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2021-2022学年沈阳市沈北新区九年级第一学期期中数学试卷一、选择题（每题2分，共20分）1．点P（﹣3，1）在双曲线y＝上，则k的值是（）A．﹣3B．3C．D．【分析】根据反比例函数图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k可得答案．解：∵点P（﹣3，1）在双曲线y＝上，∴k＝﹣3×1＝﹣3，故选：A．2．若四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，且AB：A′B′＝1：2，已知BC＝8，则B′C′的长是（）A．4B．16C．24D．64【分析】根据相似多边形的对应边的比相等列出比例式，把已知数据代入计算即可．解：∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，∴＝，∵AB：A′B′＝1：2，BC＝8，∴＝，解得：B′C′＝16，故选：B．3．若，则＝（）A．0B．1C．D．2【分析】设＝＝＝k，得出x＝2k，y＝3k，z＝4k，再代入要求的式子进行计算即可得出答案．解：设＝＝＝k，则x＝2k，y＝3k，z＝4k，所以＝＝0．故选：A．4．若菱形ABCD的边长为2，其中∠ABC＝60°，则菱形ABCD的面积为（）A．4B．C．2D．【分析】过点A作AE⊥BC于E，由含30°角的直角三角形的性质得BE＝1，再求出AE的长，然后由菱形的面积公式即可得解．解：如图，过点A作AE⊥BC于E，则∠AEB＝90°，∵菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，∴∠BAE＝90°﹣60°＝30°，∴BE＝AB＝1，∴AE＝BE＝，∴菱形的面积＝BC×AE＝2×＝2．故选：D．5．一元二次方程x2﹣2x+m＝0总有实数根，则m应满足的条件是（）A．m＞1B．m＝1C．m＜1D．m≤1【分析】根据根的判别式，令△≥0，建立关于m的不等式，解答即可．解：∵方程x2﹣2x+m＝0总有实数根，∴△≥0，即4﹣4m≥0，∴﹣4m≥﹣4，∴m≤1．故选：D．6．某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（）A．50（1+x2）＝196B．50+50（1+x2）＝196C．50+50（1+x）+50（1+x）2＝196D．50+50（1+x）+50（1+2x）＝196【分析】主要考查增长率问题，一般增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），如果该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么可以用x分别表示八、九月份的产量，然后根据题意可得出方程．解：依题意得八、九月份的产量为50（1+x）、50（1+x）2，∴50+50（1+x）+50（1+x）2＝196．故选：C．7．关于反比例函数y＝的图象，下列说法正确的是（）A．图象经过点（1，1）B．两个分支分布在第二、四象限C．两个分支关于x轴成轴对称D．当x＜0时，y随x的增大而减小【分析】根据反比例函数的性质，k＝3＞0，函数位于一、三象限，在每一象限y随x的增大而减小．解：A、把点（1，1）代入反比例函数y＝得3≠1不成立，故A选项错误；B、由k＝3＞0知，它的图象在第一、三象限，故B选项错误；C、图象的两个分支关于y＝x对称，故C选项错误；D、当x＜0时，y随x的增大而减小，故D选项正确．故选：D．8．如图，双曲线y＝与直线y＝kx+b交于点M、N，并且点M的坐标为（1，3），点N的纵坐标为﹣1．根据图象信息可得关于x的方程＝kx+b的解为（）A．﹣3，1B．﹣3，3C．﹣1，1D．﹣1，3【分析】首先把M点代入y＝中，求出反比例函数解析式，再利用反比例函数解析式求出N点坐标，求关于x的方程＝kx+b的解就是看一次函数与反比例函数图象交点横坐标就是x的值．解：∵M（1，3）在反比例函数图象上，∴m＝1×3＝3，∴反比例函数解析式为：y＝，∵N也在反比例函数图象上，点N的纵坐标为﹣1．∴x＝﹣3，∴点N（﹣3，﹣1），∴关于x的方程＝kx+b的解为：﹣3，1．故选：A．9．下列说法中不正确的是（）A．四边相等的四边形是菱形B．