2015年北京高考数学文科试题及答案

绝密★启封并使用完毕前2015年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷）本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共40分）一、选择题：共8个小题，每小题5分，共40分。在每小题的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）若集合52,Axx33,Bxx则AB（）(A)32xx(B)52xx(C)33xx(D)53xx（2）圆心为（1，1）且过原点的圆的方程是（）（A）22111xy（B）22111xy（C）22112xy（D）22112xy（3）下列函数中为偶函数的是（）（A）2sinyxx（B）2cosyxx（C）lnyx（D）2xy（4）某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本的老年人数为（）（A）90（B）100（C）180（D）300类别人数老年教师900中年教师1800青年教师1600合计4300（5）执行如图所示的程序框图，输出的k值为（）（A）3（B）4(C)5(D)6（6）设,ab是非零向量，“abab”是“a//b”的（）（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（7）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（）(A)1（B）错误!未找到引用源。（B）错误!未找到引用源。(D)2（8）某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况。在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为（）加油时间加油量（升）加油时的累计里程（千米）2015年5月1日12350002015年5月15日4835600注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程（A）6升（B）8升（C）10升（D）12升第二部分（非选择题共110分）二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）（9）复数1ii的实部为．（10）13222,3,log5三个数中最大数的是．（11）在ABC中，23,6,,3abA则B．（12）已知2,0是双曲线22210yxbb的一个焦点，则b．（13）如图，ABC及其内部的点组成的集合记为D，,Pxy为D中任意一点，则23zxy的最大值为．（14）高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩，数学成绩与总成绩在全年级中的排名情况如下图所示，甲、乙、丙为该班三位学生。从这次考试成绩看，①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是．②在语文和数学两个科目中，两同学的成绩名次更靠前的科目是．三、解答题（共6题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）（15）（本小题13分）已知函数2sin23sin2xfxx.（Ⅰ）求fx的最小正周期；（Ⅱ）求fx在区间20,3上的最小值。（16）（本小题13分）已知等差数列na满足124310,2.aaaa（Ⅰ）求na的通项公式；（Ⅱ）设等比数列nb满足2337,baba；问：错误!未找到引用源。与数列na的第几项相等？（17）（本小题13分）某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买。商品顾客人数甲乙丙丁100√×√√217×√×√200√√√×300√×√×85√×××98×√××（Ⅰ）估计顾客同时购买乙和丙的概率；（Ⅱ）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；（Ⅲ）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中那种商品的可能性最大？（18）（本小题14分）如图，在三棱锥VABC中，平面VAB⊥平面ABC，VAB为等边三角形，ACBC,且2ACBC,,OM分别为,ABVA的中点。（Ⅰ）求证:VB//平面MOC;（Ⅱ）求证：平面MOC⊥平面VAB;（Ⅲ）求三棱锥VABC的体积。（19）（本小题13分）设函数2ln,02xfxkxk。（I）求fx的单调区间和极值；（II）证明：若fx存在零点，则fx在区间1,e上仅有一个零点。(20)(本小题14分)已知椭圆C：2233xy,过点0,1D且不过点2,1E的直线与椭圆C交于,AB两点，直线AE与直线错误!未找到引用源。3x交于点M。（1）求椭圆C的离心率；（II）若AB垂直于x轴，求直线BM的斜率；（III）试判断直线BM与直线DE的位置关系，并说明理由。绝密★考试结束前2015年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷）参考答案一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）A（2）D（3）B（4）C（5）B（6）A（7）C（8）B二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）（9）1（10）2log5（11）4（12）3（13）7（14）乙数学三、解答题（共6小题，共80分）（15）（13分）解：（Ⅰ）sin3cos3fxxx2sin33xfx的最小正周期为2.（Ⅱ）20,3x.33x当3x时，即23x时，fx取得最小值.所以fx在20,3上的最小值为23.3f(16)(共13分)解：（Ⅰ）设等差数列na的公差为d.432,2.aad又121110,210,4.aaada421221,2,.nannn（Ⅱ）设等比数列nb的公比为q.23328,16,baba12,4.qb61642128.b由12822,63.nn6b与数列na的第63项相等.（17）（共13分）解：（Ⅰ）从统计表可以看出，在这1000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为2000.21000（Ⅱ）从统计表可以看出，在这1000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品。所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为1002000.31000（Ⅲ）与（Ⅰ）同理，可得：顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为2000.21000，顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为1002003000.61000，顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为1000.11000，所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大。（18）（共14分）解：（Ⅰ）因为,OM分别为,ABVA的中点，所以OMVB又因为VB平面MOC,OM平面MOC所以VB平面MOC（Ⅱ）因为ACBC，O为AB的中点，所以OCAB.又因为平面VAB平面ABC，且OC平面ABC，平面VAB平面ABCAB所以OC平面VAB，又因为OC平面MOC所以平面MOC平面VAB（Ⅲ）在等腰直角ABC中，2,ACBC所以2,1.ABOC所以正VAB的面积3.VABS又因为OC平面VAB，所以1333CVABVABVOCS,又因为VABCCVABVV,所以33VABCV.(19)(共13分)解：（Ⅰ）由2ln02xfxkxk所以fx的定义域为0,2'.kxkfxxxx令'0,fx解得xkfx与'fx在区间0,上的情况如下：x0,kk,k'fx0fx减1ln2kk增所以，fx的单调减区间为0,k，单调增区间为,k；fx在xk处取得极小值fk1ln2kk.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，fx在区间0,上的最小值为fk1ln2kk.因为fx存在零点，所以1ln2kk0，所以ke.①当ke时，fx在区间1,e上单调递减，且0fe.所以xe是fx在区间1,e上的唯一的零点.②当ke时，fx在区间0,e上单调递减，且110,0.22ekffe所以fx在区间1,e上仅有一个零点.综上可知：若fx存在零点，则fx在区间1,e上仅有一个零点。(20)(共14分)解：（Ⅰ）椭圆C的标准方程为221.3xy所以3,a1,b2.c所以椭圆C的离心率6.3cea（Ⅱ）因为直线AB过点1,0D且垂直于x轴，所有可设111,,1,.AyBy直线AE的方程为1112yyx.令3x，得13,2My.所以直线BM的斜率112131BMyyk.（Ⅲ）直线BM与直线DE平行，证明如下：①当直线AB的斜率不存在时，由（Ⅱ）可知1BMk.又因为DE的斜率101.21DEk所以BMDE②当直线AB的斜率存在时，设其方程为11.ykxk设1122,,,,AxyBxy则直线AE的方程为11112.2yyxx令3x，得点11133,2xyMx.由22331xyykx得2222316330.kxkxk所以212221226313331kxxkkxxk直线BM的斜率11212323BMxyyxkx.因为11212121131232132BMxkxkxxxxkxx12122112332kxxxxxx2222213312133131032kkkkkxx所以1BMDEkk，所以BMDE综上所述，直线BM与直线DE平行.