（江苏专用）2020版高考数学二轮复习 微专题十二 直线与椭圆的位置关系课件 苏教版

核心模块四解析几何微专题十二直线与椭圆的位置关系课时作业考情分析在近三年的高考题中，直线与椭圆的位置关系是解析几何的基本考察的对象，主要是考察在两种曲线共存的情况下，直线的方程或者圆的方程以及椭圆的几何性质，难度比起前几年有所降低．年份填空题解答题2016T16考察直线与椭圆的位置关系2017T17考察直线与与椭圆的位置关系2018T18考察直线方程和椭圆的方程课时作业典型例题目标1直线与椭圆的位置关系例1如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为22，且右焦点F到左准线l的距离为3.(1)求椭圆的标准方程；(2)过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC＝2AB，求直线AB的方程．解析：(1)由题意，得ca＝22且c＋a2c＝3，解得a＝2，c＝1，则b＝1，所以椭圆的标准方程为x22＋y2＝1.(2)当AB⊥x轴时，AB＝2，又CP＝3，不合题意．当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，将AB的方程代入椭圆方程，得(1＋2k2)x2－4k2x＋2(k2－1)＝0，则x1,2＝2k2±21＋k21＋2k2，点C的坐标为2k21＋2k2，－k1＋2k2，且AB＝x2－x12＋y2－y12＝1＋k2x2－x12＝221＋k21＋2k2.若k＝0，则线段AB的垂直平分线为y轴，与左准线平行，不合题意．从而k≠0，故直线PC的方程为y＋k1＋2k2＝－1kx－2k21＋2k2，则点P的坐标为－2，5k2＋2k1＋2k2，从而PC＝23k2＋11＋k2|k|1＋2k2.因为PC＝2AB，所以23k2＋11＋k2|k|1＋2k2＝421＋k21＋2k2，解得k＝±1.此时直线AB的方程为y＝x－1或y＝－x＋1.【方法归类】1.直线方程的求解只需要两个独立条件，但在椭圆背景下，几何条件转化为坐标的难度增加，涉及到长度、面积、向量等．2.直线与椭圆的位置关系处理需要通过联立方程组来处理，联立方程组时要关注相关的点是否能够求解，不能求解的可以用根与系数关系来处理．【思维变式题组训练】1.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：x2a2＋y2b2＝1的焦点在椭圆C2：y2a2＋x2b2＝1上，其中ab0，且点P63，63是椭圆C1，C2位于第一象限的交点．(1)求椭圆C1，C2的标准方程；(2)过y轴上一点Q的直线l与椭圆C2相切，与椭圆C1交于点A，B，已知QA→＝35QB→，求直线l的斜率．解析：(1)椭圆C1：x2a2＋y2b2＝1的焦点坐标为(±c,0)，代入椭圆C2的方程有c2b2＝1.再将点P63，63的坐标代入椭圆C1，C2的方程有C1：23a2＋23b2＝1，所以c2b2＝1，a2＝b2＋c2，23a2＋23b2＝1，解得a2＝2，b2＝c2＝1.所以椭圆C1，C2的标准方程分别为x22＋y2＝1，y22＋x2＝1.(2)由题意直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，Q(0，m)．由y22＋x2＝1，y＝kx＋m，消去y得kx＋m22＋x2＝1，即1＋k22x2＋kmx＋m22－1＝0，Δ＝k2m2－41＋k22m22－1＝0，即k2＋2－m2＝0.由x22＋y2＝1，y＝kx＋m，消去y得x22＋(kx＋m)2＝1，即12＋k2x2＋2kmx＋m2－1＝0.因为直线l与椭圆C1相交，有Δ＝4k2m2－412＋k2(m2－1)＝4k2－12m2＋120(*)．x1,2＝－2km±4k2－12m2＋12212＋k2.