数列的概念与简单表示法

第六章数列§6.1数列的概念与简单表示法考点梳理1．数列的概念(1)定义：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的________．数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做__________)，排在第n位的数称为这个数列的第n项．所以，数列的一般形式可以写成__________，其中an是数列的第n项，叫做数列的通项．常把一般形式的数列简记作{an}．(2)通项公式：如果数列{an}的__________与序号__________之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．(3)从函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1，2，3，…，n})的函数(离散的)，当自变量从小到大依次取值时所对应的一列________．(4)数列的递推公式：如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项__________与它的前一项__________(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．(5)数列的表示方法有__________、__________、__________、__________.2．数列的分类(1)数列按项数是有限还是无限来分，分为__________、__________.(2)按项的增减规律分为__________、__________、__________和__________．递增数列⇔an＋1______an；递减数列⇔an＋1_____an；常数列⇔an＋1______an.递增数列与递减数列统称为__________．3．数列前n项和Sn与an的关系已知Sn，则an＝（n＝1）_________，（n≥2）_________.自查自纠：1．(1)项首项a1，a2，a3，…，an，…(2)第n项n(3)函数值(4)anan－1(5)通项公式法(解析式法)列表法图象法递推公式法2．(1)有穷数列无穷数列(2)递增数列递减数列摆动数列常数列＞＜＝单调数列3．S1Sn－Sn－1典型例题讲练类型一数列的通项公式例题1根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式：(1)－1，7，－13，19，…；(2)23，415，635，863，1099，…；(3)12，2，92，8，252，…；(4)5，55，555，5555，….解：(1)偶数项为正，奇数项为负，故通项公式正负性可用(－1)n调节，观察各项的绝对值，后一项的绝对值总比它前一项的绝对值大6，故数列的一个通项公式为an＝(－1)n(6n－5)．(2)这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解为1×3，3×5，5×7，7×9，9×11，…，每一项都是两个相邻奇数的乘积．故数列的一个通项公式为an＝2n（2n－1）（2n＋1）.(3)数列的各项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观察．即12，42，92，162，252，…，故数列的一个通项公式为an＝n22.(4)将原数列改写为59×9，59×99，59×999，…，易知数列9，99，999，…的通项为10n－1，故数列的一个通项公式为an＝59(10n－1)．变式1写出下列数列的一个通项公式：(1)－1，12，－13，14，－15，…；(2)3，5，9，17，33，…；(3)23，－1，107，－179，2611，….(4)1，2，2，4，3，8，4，16，….解：(1)an＝(－1)n·1n；(2)an＝2n＋1；(3)由于－1＝－55，故分母为3，5，7，9，11，…，即{2n＋1}，分子为2，5，10，17，26，…，即{n2＋1}．符号看作各项依次乘1，－1，1，－1，…，即{(－1)n＋1}，故an＝(－1)n＋1·n2＋12n＋1.(4)观察数列{an}可知，奇数项成等差数列，偶数项成等比数列，∴an＝n＋12（n为奇数），2n2（n为偶数）.类型二由前n项和公式求通项公式例题2(1)若数列{an}的前n项和Sn＝n2－10n，则此数列的通项公式为an＝______________．(2)若数列{an}的前n项和Sn＝2n＋1，则此数列的通项公式为an＝．解：(1)当n＝1时，a1＝S1＝1－10＝－9；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－10n－[(n－1)2－10(n－1)]＝2n－11.当n＝1时，2×1－11＝－9＝a1.∴an＝2n－11.故填2n－11.(2)当n＝1时，a1＝S1＝21＋1＝3；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n＋1)－(2n－1＋1)＝2n－2n－1＝2n－1.综上有an＝3（n＝1），2n－1（n≥2）.故填3（n＝1），2n－1（n≥2）.变式2已知下列数列{an}的前n项和Sn，分别求它们的通项公式an.(1)Sn＝2n2－3n；(2)Sn＝3n＋b.解：(1)a1＝S1＝2－3＝－1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，a1也适合此等式，∴an＝4n－5.(2)a1＝S1＝3＋b，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋b)－(3n－1＋b)＝2·3n－1.当b＝－1时，a1适合此等式．当b≠－1时，a1不适合此等式．∴当b＝－1时，an＝2·3n－1；当b≠－1时，an＝3＋b，n＝1，2·3n－1，n≥2.类型三由递推公式求通项公式例题3写出下面各数列{an}的通项公式．(1)a1＝2，an＋1＝an＋n＋1；(2)a1＝1，前n项和Sn＝n＋23an；(3)a1＝1，an＋1＝3an＋2.