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-1-2.2超几何分布学习目标核心素养1.了解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用．(重点)2．会利用超几何分布的概念判断一个实际问题是否属于超几何分布，从而利用相关公式解题．(难点)1.通过超几何分布的学习，培养数学抽象素养．2．借助超几何分布的求解，提升数学运算素养.超几何分布的概率及其表示一般地，若一个随机变量X的分布列为P(X＝r)＝CrMCn－rN－MCnN，其中r＝0,1,2,3，…，l，l＝min(n，M)，则称X服从超几何分布，记为X～H(n，M，N)，并将P(X＝r)＝CrMCn－rN－MCnN记为H(r；n，M，N)．思考1：如何识别超几何分布？[提示]超几何分布必须满足以下两条：①总数为N件的物品只分为两类：M(M≤N)件甲类(或次品)，其余的N－M件为乙类(或正品)．②随机变量X表示从N件物品中任取n(n≤N)件物品，其中所含甲类物品(或次品)的件数．思考2：在产品检验中超几何分布描述的是放回抽样还是不放回抽样？[提示]不放回抽样．思考3：在超几何分布中，随机变量X取值的最大值是M吗？[提示]不一定．当n≥M时，最大值为M，当nM时，最大值为n.1．盒中有4个白球，5个红球，从中任取3个球，则取出1个白球和2个红球的概率是()A.3742B.1742C.1021D.1721C[根据题意知该问题为古典概型，所以P＝C14C25C39＝1021.]2．在含有5件次品的10件产品中，任取4件，则取到的次品数X的分布列为P(X＝r)＝________.-2-Cr5C4－r5C410，r＝0,1,2,3,4[P(X＝r)＝Cr5C4－r5C410，r＝0,1,2,3,4.]3．从有3个黑球，5个白球的盒中取出2个球，其中恰有一个是白球的概率是________．1528[由题意，这是一道超几何分布题，其中N＝8，M＝5，n＝2.所以P(X＝1)＝C15C13C28＝1528.]超几何分布的辨析【例1】下列问题中，哪些属于超几何分布问题，说明理由．(1)抛掷三枚骰子，所得向上的数是6的骰子的个数记为X，求X的概率分布；(2)有一批种子的发芽率为70%，任取10颗种子做发芽实验，把实验中发芽的种子的个数记为X，求X的概率分布；(3)盒子中有红球3只，黄球4只，蓝球5只．任取3只球，把不是红色的球的个数记为X，求X的概率分布；(4)某班级有男生25人，女生20人．选派4名学生参加学校组织的活动，班长必须参加，其中女生人数记为X，求X的概率分布；(5)现有100台MP3播放器未经检测，抽取10台送检，把检验结果为不合格的MP3播放器的个数记为X，求X的概率分布．[思路探究]总体是否由两类个体构成→随机变量是否为样本中一类个体的个数→是否为不放回抽样[解](1)(2)中样本没有分类，不是超几何分布问题，是重复试验问题．(3)(4)符合超几何分布的特征，样本都分为两类．随机变量X表示抽取n件样本，某类样本被抽取的件数，是超几何分布．(5)中没有给出不合格品数，无法计算X的概率分布，所以不属于超几何分布问题．1．判断一个随机变量是否服从超几何分布，应看三点：(1)总体是否可分为两类明确的对象；(2)是否为不放回抽样；(3)随机变量是否为样本中其中一类个体的个数．2．超几何分布中，r，n，M，N均为有限数，且r≤min(n，M)．1．下列随机变量中，服从超几何分布的有________．(填序号)①在10件产品中有3件次品，一件一件地不放回地任意取出4件，记取到的次品数为X；-3-②从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取2台，记X表示所取的2台彩电中甲型彩电的台数；③一名学生骑自行车上学，途中有6个交通岗，记此学生遇到红灯的数为随机变量X.①②[根据超几何分布模型定义可知①中随机变量X服从超几何分布．②中随机变量X服从超几何分布．而③中显然不能看作一个不放回抽样问题，故随机变量X不服从超几何分布．]超几何分布的概率【例2】现有来自甲、乙两班学生共7名，从中任选2名都是甲班的概率为17.(1)求7名学生中甲班的学生数；(2)设所选2名学生中甲班的学生数为ξ，求ξ≥1的概率．[思路探究](1)利用古典概型求解．(2)借助超几何分布的概率公式求解．[解](1)设甲班的学生人数为M，则C2MC27＝17.即M2－M－6＝0，解得M＝3或M＝－2(舍去)．∴7名学生中甲班的学生共有3人．(2)由题意可知，ξ～H(2,3,7)，∴P(ξ≥1)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＝C13C14C27＋C23C04C27＝47＋17＝57.求解此类问题的关键是先分析随机变量是否满足超几何分布．如果满足超几何分布的条件，则直接利用超几何分布模型求解，否则借助相应概率公式求解．2．高三(1)班的联欢会上设计了一项游戏：准备了10张相同的卡片，其中只在5张卡片上印有“奖”字．游戏者从10张卡片中任意抽取5张，如果抽到2张或2张以上印有“奖”字的卡片，就可获得一件精美的小礼品；如果抽到的5张卡片上都印有“奖”字，除精美小礼品外，还可获赠一套丛书．一名同学准备试一试，那么他能获得精美小礼品的概率是多少？-4-能获赠一套丛书的概率又是多少？[解]设X表示抽取5张卡片中印有“奖”字的卡片数，则X服从参数为N＝10，M＝5，n＝5的超几何分布．X的可能取值为0,1,2,3,4,5，则X的分布列为P(X＝r)＝Cr5C5－r5C510(r＝0,1,2,3,4,5)．