对角线垂直的平行四边形是菱形C．菱形的对角线互相垂直且相等D．菱形的邻边相等【分析】由菱形的判定与性质即可得出A、B、D正确，C不正确．解：A．四边相等的四边形是菱形；正确；B．对角线垂直的平行四边形是菱形；正确；C．∵菱形的对角线互相垂直且平分，∴选项C不正确；D．菱形的邻边相等；正确；故选：C．10．正方形ABCD在直角坐标系中的位置如图表示，将正方形ABCD绕点A顺时针方向旋转180°后，C点的坐标是（）A．（2，0）B．（3，0）C．（2，﹣1）D．（2，1）【分析】正方形ABCD绕点A顺时针方向旋转180°后，C点的对应点与C一定关于A对称，A是对称点连线的中点，据此即可求解．解：AC＝2，则正方形ABCD绕点A顺时针方向旋转180°后C的对应点设是C′，则AC′＝AC＝2，则OC′＝3，故C′的坐标是（3，0）．故选：B．二、填空题（每题3分，共18分）11．方程2x2﹣2x＝0的根为x1＝0，x2＝1．【分析】利用因式分解法解方程．解：2x（x﹣1）＝0，2x＝0或x﹣1＝0，所以x1＝0，x2＝1．故答案为x1＝0，x2＝1．12．若矩形ABCD的两邻边长分别为一元二次方程x2﹣7x+12＝0的两个实数根，则矩形ABCD的对角线长为5．【分析】首先解方程求得方程的两个根，即可求得矩形的两边长，然后利用勾股定理即可求得对角线长．解：方程x2﹣7x+12＝0，即（x﹣3）（x﹣4）＝0，则x﹣3＝0，x﹣4＝0，解得：x1＝3，x2＝4．则矩形ABCD的对角线长是：＝5．故答案是：5．13．如图，在△ABC中，DE∥BC，＝，△ADE的面积是8，则△ABC的面积为18．【分析】根据相似三角形的判定，可得△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质，可得答案．【解答】解；∵在△ABC中，DE∥BC，∴△ADE∽△ABC．∵＝，∴＝（）2＝，，∴S△ABC＝18，故答案为：18．14．已知线段AB＝2，点C为线段AB的黄金分割点，则AC的长度为﹣1或3﹣．【分析】分两种情况讨论：当AC＞BC，根据黄金分割的定义得到AC＝AB＝﹣1；当AC＜BC，则BC＝AB＝﹣1，然后由AC＝AB﹣BC进行计算即可．解：∵线段AB＝2，点C是线段AB的黄金分割点，∴当AC＞BC时，AC＝AB＝﹣1；当AC＜BC时，BC＝AB＝﹣1，∴AC＝AB﹣BC＝2﹣（﹣1）＝3﹣；综上所述，AC的长度为﹣1或3﹣，故答案为：﹣1或3﹣．15．如图，正方形ABOC的边长为2，反比例函数y＝过点A，则k的值是﹣4．【分析】因为过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得正方形的面积S是个定值，即S＝|k|．解：根据题意，知|k|＝22＝4，k＝±4，又∵k＜0，∴k＝﹣4．故答案为：﹣4．16．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC＝16，BD＝12，过点O作OH⊥AB，垂足为H，则点O到边AB的距离OH＝．【分析】由菱形的性质得BO＝BD＝6，AO＝AC＝8，AC⊥BD，再由勾股定理得AB＝10，然后由三角形面积求解即可．解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝16，BD＝12，∴BO＝BD＝6，AO＝AC＝8，AC⊥BD，∴∠AOB＝90°，∴AB＝＝＝10，∵OH⊥AB，∴S△AOB＝AO•BO＝AB•OH，∴OH＝＝，故答案为：．三、解答题17．解方程：（1）2x2﹣4x﹣5＝0；（2）（x﹣2）2＝（2x+3）2．【分析】（1）利用求根公式法解方程；（2）先移项得到（x﹣2）2﹣（2x+3）2＝0，然后利用因式分解法解方程．解：（1）∵Δ＝（﹣4）2﹣4×2×（﹣5）＝56＞0，∴x＝＝，∴x1＝，x2＝；（2）（x﹣2）2﹣（2x+3）2＝0，（x﹣2+2x+3）（x﹣2﹣2x﹣3）＝0，x﹣2+2x+3＝0或x﹣2﹣2x﹣3＝0，所以x1＝﹣，x2＝﹣5．18．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝10cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动．点Q到达点C后，点P、Q停止运动．设P、Q从点A、B同时出发，经过多少秒后，△PBQ的面积是10cm2？