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专题十一《立体几何》讲义11.1空间几何体知识梳理.空间几何体1．直观图(1)画法：常用斜二测画法．(2)规则：①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．1.简单几何体1多面体的结构特征名称棱柱棱锥棱台图形底面互相平行且相等多边形互相平行且相似侧棱互相平行且相等相交于一点，但不一定相等延长线交于一点侧面形状平行四边形三角形梯形(2)旋转体的结构特征名称圆柱圆锥圆台球▲图形母线互相平行且相等，垂直于底面长度相等且相交于一点延长线交于一点轴截面全等的矩形全等的等腰三角形全等的等腰梯形圆侧面展开图矩形扇形扇环4．空间几何体的表面积与体积公式名称几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积＝S侧＋2S底V＝Sh锥体(棱锥和圆锥)S表面积＝S侧＋S底V＝13Sh台体(棱台和圆台)S表面积＝S侧＋S上＋S下V＝13(S上＋S下＋S上S下)h球S＝4πR2V＝43πR3题型一.正方体的展开与折叠问题1．如图代表未折叠正方体的展开图，将其折叠起来，变成正方体后的图形是（）A．B．C．D．【解答】解：将其折叠起来，变成正方体后的图形中，相邻的平面中三条线段是平行线，排除A，C；相邻平面只有两个是空白面，排除D；故选：B．2．如图是表示一个正方体表面的一种平面展开图，图中的四条线段AB、CD、EF和GH在原正方体中不相交的线段的对数为（）A．2B．3C．4D．5【解答】解：平面展开图还原成正方体：G点与C点重合，B点与F重合．观察正方体中的线段不难发现：GH与EF，GH与AF，CD与AF，CD与EF均不相交．∴在正方体中不相交的线段有4对．故选：C．3．如图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中（）A．AE∥CDB．CH∥BEC．DG⊥BHD．BG⊥DE【解答】解：还原正方体直观图如图，可知AE与CD为异面直线，故选项A不正确；由EH∥=BC，可得CH∥BE，故选项B正确；正方形中易得DG⊥平面BCH，所以有DG⊥BH，故选项C正确；因为BG∥AH，且DE⊥AH，所以BG⊥DE，故选项D正确．故选：BCD．题型二.多面体表面最短距离问题1．如图，正三棱锥S﹣ABC中，∠BSC＝40°，SB＝2，一质点自点B出发，沿着三棱锥的侧面绕行一周回到点B的最短路线的长为（）A．2B．3C．2√3D．3√3【解答】解：将三棱锥S﹣ABC沿侧棱SB展开，其侧面展开图如图所示，由图中红色路线可得结论．根据余弦定理得，沿着三棱锥的侧面绕行一周回到点B的最短路线的长为：√4+4+2×2×2×12=2√3故选：C．2．如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为1cm，高为5cm，一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1点的最短路线的长为（）cm．A．12B．13C．√61D．15【解答】解：如图所示，把侧面展开两周可得对角线最短：AA1=√62+52=√61cm．故选：C．3．如图所示，已知在圆锥SO中，底面半径r＝1，母线长l＝4，M为母线SA上的一个点，且SM＝x，从点M拉一根绳子，围绕圆锥侧面转到点A，求绳子最短时，顶点到绳子的最短距离4𝑥√𝑥2+16（用x表示）．【解答】解：∵底面半径r＝1，母线长l＝4，∴侧面展开扇形的圆心角α＝90°因此，将圆锥侧面展开成一个扇形，从点M拉一绳子围绕圆锥侧面转到点A，最短距离为Rt△ASM中，斜边AM的长度∵SM＝x，SA＝4∴绳子的最短长度的平方f（x）＝AM2＝x2+42＝x2+16．绳子最短时，定点S到绳子的最短距离等于Rt△ASM的斜边上的高，设这个距离等于d，则d=𝑆𝑀⋅𝐴𝑆𝐴𝑀=4𝑥√𝑥2+16，故答案为4𝑥√𝑥2+16．题型三.截面问题1．如图，若Ω是长方体ABCD﹣A1B1C1D1被平面EFGH截去几何体EFGHB1C1后得到的几何体，其中E为线段A1B1上异于B1的点，F为线段BB1上异于B1的点，且EH∥A1D1，则下列结论中不正确的是（）A．