第03讲 抛物线（练）（原卷版）

第03讲抛物线（练）一、单选题1．已知抛物线220ypxp的焦点为F，若抛物线上的点1,m与点F间的距离为3，则m（）.A．22B．4C．22或22D．4或4【答案】C【分析】结合抛物线的定义求得正确答案.【详解】抛物线220ypxp开口向左，依题意，抛物线上的点1,m与点F间的距离为3，所以13,42pp，抛物线方程为28yx，令=1x，得28m，解得22m，故选：C2．已知函数抛物线2:4Cxy的焦点为F，准线为l，点P在抛物线C上，直线PF交x轴于点Q，若3PFFQ，则点P到焦点F的距离为（）A．5B．3C．4D．6【答案】A【分析】过点P作x轴的垂线，可知OFPN∥，由此结合3PFFQ可得||||1||||4FQFOPQPN，求得||4PN，即可求得答案.【详解】如图，不妨设点P在第一象限，过点P作x轴的垂线，垂足为N，则OFPN∥,由题意知，(01)F，，即1OF，因为3PFFQ，所以||||1||||4FQFOPQPN,故||4PN,所以点P到准线的距离为15PN,即点P到焦点F的距离为5，故选：A.3．已知抛物线C的焦点为F，准线为l，过F的直线m与C交于A，B两点，点A在l上的投影为D.若ABBD，则ABAF（）A．32B．2C．52D．3【答案】A【分析】过点B作BEl，垂足为点E，作BHAD，垂足为点H，分析出点H为AD的中点，利用抛物线的定义可求得结果.【详解】过点B作BEl，垂足为点E，作BHAD，垂足为点H，ADl，所以，四边形BEDH为矩形，所以，BEDH，因为ABBD，所以，DHAH，故22ADDHBE，由抛物线的定义可得AFAD，BFBE，所以，2AFBF，即32ABAF.故选：A.4．过点(0,1)P作直线与抛物线24yx相交，恰好有一个交点，则符合条件的直线的条数为（）A．0B．1C．2D．3【答案】D【分析】作图分析，根据抛物线的图形特点结合直线与抛物线的位置关系，可得答案.【详解】如图示，过点(0,1)P作直线与抛物线24yx相交，恰好有一个交点，符合条件的直线有三条，其中两条是与抛物线相切的直线，其中包含y轴，另一条是与抛物线对称轴平行的直线，故选：D5．点P是抛物线24yx上一动点，则点P到点(0,1)的距离与到抛物线准线的距离之和的最小值是（）A．0B．22C．1D．2【答案】D【分析】根据抛物线的性质进行求解即可.【详解】由24yx可知该抛物线的焦点坐标为(1,0)F，设(0,1)A，准线方程为:l=1x，设PBl，垂足为B，因为点P是抛物线24yx上一动点，所以点P到抛物线准线的距离等于PF，当,,APF三点在同一条直线上时，点P到点(0,1)的距离与到抛物线准线的距离之和最小，最小值为22(10)(01)2AF，故选：D6．已知,AB均为抛物线2:20Cxpyp上的点，F为C的焦点，且37AFFBuuuruur，则直线AB的斜率为（）A．22121B．259C．55D．1010【答案】A【分析】当直线AB的斜率大于0时，过,AB作准线的垂线，作BGAD，根据37AFFBuuuruur，设73AFxBFx，，推出||AG，||BG的值,计算tanABkABG，同理计算当直线AB的斜率小于0时的ABk，即得答案.【详解】当直线AB的斜率大于0时，如图，过,AB作准线l的垂线，垂足分别为,DE，过B作,BGADG为垂足,因为37AFFBuuuruur，所以可设73AFxBFx，，因为,AB均在C上，所以||||3,||||||,47ADAFBFBExAGADxBEx,||=10ABx,故22||(10)(4)221BGxxx，则4221tan21221ABAGxkABGBGx，当直线AB的斜率小于0时，同理可得22121ABk，故直线AB的斜率为22121，故选：A.7．已知抛物线2:4Cyx的焦点为F，直线l过焦点F与C交于A，B两点，以AB为直径的圆与y轴交于D，E两点，且4||||5DEAB，则直线l的方程为（）A．310xyB．10xyC．220xyD．210xy【答案】C【分析】设||2(24),ABrrAB的中点为M，根据4||||5DEAB求出r，进而得到M点横坐标；再设直线1122:(1),,,,lykxAxyBxy，由韦达定理得到k与M横坐标的关系，进而求出k．【详解】设||2(24),ABrrAB的中点为M，MNy轴于点N，过A，B作准线=1x的垂线，垂足分别为11,AB，如下图：由抛物线的定义知112(||1)||||||2MNAABBAFBFABr，故||1MNr，所以228||2(1)5DErrr，即21650250rr，解得52r或58r（舍去），故M的横坐标为32，设直线1122:(1),,,,lykxAxyBxy，将(1)ykx代入24yx，得2222240kxkxk，则2122243kxxk，解得2k，故直线l的方程为220xy．故选：C．8．已知抛物线2:4Cyx的焦点为,FN为C上一点，且N在第一象限，直线FN与C的准线交于点M，过点M且与x轴平行的直线与C交于点P，若||2||MNNF，则MPF△的面积为（）A．8B．12C．43D．46【答案】C【分析】过N作准线的垂线，垂足为Q，准线与x轴交于点E，进而根据几何关系得MPF△为等边三角形，34MFNF，再计算面积即可.