因为QA→＝35QB→，即(x1，y1－m)＝35(x2，y2－m)，有5x1＝3x2，所以5－2km＋4k2－12m2＋12212＋k2＝3－2km－4k2－12m2＋12212＋k2或5－2km－4k2－12m2＋12212＋k2＝3－2km＋4k2－12m2＋12212＋k2，化简，得km＝4k2－12m2＋12或km＝－4k2－12m2＋12，即k2m2＝16k2－12m2＋12.又因为k2＋2－m2＝0，解得k2＝2，m2＝4或k2＝4，m2＝6，均符合(*)式，故k＝±2或k＝±2.所以直线l的斜率为±2或±2.2.已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)过点A(0,1)，且椭圆的离心率为63.(1)求椭圆C的方程；(2)已知斜率为1的直线l交椭圆C于M(x1，y1)，N(x2，y2)两点，且x1x2，若直线x＝3上存在点P，使得△PMN是以∠PMN为顶角的等腰直角三角形，求直线l的方程．解析：(1)因为椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)过点A(0,1)，且椭圆的离心率为63，所以b＝1，ca＝63，a2＝b2＋c2，解得a2＝3，所以椭圆C的方程为x23＋y2＝1.(2)设直线l的方程为y＝x＋m，P(3，yP)，由x23＋y2＝1，y＝x＋m，得4x2＋6mx＋3m2－3＝0.令Δ＝36m2－48m2＋480，得－2m2.x1＋x2＝－32m，x1x2＝34(m2－1)．因为△PMN是以∠PMN为顶角的等腰直角三角形，所以NP平行于x轴．过点M作NP的垂线，则垂足Q为线段NP的中点．设点Q的坐标为(xQ，yQ)，则xQ＝xM＝x1＝x2＋32.由方程组x1＋x2＝－32m，x1x2＝34m2－1，x1＝x2＋32，得m2＋2m＋1＝0，解得m＝－1.而m＝－1∈(－2,2)，所以直线l的方程为y＝x－1.目标2直线与椭圆的综合问题例2如图，在平面直角坐标系xOy中，已知焦点在x轴上，离心率为12的椭圆E的左顶点为A，点A到右准线的距离为6.(1)求椭圆E的标准方程；(2)过点A且斜率为32的直线与椭圆E交于点B，过点B与右焦点F的直线交椭圆E于点M，求点M的坐标．思路分析：(1)由e＝ca＝12和a＋a2c＝6，解出a，c，再得b.(2)依次求出点B，M的坐标．解析：(1)设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，半焦距为c.因为椭圆的离心率为12，所以ca＝12，即a＝2c.又因为A到右准线的距离为6，所以a＋a2c＝3a＝6，解得a＝2，c＝1，所以b2＝a2－c2＝3，所以椭圆E的标准方程为x24＋y23＝1.(2)直线AB的方程为y＝32(x＋2)，由y＝32x＋2，x24＋y23＝1，得x2＋3x＋2＝0，解得x＝－2或x＝－1.则点B的坐标为－1，32.由题意，右焦点F(1,0)，所以直线BF方程为y＝－34(x－1)，由y＝－34x－1，x24＋y23＝1，得7x2－6x－13＝0，解得x＝－1或x＝137，所以点M的坐标为137，－914.【思维变式题组训练】1.已知椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，且圆C：x2＋y2＋3x－3y－6＝0过A，F2两点．(1)求椭圆E的方程．(2)设直线PF2的倾斜角为α，直线PF1的倾斜角为β，当β－α＝2π3时，证明：点P在一定圆上．解析：(1)圆x2＋y2＋3x－3y－6＝0与x轴的交点坐标分别为A(－23，0)，F2(3，0)，故a＝23，c＝3，所以b＝3，所以椭圆方程是x212＋y29＝1.(2)设点P(x，y)，F1(－3，0)，F2(3，0)．因为α，β是直线的倾斜角，且β－α＝2π3，所以α，β均不可能为π2，所以kPF1＝tanβ＝yx＋3，kPF2＝tanα＝yx－3.