EH∥FGB．EF∥HGC．Ω是棱柱D．Ω是棱台【解答】解：因为EH∥A1D1，A1D1∥B1C1，所以EH∥B1C1，又EH⊄平面BCC1B1，所以EH∥平面BCB1C1，又EH⊂平面EFGH，平面EFGH∩平面BCB1C1＝FG，所以EH∥FG，故EH∥FG∥B1C1，所以选项A、C正确，D错误；因为平面ABB1A1∩平面EFGH＝EF，平面CDD1C1∩平面EFGH＝GH，平面ABB1A1∥平面CDD1C1，所以EF∥GH，故B正确．故选：D．2．（2018·全国1）已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为（）A．3√34B．2√33C．3√24D．√32【解答】解：正方体的所有棱中，实际上是3组平行的棱，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，如图：所示的正六边形平行的平面，并且正六边形时，α截此正方体所得截面面积的最大，此时正六边形的边长√22，α截此正方体所得截面最大值为：6×√34×(√22)2=3√34．故选：A．3．已知正△ABC三个顶点都在半径为2的球面上，球心O到平面ABC的距离为1，点E是线段AB的中点，过点E作球O的截面，则截面面积的最小值是9𝜋4．【解答】解：设正△ABC的中心为O1，连结O1O、O1C、O1E、OE，∵O1是正△ABC的中心，A、B、C三点都在球面上，∴O1O⊥平面ABC，结合O1C⊂平面ABC，可得O1O⊥O1C，∵球的半径R＝2，球心O到平面ABC的距离为1，得O1O＝1，∴Rt△O1OC中，O1C=√𝑅2−𝑂𝑂12=√3．又∵E为AB的中点，∴正△ABC中，O1E=12O1C=√32．∴Rt△OO1E中，OE=√𝑂1𝐸2+𝑂𝑂12=√34+1=√72．∵过E作球O的截面，当截面与OE垂直时，截面圆的半径最小，∴当截面与OE垂直时，截面圆的面积有最小值．此时截面圆的半径r=√𝑅2−𝐸𝑂12=√22−(√72)2=32，可得截面面积为S＝πr2=9𝜋4．故答案为：9𝜋4．题型四.一般空间几何体的表面积与体积1．已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为（）A．12√2πB．12πC．8√2πD．10π【解答】解：设圆柱的底面直径为2R，则高为2R，圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，可得：4R2＝8，解得R=√2，则该圆柱的表面积为：𝜋⋅(√2)2×2+2√2𝜋×2√2=12π．故选：B．2．母线长为5的圆锥的侧面展开图的圆心角等于8𝜋5，则该圆锥的体积为（）A．16πB．8πC．16𝜋3D．8𝜋3【解答】解：母线长为5的圆锥的侧面展开图的圆心角等于8𝜋5，所以侧面展开图的弧长为：l＝5×8𝜋5=8π，由弧长＝底面周长，即8π＝2πr，r＝4，所以圆锥的高为h=√52−42=3，所以圆锥体积V=13×π×r2×h=13×π×42×3＝16π．故选：A．3．已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB互相垂直，SA与圆锥底面所成角为30°．若△SAB的面积为8，则该圆锥的体积为8π．【解答】解：圆锥的顶点为S，母线SA，SB互相垂直，△SAB的面积为8，可得：12𝑆𝐴2=8，解得SA＝4，SA与圆锥底面所成角为30°．可得圆锥的底面半径为：2√3，圆锥的高为：2，则该圆锥的体积为：V=13×𝜋×(2√3)2×2=8π．故答案为：8π．4．已知边长为√3的正三角形ABC三个顶点都在球O的表面上，且球心O到平面ABC的距离为该球半径的一半，则球O的表面积为16𝜋3．【解答】解：如图，设OO′⊥平面ABC，垂足是O′，设球半径为r，∵边长为√3的正三角形ABC三个顶点都在球O的表面上，且球心O到平面ABC的距离为该球半径的一半，∴AO′=23√3−34=1，OA＝r，OO′=12𝑟，∵OA2＝O′A2+OO′2，∴𝑟2=1+𝑟24，解得r2=43，∴球O的表面积S＝4πr2=16𝜋3．