解：(1)由题意得，当n≥2时，an－an－1＝n，∴an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝2＋(2＋3＋…＋n)＝2＋（n－1）（2＋n）2＝n（n＋1）2＋1.又a1＝2＝1×（1＋1）2＋1，适合上式，因此an＝n（n＋1）2＋1.(2)由题设知，a1＝1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n＋23an－n＋13an－1.∴anan－1＝n＋1n－1.∴anan－1＝n＋1n－1，…，a4a3＝53，a3a2＝42，a2a1＝3.以上n－1个式子的等号两端分别相乘，得到ana1＝n（n＋1）2.又∵a1＝1，∴an＝n（n＋1）2.(3)解法一：(累乘法)an＋1＝3an＋2，得an＋1＋1＝3(an＋1)，即an＋1＋1an＋1＝3，∴a2＋1a1＋1＝3，a3＋1a2＋1＝3，a4＋1a3＋1＝3，…，an＋1＋1an＋1＝3.将这些等式两边分别相乘得an＋1＋1a1＋1＝3n.∵a1＝1，∴an＋1＋11＋1＝3n，即an＋1＝2×3n－1(n≥1)，∴an＝2×3n－1－1(n≥2)，又a1＝1也适合上式，故数列{an}的一个通项公式为an＝2×3n－1－1.解法二：(迭代法)an＋1＝3an＋2，即an＋1＋1＝3(an＋1)＝32(an－1＋1)＝33(an－2＋1)＝…＝3n(a1＋1)＝2×3n(n≥1)，∴an＝2×3n－1－1(n≥2)，又a1＝1也满足上式，故数列{an}的一个通项公式为an＝2×3n－1－1.变式3写出下面各递推公式表示的数列{an}的通项公式．(1)a1＝2，an＋1＝an＋1n（n＋1）；(2)a1＝1，an＋1＝2nan；(3)a1＝1，an＋1＝2an＋1.解：(1)∵当n≥2时，an－an－1＝1n（n－1）＝1n－1－1n，∴当n≥2时，an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝1n－1－1n＋1n－2－1n－1＋…＋12－13＋1－12＋2＝3－1n.当n＝1时，适合．故an＝3－1n.(2)∵an＋1an＝2n，∴a2a1＝21，a3a2＝22，…，anan－1＝2n－1，将这n－1个等式叠乘，得ana1＝21＋2＋…＋(n－1)＝2n（n－1）2，∴an＝2n（n－1）2.当n＝1时，适合．故an＝2n（n－1）2.(3)由题意知an＋1＋1＝2(an＋1)，∴数列{an＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴an＋1＝2n，∴an＝2n－1.类型四数列通项的性质例题4已知数列{an}，且an＝(n＋1)1011n(n∈N*)．求数列{an}的最大项．解：因为an＝(n＋1)1011n是积幂形式的式子且an＞0，所以可用作商法比较an与an－1的大小．解：令anan－1≥1(n≥2)，即（n＋1）1011nn·1011n－1≥1，整理得n＋1n≥1110，解得n≤10.令anan＋1≥1，即（n＋1）1011n（n＋2）1011n＋1≥1，整理得n＋1n＋2≥1011，解得n≥9.∴从第1项到第9项递增，从第10项起递减．故a9＝a10＝1010119最大．变式4数列{an}的通项an＝nn2＋90，则数列{an}中的最大项是()A．310B．19C.119D.1060解：易得an＝1n＋90n，运用基本不等式得，1n＋90n≤1290，由于n∈N*，不难发现当n＝9或10时，an＝119最大．故选C.方法规律总结1．已知数列的前几项，求数列的通项公式，应从以下几方面考虑：(1)如果符号正负相间，则符号可用(－1)n或(－1)n＋1来调节．(2)分式形式的数列，分子和分母分别找通项，并充分借助分子和分母的关系来解决．(3)对于比较复杂的通项公式，要借助于等差数列、等比数列和其他方法来解决．2．an＝S1（n＝1），Sn－Sn－1（n≥2），注意an＝Sn－Sn－1的条件是n≥2，还须验证a1是否符合an(n≥2)，是则合并，否则写成分段形式．3．已知递推关系求通项掌握先由a1和递推关系求出前几项，再归纳、猜想an的方法，以及“累加法”“累乘法”等．(1)已知a1且an－an－1＝f(n)，可以用“累加法”得：an＝a1＋f(2)＋f(3)＋…＋f(n－1)＋f(n)．(2)已知a1且anan－1＝f(n)，可以用“累乘法”得：an＝a1·f(2)·f(3)·…·f(n－1)·f(n)．注：以上两式均要求{f(n)}易求和或积．4．数列的简单性质(1)单调性：若an＋1＞an，则{an}为递增数列；若an＋1＜an，则{an}为递减数列．(2)周期性：若an＋k＝an(n∈N*，k为非零正整数)，则{an}为周期数列，k为{an}的一个周期．(3)最大值与最小值：若an≥an＋1，an≥an－1，则an最大；若an≤an＋1，an≤an－1，则an最小．课后练习1．1，2，7，10，13，…中，219是这个数列的()A．第16项B．第24项C．第26项D．第28项解：观察a1＝1＝1，a2＝2＝4，a3＝7，a4＝10，a5＝13，…，所以an＝3n－2.令an＝3n－2＝219＝76，得n＝26.故选C.2．数列{an}的前n项积为n2，那么当n≥2时，an＝()A．2n－1B．n2C.（n＋1）2n2D.n2（n－1）2解：设数列{an}的前n项积为Tn，则Tn＝n2，当n≥2时，an＝TnTn－1＝n2（n－1）2.故选D.3．数列{an}满足an＋1＋an＝2n－3，若a1＝2，则a8－a4＝()A．7B．6C．5D．4解：依题意得(an＋2＋an＋1)－(an＋1＋an)＝[2(n＋1)－3]－(2n－3)，即an＋2－an＝2，∴a8－a4＝(a8－a6)＋(a6－a4)＝2＋2＝4.故选D.4．已知数列{an}的前n项和Sn＝2an－1，则满足ann≤2的正整数n的集合为()A．{1,2}B．{1,2,3,4}C．{1,2,3}D．{1,2,4}解：B5．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋lg1＋1n，则an的值为()A．2＋lgnB．2＋(n－1)lgnC．2＋nlgnD．