ABCD为正方形，所以BD⊥AC.又因为平面ACEF⊥平面ABCD，CE⊥AC，且平面ACEF∩平面ABCD＝AC，所以CE⊥平面ABCD，所以CE⊥BD.又AC∩CE＝C，所以BD⊥平面ACEF，所以CF⊥BD.又BD∩EG＝G，所以CF⊥平面BDE.立体几何中的折叠问题[典例]如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为CD的中点．将△ADE沿AE折起，使平面ADE⊥平面ABCE，得到几何体D­ABCE.求证：BE⊥平面ADE.[证明]在△ADE中，AE2＝AD2＋DE2＝12＋12＝2，在△BCE中，BE2＝BC2＋CE2＝12＋12＝2，故在△AEB中，∵AE2＋BE2＝AB2，∴BE⊥AE.又平面ADE⊥平面ABCE，平面ADE∩平面ABCE＝AE，BE⊂平面ABCE，∴BE⊥平面ADE.平面图形的折叠问题解题要点(1)抓住折叠前后的不变量与变化量，同在半平面内的两个元素之间的关系保持不变，而位于两个半平面内的两个元素之间关系改变．(2)特别要有意识地注意折叠前后不变的垂直性和平行性．[活学活用]如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图②.(1)求证：DE∥平面A1CB.(2)求证：A1F⊥BE.(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由．解：(1)证明：∵D，E分别为AC，AB的中点，∴DE∥BC.又DE⊄平面A1CB，BC⊂平面A1CB，∴DE∥平面A1CB.(2)证明：由已知得AC⊥BC且DE∥BC，∴DE⊥AC.∴DE⊥A1D，DE⊥CD.∴DE⊥平面A1DC.而A1F⊂平面A1DC，∴DE⊥A1F.又A1F⊥CD，CD∩DE＝D，∴A1F⊥平面BCDE，又BE⊂平面BCDE，∴A1F⊥BE.(3)线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ，理由如下：如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，连结PD，QD，PQ，QE，则PQ∥BC.又DE∥BC，∴DE∥PQ.∴平面DEQ即为平面DEQP.由(2)知，DE⊥平面A1DC.∴DE⊥A1C.又P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，∴A1C⊥DP.又DP∩DE＝D.∴A1C⊥平面DEQP.即A1C⊥平面DEQ.故线段A1B上存在点Q，使得A1C⊥平面DEQ.