第二节 第3课时 难点专攻夺高分——函数性质的综合应用 课件

第3课时难点专攻夺高分——函数性质的综合应用题型一函数性质的交汇应用问题函数的奇偶性、周期性以及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题，其中奇偶性多与单调性相结合，而周期性常与抽象函数相结合，并以结合奇偶性求函数值为主．考法(一)单调性与奇偶性相结合[例1](2021·石家庄模拟)已知偶函数fx＋π2，当x∈－π2，π2时，f(x)＝x13＋sinx，设a＝f(1)，b＝f(2)，c＝f(3)，则()A．abcB．bcaC．cbaD．cab[解析]∵当x∈－π2，π2时，y＝sinx单调递增，y＝x13也为增函数，∴函数f(x)＝x13＋sinx也为增函数．∵函数fx＋π2为偶函数，∴f－x＋π2＝fx＋π2，f(x)的图象关于x＝π2对称，∴f(2)＝f(π－2)，f(3)＝f(π－3)，∵0π－31π－2π2，∴f(π－3)f(1)f(π－2)，即cab，故选D.[答案]D[方法技巧]函数单调性与奇偶性的综合常利用奇偶函数的图象的对称性，以及奇偶函数在关于原点对称的区间上的单调性求解．考法(二)奇偶性与周期性相结合[例2](1)(2021·扬州第一中学期末)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意的实数x，f(x－2)＝f(x＋2)，当x∈(0,2)时，f(x)＝－x2，则f132＝()A．－94B．－14C.14D.94(2)(2021·淮北模拟)定义在R上的函数f(x)为奇函数，f(1)＝1，又g(x)＝f(x＋2)也是奇函数，则f(2020)＝________.[解析](1)因为f(x－2)＝f(x＋2)，所以f(x)＝f(x＋4)，所以f(x)是周期为4的函数，所以f132＝f132－8＝f－32，又函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以f－32＝－f32＝－－322＝94，所以f132＝94.故选D.(2)∵g(x)＝f(x＋2)是奇函数，∴g(－x)＝f(－x＋2)＝－f(x＋2)．又∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，∴－f(x＋2)＝f(－x－2)，∴f(－x＋2)＝f(－x－2)＝f(－x＋2－4)，∴f(x)＝f(x－4)，∴函数f(x)是周期为4的周期函数．∴f(2020)＝f(4×505＋0)＝f(0)＝0.[答案](1)D(2)0[方法技巧]函数周期性与奇偶性的综合多是求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转换到已知函数解析式的定义域内求解．考法(三)单调性、奇偶性与周期性的综合[例3]定义在R上的奇函数f(x)满足fx＋32＝f(x)，当x∈0，12时，f(x)＝log12(1－x)，则f(x)在区间1，32内是()A．减函数且f(x)0B．减函数且f(x)0C．增函数且f(x)0D．增函数且f(x)0[解析]当x∈0，12时，由f(x)＝log12(1－x)可知，f(x)单调递增且f(x)0，又函数f(x)为奇函数，所以f(x)在区间－12，0上也单调递增，且f(x)0.由fx＋32＝f(x)知，函数的周期为32，所以在区间1，32上，函数f(x)单调递增且f(x)0.[答案]D[方法技巧]对于函数性质结合的题目，函数的周期性有时需要通过函数的奇偶性得到，函数的奇偶性体现的是一种对称关系，而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律．因此在解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题．[针对训练]1．设e是自然对数的底数，函数f(x)是周期为4的奇函数，且当0x2时，f(x)＝－lnx，则e73f的值为()A.35B.34C.43D.53解析：因为函数以4为周期，所以f73＝f(73－4)＝f－53＝－f53＝ln53，所以e73f＝e5ln3＝53.故选D.答案：D2．已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f(x)的图象关于x＝1对称，当x∈[0,1]时，f(x)＝2x－1，则f(2020)＋f(2021)的值为()A．－2B．－1C．