因为β－α＝2π3，所以tan(β－α)＝－3.因为tan(β－α)＝tanβ－tanα1＋tanβtanα＝－23yx2＋y2－3，所以－23yx2＋y2－3＝－3，化简得x2＋y2－2y＝3.所以点P在定圆x2＋y2－2y－3＝0上．2.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为22，焦点到相应准线的距离为1.(1)求椭圆的标准方程；(2)若P为椭圆上的一点，过点O作OP的垂线交直线y＝2于点Q，求1OP2＋1OQ2的值．思路分析：(1)寻找到基本量a，b，c的方程组，解出a，b，c，从而得到椭圆的标准方程；(2)抓住OP⊥OQ，以OP的斜率k作为参数，求出P，Q的坐标，进而求出OP2和OQ2，计算得1OP2＋1OQ2的值．值得注意的是需要讨论两条直线的斜率是否存在．解析：(1)由题意得，ca＝22，a2c－c＝1,解得a＝2，c＝1，b＝1.所以椭圆的标准方程为x22＋y2＝1.(2)由题意知OP的斜率存在．当OP的斜率为0时，OP＝2，OQ＝2，所以1OP2＋1OQ2＝1.当OP的斜率不为0时，设直线OP方程为y＝kx.由x22＋y2＝1，y＝kx，得(2k2＋1)x2＝2，解得x2＝22k2＋1，所以y2＝2k22k2＋1，所以OP2＝2k2＋22k2＋1.因为OP⊥OQ，所以直线OQ的方程为y＝－1kx.由y＝2，y＝－1kx得x＝－2k，所以OQ2＝2k2＋2.所以1OP2＋1OQ2＝2k2＋12k2＋2＋12k2＋2＝1.综上，可知1OP2＋1OQ2＝1.课时作业课后作业一、填空题1.以原点为圆心，以椭圆x25＋y24＝1的右焦点到抛物线y2＝4x的准线的距离为半径的圆的方程为________________．x2＋y2＝4解析：椭圆的右焦点为F(1,0)，抛物线的准线为x＝－1，则圆的半径为2，则圆的方程为x2＋y2＝4.2.已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF.若AB＝10，BF＝8，cos∠ABF＝45，则C的离心率为________．57解析：由条件知△ABF为以F为直角的直角三角形．由对称性可知2a＝8＋6＝14,2c＝10，所以离心率e＝ca＝57.3.已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B，若椭圆C的中心到直线AB的距离为66F1F2，则椭圆C的离心率e＝________.22解析：设椭圆C的焦距为2c(ca)，由于直线AB的方程为bx＋ay－ab＝0，所以aba2＋b2＝63c.因为b2＝a2－c2，所以3a4－7a2c2＋2c4＝0，解得a2＝2c2或3a2＝c2(舍去)，所以e＝ca＝22.4.已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的两焦点分别是F1，F2，过F1的直线交椭圆于P，Q两点，若PF2＝F1F2，且2PF1＝3QF1，则椭圆的离心率为________．35解析：如图，因为PF1＋PF2＝2a，F1F2＝PF2＝2c，所以PF1＝2a－2c.又因为2PF1＝3QF1，所以QF1＝43(a－c)．作椭圆的左准线l，分别过点P，Q作PM⊥l，QN⊥l，垂足分别为M，N，再作QE⊥PM，垂足为E.由椭圆的第二定义得，PF1PM＝e，所以PM＝2e(a－c)，同理QN＝4a－c3e，所以EP＝2a－c3e，所以cos∠MPQ＝EPPQ＝15e，所以cos∠PF1F2＝cos∠MPQ＝15e.在△PF1F2中，由余弦定理得cos∠PF1F2＝PF21＋F1F22－PF222PF1·F1F2＝15e，即2c＝5e(a－c)，所以3a＝5c，e＝ca＝35.二、解答题5.己知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心