【详解】解：如图，过N作准线的垂线，垂足为Q，准线与x轴交于点E，所以，NFNQ，2EF．因为MQNMEF△△∽，所以23QNMNMQEFMFME，43QNNF，34MFNF．所以1cos2EFMFEMF，60MFEPMF．又因为PMPF，所以60PFMPMF，所以MPF△为等边三角形，所以23434MPFSMF△．若M在第三象限，结果相同．故选：C二、填空题9．已知抛物线x2＝4y上有一条长为6的动弦AB，则AB的中点到x轴的最短距离为________.【答案】2【分析】结合图像，可知1112AABBMM＝且|AB|≤|AF|＋|BF|，由此可得|MM1|≥3，进而可求得AB的中点到x轴的最短距离为2.【详解】由题意知，抛物线的准线l：1y，过点A作AA1⊥l交l于点A1，过点B作BB1⊥l交l于点B1，如图，设弦AB的中点为M，过点M作MM1⊥l交l于点M1，则1112AABBMM＝，因为|AB|≤|AF|＋|BF|(F为抛物线的焦点)，即|AF|＋|BF|≥6，又11,AFAABFBB，所以|AA1|＋|BB1|≥6，即2|MM1|≥6，故|MM1|≥3，所以点M到x轴的距离112MMd，故最短距离为2.故答案为：2.10．抛物线26yx的准线恰好平分圆22:10Cxyaxay的周长，则a______．【答案】3【分析】根据抛物线的准线经过圆的圆心求得a.【详解】抛物线26yx的准线为32x，圆22:10Cxyaxay，则圆心坐标为1,22aa，所以322a，解得3a．故答案为：311．已知抛物线C：22(0)ypxp的焦点为F，准线为l，以F为圆心作圆与C交于A，B两点，与l交于D、E两点，若43ABDE，则F到l的距离为________．【答案】2【分析】根据题意分析求出点A的坐标，代入抛物线的方程求p，即可得出F到l的距离.【详解】设,ABDE与x轴的交点分别为,MN，则FMFNp，即点3,232Ap，∴232322pp，解得2p或2p（舍去），故F到l的距离为2.故答案为：2.三、解答题12．已知抛物线C：22(0)ypxp与直线2yx相切．(1)求C的方程；(2)过C的焦点F的直线l与C交于A，B两点，AB的中垂线与C的准线交于点P，若32PAAB，求l的方程．【答案】(1)28yx(2)20xy或20xy【分析】（1）联立方程利用0运算求解；（2）分析可得MNMA，设l的方程为2xmy，联立方程结合韦达定理运算求解.【详解】（1）联立方程222yxypx，消去x得2240ypyp，∵抛物线C与直线2yx相切，则22440pp，解得4p或0p（舍去）故抛物线的方程C：28yx.（2）设l的方程为11222,,,,xmyAxyBxy，则线段AB的中点1212,22xxyyM，过M作抛物线的准线2x的垂线，垂足为N，则12124,22xxABxxMN，即22ABMNMA，∵32PAAB，则2PMMA，即2PMMN，∴PNMN，联立方程228xmyyx，消去x得28160ymy，21264640,8myym，则242,4,2,4MmmNm，AB的中垂线的方程为3460mxymm，∴32,48Pmm，则3244,44PNmmMNm，即324444mmm，解得1m，故l的方程为20xy或20xy.一、单选题1．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线2ryx:，O为坐标原点，一束平行于x轴的光线l1从点41,116P射入，经过r上的点A(x1，y1)反射后，再经r上另一点B(x2，y2)反射后，沿直线l2射出，经过点Q，则下列结论错误的是（）A．y1y2＝－1B．25 16ABC．PB平分∠ABQD．延长AO交直线x＝－14于点C，则C，B，Q三点共线【答案】A【分析】对于A，利用1//lx轴可得A点纵坐标，进而求得1,1A，从而求得直线AB的方程，联立抛物线方程，由韦达定理可求得1214yy；对于B，结合A中结论易得214y，从而求得11,164B，再由两点距离公式即可求得25 16AB；对于C，先求2516APAB，得到∠ABP＝∠APB，再由平行线内错角相等得到∠PBQ＝∠APB，从而可知PB平分∠ABQ；对于D，联立方程求得11,44C，由纵坐标相等可知C，B，Q三点共线.【详解】对于A，设抛物线的焦点为F，则1,04F，因为41,116P，且1//lx轴，所以A的纵坐标为1y，代入抛物线2ryx:得1x，故1,1A，故直线AF（即直线AB）为101414114343314yxxx，联立24133yxyx，消去x，得231044yy，故1214yy，故A错误；对于B，又y1＝1，故214y，故11,164B，故221125 1116416AB，故B正确；对于C，因为412511616APAB，故APB△为等腰三角形，故∠ABP＝∠APB，而12ll//，故∠PBQ＝∠APB，即∠ABP＝∠PBQ，故PB平分∠ABQ，故C正确；对于D，易得直线AO为y＝x，联立14yxx，解得1414xy，故11,44C，故2Cyy，所以C，B，Q三点共线，故D正确.故选：A..2．已知F为抛物线2yx的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，6OAOB（其中O为坐标原点），则ABO△与AFO面积之和的最小值是（）