（名师讲坛）2020版高考数学二轮复习 专题七 实际应用问题 微切口26 以解析几何为背景的应用问题

专题七实际应用问题微切口26以解析几何为背景的应用问题某新建小区规划利用一块空地进行配套绿化．已知空地的一边是直路AB，余下的外围是抛物线的一段弧，直路AB的中垂线恰是该抛物线的对称轴，如图(1)所示．拟在这个空地上划出一个等腰梯形ABCD区域种植草坪，其中A，B，C，D均在该抛物线上．经测量，直路AB长为40m，抛物线的顶点P到直路AB的距离为40m．设点C到抛物线的对称轴的距离为mm，到直路AB的距离为nm.(1)求出n关于m的函数关系式；(例1(1))【思维引导】(例1(2))•【解答】以路AB所在的直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立如图(2)所示的平面直角坐标系，•则A(－20,0)，B(20,0)，P(0,40)，•因为曲线段APB为抛物线的一段弧，•所以可以设抛物线的解析式为y＝a(x－20)(x＋20)，将点P(0,40)代入，得40＝－400a，解得a＝－110，所以抛物线的解析式为y＝110(400－x2)，因为点C在抛物线上，所以n＝110(400－m2)，0m20.(2)当m取何值时，等腰梯形草坪ABCD的面积最大？并求出其最大值．【解答】设等腰梯形ABCD的面积为S，则S＝12×(2m＋40)×110(400－m2)，＝110(－m3－20m2＋400m＋8000)，因为S′＝110(－3m2－40m＋400)＝－110(3m－20)(m＋20)，令S′＝0，得m＝203，当m变化时，S′，S的变化情况如下表：m0，203203203，20S′＋0—S极大值所以当m＝203时，等腰梯形ABCD的面积最大，且最大值为2560027m2.如图，某海面上有O，A，B三个小岛(面积大小忽略不计)，A岛在O岛的北偏东45°方向且相距402km处，B岛在O岛的正东方向且相距20km处．(1)以O为坐标原点，O的正东方向为x轴正方向，1km为单位长度，建立如图所示的平面直角坐标系，写出点A，B的坐标，并求A，B两岛之间的距离；【思维引导】【解答】因为点A在点O的东北方向402km处，点B在点O的正东方向20km处，所以A(40,40)，B(20,0)，由两点间的距离公式得AB＝40－202＋40－02＝205(km)．(2)已知在经过O，A，B三个点的圆形区域内有未知暗礁，现有一船在O岛的南偏西30°方向距O岛40km处，正沿着北偏东45°行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？【解答】设过O，A，B三点的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，将O(0,0)，A(40,40)，B(20,0)代入上式得F＝0，402＋402＋40D＋40E＋F＝0，202＋20D＋F＝0，解得D＝－20，E＝－60，F＝0，所以圆的方程为x2＋y2－20x－60y＝0，圆心为(10,30)，半径r＝1010.设船起初所在的位置为点C，则C(－20，－203)，且该船航线所在直线的斜率为1，由点斜式得船航行方向为直线l：x－y＋20－203＝0，圆心到l：x－y＋20－203＝0的距离为d＝|10－30＋20－203|12＋12＝1061010，所以该船有触礁的危险．以解析几何为背景的应用题是高考的热点之一，其解题思路是通过建立坐标系，应用有关概念与性质解决问题．我们可以将求解解析几何应用问题的基本步骤概括为：①转化，根据题目条件将实际问题转化为相应的解析几何问题；②求解，解这个纯数学的解析几何问题；③作答，就应用题提出的问题作出符合实际的回答．