0D．1解析：∵f(x)的图象关于x＝1对称，∴f(2－x)＝f(x)．∵函数f(x)为(－∞，＋∞)上的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝f(2－x)＝－f(－x)，∴f(4－x)＝－f(2－x)＝f(－x)，∴周期T＝4.∵x∈[0,1]时，f(x)＝2x－1，∴f(1)＝21－1＝2－1＝1.又函数f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，∴f(0)＝0，∴f(2020)＋f(2021)＝f(0)＋f(1)＝0＋1＝1.答案：D3．定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝f(－x)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝2x－cosx，则下列结论正确的是()A．f20203f20192f(2018)B．f(2018)f20203f20192C．f(2018)f20192f20203D．f20192f20203f(2018)解析：∵f(x)是奇函数，∴f(x＋2)＝f(－x)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，∴f(x)的周期为4，∴f(2018)＝f(2＋4×504)＝f(2)＝f(0)，f20192＝f12，f20203＝f23，∵当x∈[0,1]时，f(x)＝2x－cosx单调递增，∴f(0)f12f23，∴f(2018)f20192f20203，故选C.答案：C题型二新定义问题所谓“新定义”函数，是相对于高中教材而言，指在高中教材中不曾出现过或尚未介绍的一类函数．函数新定义问题的一般形式是：由命题者先给出一个新的概念、新的运算法则，或者给出一个抽象函数的性质等，然后让学生按照这种“新定义”去解决相关的问题．[典例]若两函数具有相同的定义、单调区间、奇偶性、值域，则称这两函数为“亲密函数”．下列三个函数y＝2|x|－1，y＝x21＋x2，y＝x22＋cosx－1中，与函数f(x)＝x4不是亲密函数的个数为()A．0B．1C．2D．3[解析]易知幂函数f(x)＝x4的定义域为R，是偶函数，在(－∞，0)上，f(x)单调递减，在(0，＋∞)上，f(x)单调递增，y≥0.三个函数的定义域都为R且都为偶函数，单调性也与y＝x4保持一致，但是y＝x21＋x2＝1－11＋x2的最大值接近1，y＝2|x|－1≥0，y＝x22＋cosx－1≥0，故选B.[答案]B[方法技巧]深刻理解题目中新函数的定义、新函数所具有的性质或满足的条件，将定义、性质等与所求之间建立联系是解题的关键．如果函数的某一性质(一般是等式、不等式)对某些数值恒成立，那么通过合理赋值可以得到特殊函数值甚至是函数解析式，进而解决问题．[针对训练](多选)在实数集R上定义一种运算“★”，对于任意给定的a，b∈R，a★b为唯一确定的实数，且具有下列三条性质：(1)a★b＝b★a；(2)a★0＝a；(3)(a★b)★c＝c★(ab)＋(a★c)＋(c★b)－2c.关于函数f(x)＝x★1x的说法正确的是()A．函数f(x)在(0，＋∞)上的最小值为3B．函数f(x)为偶函数C．函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)D．函数f(x)不是周期函数解析：对于新运算“★”的性质(3)，令c＝0，则(a★b)★0＝0★(ab)＋(a★0)＋(0★b)＝ab＋a＋b，即a★b＝ab＋a＋b，∴f(x)＝x★1x＝1＋x＋1x.当x0时，f(x)＝1＋x＋1x≥1＋2x·1x＝3，当且仅当x＝1x，即x＝1时取等号，∴函数f(x)在(0，＋∞)上的最小值为3，故A正确；函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，∵f(1)＝1＋1＋1＝3，f(－1)＝1－1－1＝－1，∴f(－1)≠－f(1)且f(－1)≠f(1)，∴函数f(x)为非奇非偶函数，故B错误；根据函数的单调性，知函数f(x)＝1＋x＋1x的单调递增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)，故C正确；由C知，函数f(x)＝1＋x＋1x不是周期函数，故D正确．答案：ACD“课时跟踪检测”见“课时跟踪检测（七）”(单击进入电子文档)谢谢观看