若要获得精美小礼品，只需X≥2，故获得精美小礼品的概率为P(X≥2)＝1－P(X2)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)＝1－C05C55C510－C15C45C510＝113126.若要获赠一套丛书，必须X＝5，故获赠一套丛书的概率为P(X＝5)＝C55C05C510＝1252.两点分布与超几何分布[探究问题]1．利用随机变量研究一类问题，如抽取的奖券是否中奖，买回的一件产品是否为正品，新生婴儿的性别，投篮是否命中等，这些有什么共同点？[提示]这些问题的共同点是随机试验只有两个可能的结果．定义一个随机变量，使其中一个结果对应于1，另一个结果对应于0，即得到服从两点分布的随机变量．2．只取两个不同值的随机变量是否一定服从两点分布？[提示]不一定．如随机变量X的分布列由下表给出X25P0.30.7X不服从两点分布，因为X的取值不是0或1.3．在8个大小相同的球中，有2个黑球，6个白球，现从中取3个，求取出的球中白球个数X是否服从超几何分布？超几何分布适合解决什么样的概率问题？[提示]随机变量X服从超几何分布，超几何分布适合解决从一个总体(共有N个个体)内含有两种不同事物A(M个)、B(N—M个)，任取n个，其中恰有X个A的概率分布问题．【例3】在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖品．(1)顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X的分布列；(2)顾客乙从10张奖券中任意抽取2张，①求顾客乙中奖的概率；②设顾客乙获得的奖品总价值为Y元，求Y的分布列．[思路探究](1)从10张奖券中抽取1张，其结果有中奖和不中奖两种，故X～(0,1)．(2)从10张奖券中任意抽取2张，其中含有中奖的奖券的张数X(X＝1,2)服从超几何分布．[解](1)抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，故X的取值只有0和1两种情况．-5-P(X＝1)＝C14C110＝410＝25，则P(X＝0)＝1－P(X＝1)＝1－25＝35.因此X的分布列为X01P3525(2)①顾客乙中奖可分为互斥的两类事件：所抽取的2张奖券中有1张中奖或2张都中奖．故所求概率P＝C14C16＋C24C06C210＝3045＝23.②Y的所有可能取值为0,10,20,50,60，且P(Y＝0)＝C04C26C210＝1545＝13，P(Y＝10)＝C13C16C210＝1845＝25，P(Y＝20)＝C23C06C210＝345＝115，P(Y＝50)＝C11C16C210＝645＝215，P(Y＝60)＝C11C13C210＝345＝115.因此随机变量Y的分布列为Y010205060P13251152151151．两点分布的几个特点(1)两点分布中只有两个对应结果，且两个结果是对立的．(2)由对立事件的概率求法可知，已知P(X＝0)(或P(X＝1))，便可求出P(X＝1)(或P(X＝0))．2．解决超几何分布问题的两个关键点(1)超几何分布是概率分布的一种形式，一定要注意公式中字母的范围及其意义，解决问题时可以直接利用公式求解，但不能机械地记忆．(2)超几何分布中，只要知道M，N，n，就可以利用公式求出X取不同k的概率P(X＝k)，从而求出X的分布列．3．现有10张奖券，其中8张1元，2张5元，从中同时任取3张，求所得金额的分布列．[解]设所得金额为X，X的可能取值为3,7,11.-6-P(X＝3)＝C38C310＝715，P(X＝7)＝C28C12C310＝715，P(X＝11)＝C18·C22C310＝115.故X的分布列为X3711P7157151151．本节课的重点是超几何分布的概念及应用，难点是把具体问题抽象成超几何分布模型．2．超几何分布的数学模型是：一批产品共有N件，其中有M件不合格品，随机取出的n件产品中，不合格品X＝r的概率是P(X＝r)＝CrMCn－rN—MCnN.在应用上述公式时，要注意N、M、n、r的实际意义.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)超几何分布的总体中只有两类物品．()(2)在产品检验中，超几何分布描述的是有放回抽样．()(3)若X～H(n，M，N)，则n≤M.()(4)超几何分布X～H(n，M，N)中n是随机一次取出的样本容量，M是总体中不合格产品的总数，N是总体中的个体总数．()[答案](1)√(2)×(3)×(4)√2．有10位同学，其中男生6位，女生4位，从中任选3人参加数学竞赛．用X表示女生人数，则概率P(X≤2)＝________.2930[P(X≤2)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝0)＝C14C26C310＋C24C16C310＋C36C310＝2930.]3．某12人的兴趣小组中，有5名“三好学生”，现从中任意选6人参加竞赛，用X表示这6人中“三好学生”的人数，则当X取________时，对应的概率为C35C37C612.3[由题意可知，X服从超几何分布，由概率值中的C35可以看出“从5名三好生中选取了3名”．]4．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数．-7-(1)求ξ的分布列；(2)求“所选3人中女生人数ξ≤1”的概率．[解](1)ξ可能取的值为0,1,2，服从超几何分布，P(ξ＝k)＝Ck2·C3－k4C36，k＝0,1,2.所以，ξ的分布列为ξ012P153515(2)由(1)知，“所选3人中女生人数ξ≤1”的概率为P(ξ≤1)＝P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＝45.