线性经济模型简介

第六章线性经济模型简介§6.1投入产出数学模型§6.1.1投入产出表•经济系统各部门之间的投入产出关系可以用投入产出表来描述。•投入产出表分为实物型表和价值型表两种类型。(1)实物型表采用实物计量单位编制，其特点是经济意义明确，适合于实际工作的需要；(2)价值型表采用货币计量单位编制，其特点是单位统一，适合于对经济系统进行全面的分析研究。一、投入产出表的结构引例设某个地区的经济系统划分为工业、农业、其他产业三个部门。上一年度三个部门的生产与消耗情况如表6-1所示。消耗部门最终产品总产品工业农业其他生产部门工业19610270192560农业846842146340其他1123428106280净产值168136140总产值560340280表6－1生产与消耗情况表案例6.1案例6.3产出部门间流量投入消耗部门最终产品总产品12┄合计合计消费积累┄合计生产部门1┄2┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄合计┄净产值劳动报酬┄纯收入┄合计┄总产值┄11x21x1nxn1iix1v1m1z1x12x22x2nx2iix2v2m2z2x1nx2nxnnxinixnvnmnznx1jjx2jjxnjjxijijxjjvjjmjjzjjx1y2ynyiiy1x2xnxiix表6－2价值型投入产出表•一般经济系统的价值型投入产出表的结构(表6-2)二、投入产出数学模型表6-2中每一行可建立一个等式，反映一个部门的总产品分配情况。个部门的产品分配情况构成线性方程组1111211221222212nnnnnnnnxxxxyxxxxyxxxxyLLLLLLLLL(6.1)或表示为1niijijxxy(1,2,,)inL(6.1’)此方程组称为产品分配方程组，简称为产品方程组。•表6－2中消耗部门的列，也可构成个等式，反映这些部门的总产值构成情况。表示为1112111212222212nnnnnnnnxxxxzxxxxzxxxxzLLLLLLLLL(6.2)或表示为1(1,2,,)njijjixxzjnL(6.2’)此方程组称为产值构成方程组，简称为产值方程组。•经济系统的产品方程组(6.1)与产值方程组(6.2)之间存在如下关系：(1)由于某一个部门的总产品价值就是该部门的总产值，故有11(1,2,)nnrjrirrjixyxzrnL但是，一个部门在生产过程中所提供给其他部门的产品价值与该部门所消耗的其他部门的产品价值通常并不相等，因而11(1,2,)nnrjirjixxrnL于是(1,2,)rryzrnL这表明某一个部门的最终产品价值一般并不等于该部门的新创造价值。(2)由于整个经济系统的总产品价值就是该系统的总产值，故有因而1111()()nnnnijiijjijjixyxz111111nnnnnnijiijjijijijxyxz由于1111nnnnijijijjixx于是11nniiijyz这表明整个经济系统的最终产品价值等于该系统的新创造价值。§6.1.2利用直接消耗系数表示的投入产出数学模型一、直接消耗系数的概念计划期内第j部门生产的总产品价值jx生产过程中直接消耗第i部门的产品价值ijx第j部门平均生产一个单位价值产品直接消耗第i部门的产品价值ijjxx短期内相对稳定.反映了部门的生产技术水平.定义6.1经济系统第j部门生产单位价值产品所直接消耗第i部门的产品价值量，称为第j部门对第i部门的直接消耗系数，记作(,1,2,,)ijijjxaijnxL(6.3)经济系统n个部门相互之间的直接消耗系数构成的n阶方阵，称为直接消耗系数矩阵，记作111212122212nnnnnnaaaaaaAaaaLLLLLLL(6.4)只需将投入产出表中的各部门间流量分别除以同列最后一行的总产值，即可得到直接消耗系数矩阵。案例6.1求引例所示经济系统的直接消耗系数矩阵。解：根据表6.1中的各列部门间流量及总产值数据，可求得该系统的直接消耗系数矩阵为196102705603402800.350.30.258468420.150.20.155603402800.20.10.11123428560340280A(6.5)二、直接消耗系数的性质(3)设A为经济系统的直接消耗系数矩阵，I为同阶的单位矩阵，则(I—A)是可逆矩阵，且01(,1,2,,)ijaijnL11(1,2,,)nijiajnL12()rIAIAAALL(6.6)(1)(2)三、利用直接消耗系数表示的投入产出数学模型1．产品分配方程组根据直接消耗系数的定义（6.3）可以得到关系式(,1,2,,)ijijjxaxijnL将关系式(6.7)代入产品分配平衡方程组(6.1)，可得1111122112211222221122nnnnnnnnnnnxaxaxaxyxaxaxaxyxaxaxaxy(6.8)(6.7)或表示为1(1,2,,)niijjijxaxyin(6.8‘)如果将整个经济系统各部门的总产品和最终产品分别记成向量形式1122nnxyxyxyxyMM则可得用直接消耗系数矩阵A，将产品分配方程组(6.8)表示为矩阵形式xAxy(6.8‘’)其中x和y分别称为经济系统的总产品向量和最终产品向量。2．