故答案为：16𝜋3．5．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的六个顶点都在半径为1的半球面上，AB＝AC，侧面BCC1B1是半球底面圆的内接正方形，则侧面ABB1A1的面积为（）A．2B．1C．√2D．√22【解答】解：球心在平面BCC1B1的中心O上，BC为截面圆的直径，∴∠BAC＝90°，底面外接圆的圆心N位于BC的中点，△A1B1C1的外心M在B1C1中点上，设正方形BCC1B1的边长为x，Rt△OMC1中，OM=𝑥2，𝑀𝐶1=𝑥2，OC1＝R＝1，∴(𝑥2)2+(𝑥2)2=1，即x=√2，则AB＝AC＝1，∴𝑆矩形𝐴𝐵𝐵1𝐴1=√2×1=√2故选：C．6．在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱底面的直径为40cm，母线长最短50cm，最长80cm，则斜截圆柱的侧面面积S＝2600πcm2．【解答】解：将相同的两个几何体，对接为圆柱，则圆柱的侧面展开，侧面展开图的面积S＝（50+80）×20π×2×12=2600πcm2．故答案为：2600π7．已知正四棱台的侧棱长为3cm，两底面边长分别为2cm和4cm，则该四棱台的体积为28√73cm3．【解答】解：正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1，O1，O是两底面的中心，∵A1C1＝2√2，AC＝4√2，∴O1O=√9−2=√7，∴V=13×√7×(4+16+8)=28√73cm3，故答案为：28√73cm3．题型五.三棱锥的表面积与体积1．（2019·全国3）学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型．如图，该模型为长方体ABCD﹣A1B1C1D1挖去四棱锥O﹣EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB＝BC＝6cm，AA1＝4cm.3D打印所用原料密度为0.9g/cm3．不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为118.8g．【解答】解：该模型为长方体ABCD﹣A1B1C1D1，挖去四棱锥O﹣EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H，分别为所在棱的中点，AB＝BC＝6cm，AA1＝4cm，∴该模型体积为：𝑉𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1−VO﹣EFGH＝6×6×4−13×(4×6−4×12×3×2)×3＝144﹣12＝132（cm3），∵3D打印所用原料密度为0.9g/cm3，不考虑打印损耗，∴制作该模型所需原料的质量为：132×0.9＝118.8（g）．故答案为：118.8．2．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF＝1，则四面体A﹣EFB的体积为（）A．√26B．√212C．√24D．√22【解答】解：∵EF＝1，∴△BEF的面积为定值12×EF×1=12，设AC∩AB＝O，∵AC⊥平面BDD1B1，∴AO为棱锥A﹣BEF的高，AO=√22∴VA﹣BEF=13×12×√22=√212．故选：B．3．如图，在正三棱锥A﹣BCD中，E、F分别是AB、BC的中点，EF⊥DE，且BC＝1，则正三棱锥A﹣BCD的体积是√224．【解答】解：∵E、F分别是AB、BC的中点，∴EF∥AC，又∵EF⊥DE，∴AC⊥DE，取BD的中点O，连接AO、CO，∵正三棱锥A﹣BCD，∴AO⊥BD，CO⊥BD，∴BD⊥平面AOC，又AC⊂平面AOC，∴AC⊥BD，又DE∩BD＝D，∴AC⊥平面ABD；∴AC⊥AB，设AC＝AB＝AD＝x，则x2+x2＝1⇒x=√22VC﹣ABD=13S△ABD•AC=16AB•AD•AC=√224．故答案是√2244．如图所示，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形，