【分析】可设经过x秒后，△PBQ的面积是10cm2，根据三角形面积公式建立等量关系，列出方程求解即可．解：设x秒钟后，△PBQ的面积等于10cm2，由题意可得：4x（6﹣x）÷2＝10，解得x1＝1，x2＝5（不合题意舍去）．答：经过1秒钟后，△PBQ的面积等于10cm2．19．如图，在▱ABCD中，点E在边BC上，点F在边AD的延长线上，且DF＝BE，EF与CD交于点G．（1）求证：BD∥EF；（2）若＝，BE＝4，求EC的长．【分析】（1）根据平行四边的判定与性质，可得答案；（2）根据相似三角形的判定与性质，可得答案．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC．∵DF＝BE，∴四边形BEFD是平行四边形，∴BD∥EF；（2）∵四边形BEFD是平行四边形，∴DF＝BE＝4．∵DF∥EC，∴△DFG∽CEG，∴＝，∴CE＝＝4×＝6．20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，且AE∥CD，CE∥AB．（1）证明：四边形ADCE是菱形；（2）若∠B＝60°，BC＝6，求菱形ADCE的高．（计算结果保留根号）【分析】（1）先证明四边形ADCE是平行四边形，再证出一组邻边相等，即可得出结论；（2）过点D作DF⊥CE，垂足为点F；先证明△BCD是等边三角形，得出∠BDC＝∠BCD＝60°，CD＝BC＝6，再由平行线的性质得出∠DCE＝∠BDC＝60°，在Rt△CDF中，由三角函数求出DF即可．【解答】（1）证明：∵AE∥CD，CE∥AB，∴四边形ADCE是平行四边形，又∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，∴CD＝AB＝BD＝AD，∴平行四边形ADCE是菱形；（2）解：过点D作DF⊥CE，垂足为点F，如图所示：DF即为菱形ADCE的高，∵∠B＝60°，CD＝BD，∴△BCD是等边三角形，∴∠BDC＝∠BCD＝60°，CD＝BC＝6，∵CE∥AB，∴∠DCE＝∠BDC＝60°，又∵CD＝BC＝6，∴在Rt△CDF中，DF＝CDsin60°＝6×＝3．21．小丽为校合唱队购买某种服装时，商店经理给出了如下优惠条件：如果一次性购买不超过10件，单价为80元；如果一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，但单价不得低于50元．按此优惠条件，小丽一次性购买这种服装付了1200元．请问她购买了多少件这种服装？【分析】根据一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，表示出每件服装的单价，进而得出等式方程求出即可．解：设购买了x件这种服装，根据题意得出：[80﹣2（x﹣10）]x＝1200，解得：x1＝20，x2＝30，当x＝30时，80﹣2（30﹣10）＝40（元）＜50不合题意舍去；答：她购买了20件这种服装．22．如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝5，D是AB上一点，BD＝2，E是BC上一动点，连接DE，作∠DEF＝∠B，射线EF交线段AC于F．（1）求证：△DBE∽△ECF；（2）当F是线段AC中点时，求线段BE的长；【分析】（1）根据等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，可以证出∠BED＝∠CFE，从而证出三角形相似，（2）利用相似三角形的对应边成比例，设未知数列方程求解即可．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，又∵∠B＝∠DEF，∠BED+∠DEF＝∠C+∠CFE，∴∠BED＝∠CFE，∴△DBE∽△ECF；（2）解：∵F是线段AC中点，AC＝6，∴AF＝FC＝3，∵△DBE∽△ECF，∴＝，设BE＝x，则EC＝5﹣x，有＝，解得x＝3或x＝2，经检验x＝3和x＝2都是原方程的根，因此BE的长为2或3．23．如图，已知反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（4，2），过A作AC⊥y轴于点C．点B为反比例函数图象上的一动点，过点B作BD⊥x轴于点D，连接AD．直线BC与x轴的负半轴