产值构成方程组将关系式(6.7)代入产值构成平衡方程组(6.2)，可得1111211111212222222212nnnnnnnnnnnxaxaxaxzxaxaxaxzxaxaxaxzLLLLLLLLLLLLL(6.9)(6.9‘)1(1,2,,)njijjjixaxzjnL或产品分配方程组(6.8)反映了经济系统各部门的总产品与最终产品之间的关系.产值构成平衡方程组(6.9)反映了经济系统各部门的总产值与净产值之间的关系。案例6.2建立引例所示经济系统的投入产出数学模型。解：在例6.1中已求得该系统的直接消耗系数矩阵为0.350.30.250.150.20.150.20.10.1A据此建立该系统的投入产出数学模型如下：产品分配方程组为1123121232312330.350.30.250.150.20.150.20.10.1xxxxyxxxxyxxxxy(6.10)其中和分别表示该系统工业、农业、其他产业三个部门的总产品和最终产品。123,,xxx123,,yyy产值构成平衡方程组为1111122222333330.350.150.20.30.20.10.250.150.1xxxxzxxxxzxxxxz(6.11)其中和分别表示该系统工业、农业、其他产业三个部门的总产值和净产值。123,,xxx123,,zzz四、模型的应用投入产出数学模型反应了近期的生产技术水平，利用该模型可对近期的经济量作出预测。设A是经济系统的直接消耗系数矩阵;12[,,,]TnxxxxL12[,,,]TnyyyyL(1)由总产品向量，根据(6.8'')可求得系统的最终产品向量()yIAx(6.12)(6.13)(2)由最终产品向量，根据定理6.2可求得系统的总产品向量1()xIAy分别表示经济系统的总产品向量和最终产品向量。(3)由第部门的总产值，根据(6.9’)可求得该部门的净产值jjx1(1)(1,2,,)njijjizaxjnL(6.14)(4)由第部门的净产值，由(6.14)可求得该部门的总产值jjz1(1,2,,)1jjnijizxjnaL(6.15)案例6.3根据案例6.2中的直接消耗系数，并假设工业、农业及其它部门的总产品分别为123560340280xxx解:已知三个部门总产品，根据(6.12)式有()yIAx即1230.650.30.255601920.1250.80.153401460.20.10.9280106yyy所以，三个部门的最终产品分别为123192146106yyy求这三个部门的最终产品.案例6.4由案例6.3中的最终产品，求各部门的总产品及部门间流量。解:已知三个部门总产品，根据(6.13)式有1()xIAy即1230.7050.2950.24519256010.1650.5350.1351463400.3650.1750.1250.475106280xxx所以，三个部门的总产品(总产值)分别为123560340280xxx再用总产品分别乘直接消耗系数矩阵中对应列的元素，即可得到反映该系统部门间流量的矩阵5600.353400.32800.255600.153400.22800.155600.23400.12800.1196102708468421123428工业农业其他工业农业其他只要经济系统各个部门的生产技术条件没有变化，就可将调查期的投入产出数学模型直接应用于计划期的经济工作。但某些部门可能改进更新技术，降低消耗，就需要重新测定这些部门的直接消耗系数，并对报告期的投入产出数学模型作出相应的修正，然后再将其应用于计划期的经济工作.§6.1.3完全消耗系数一、完全消耗系数的概念定义6.2经济系统第j部门生产单位价值产品所完全消耗第i部门的产品价值量，称为第j部门对第i部门的完全消耗系数，记作(,1,2,,)ijcijnL由经济系统所有个部门相互之间的完全消耗系数构成的阶方阵，称为经济系统的完全消耗系数矩阵，记作111212122212nnnnnnccccccCcccLLLLLLL(6.16)•完全消耗系数矩阵的求法根据直接消耗系数与完全消耗系数的定义，经济系统第j部门生产单位价值产品时，对第i部门产品的消耗情况如下：(1)第j部门生产单位价值产品完全消耗第i部门产品价值量为；ijc(2)第j部门生产单位价值产品直接消耗第i部门产品价值量为；ija(3)第j部门直接消耗第r部门的产品价值量为，而第r部门为生产这价值量为的产品所完全消耗第i部门的产品价值量为。即第j部门通过第r部门间接消耗第i部门的全部产品价值量为rjarjairrjca(1,2,,)irrjcarnL完全消耗就是直接消耗与所有的间接消耗之和，故1122ijijijijinnjcacacacaL将上面关系式用矩阵形式表示为CACA即()CIAA其中A和C分别是经济系统的直接消耗系数矩阵和完全消耗系数矩阵。由(6.17)即可由直接消耗系数矩阵得到完全消耗系数矩阵(6.17)111()[()]()()CAIAIIAIAIAI(6.18)1(,1,2,,)nijirrjracaijnL案例6.5求引例所示经济系统的完全消耗系数矩阵。解：根据(6.17)，关于该系统有10.7050.2950.2451()0.1650.5350.1350.3650.1750.1250.475IA由此可求得该系统的完全消耗系数矩阵为10.340.2950.2451()0.1650.170.1350.3650.1750.1250.11CIAI(6.19)111()[()]()()CAIAIIAIAIAI