专题01 解三角形（解答题10种考法）（精讲）（解析版）

专题01解三角形（解答题）考法一公式的直接运用【例1】（2023·天津·统考高考真题）在ABC中，角,,ABC所对的边分别是,,abc．已知39,2,120abA．(1)求sinB的值；(2)求c的值；(3)求sinBC．【答案】(1)1313(2)5(3)7326【解析】（1）由正弦定理可得，sinsinabAB，即392sin120sinB，解得：13sin13B；（2）由余弦定理可得，2222cosabcbcA，即21394222cc，解得：5c或7c（舍去）．（3）由正弦定理可得，sinsinacAC，即395sin120sinC，解得：513sin26C，而120Ao，所以,BC都为锐角，因此25339cos15226C，1239cos11313B，1333923951373sinsincoscossin1326132626BCBCBC．【变式】1．（2022·天津·统考高考真题）在ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c.已知16,2,cos4abcA.(1)求c的值；(2)求sinB的值；(3)求sin(2)AB的值.【答案】(1)1c(2)sin104B(3)10sin(2)8AB【解析】（1）因为2222cosabcbcA，即22162bcbc，而2bc，代入得22264ccc，解得：1c．（2）由（1）可求出2b，而0πA，所以215sin1cos4AA，又sinsinabAB，所以152sin104sin46bABa．（3）因为1cos4A，所以ππ2A，故π02B，又215sin1cos4AA，所以11515sin22sincos2448AAA，217cos22cos121168AA，而sin104B，所以26cos1sin4BB，故15671010sin(2)sin2coscos2sin84848ABABAB．2．（2022·浙江·统考高考真题）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知345,cos5acC．(1)求sinA的值；(2)若11b，求ABC的面积．【答案】(1)55；(2)22．【解析】（1）由于3cos5C，0πC，则4sin5C．因为45ac，由正弦定理知4sin5sinAC，则55sinsin45AC．（2）因为45ac，由余弦定理，得2222221612111355cos22225aaaabcCabaa，即26550aa，解得5a，而4sin5C，11b，所以ABC的面积114sin51122225SabC．3．（2023·天津北辰·校考模拟预测）已知a，b，c分别为锐角三角形ABC三个内角,,ABC的对边，且32sincaC．(1)求A；(2)若7a，2b，求c；(3)若2cos3B，求cos2BA的值．【答案】(1)π3(2)3(3)141518【解析】（1）由于π02C，所以sin0C，由32sincaC根据正弦定理可得3sin2sinsinCAC，所以3sin2A，且三角形ABC为锐角三角形，即π0,2A所以π3A.（2）在ABC中，由余弦定理知2222471cos242bcacAbcc，即2230cc，解得3c或1c（舍），故3c.（3）由2cos3B，可得5sin3B，所以22451cos2cossin999BBB，2545sin22sincos2339BBB114531415cos2cos2cossin2sin929218BABABA，即1415cos218BA考法二三角形的面积【例2-1】（2023·福建·校联考模拟预测）设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3a，3cossin3BaBc，且coscosbBcC.(1)求A；(2)求ABC的面积.【答案】(1)π3A(2)334【解析】（1）由3cossin3BaBc及3a，得3cossin3aBaBc，由正弦定理得3sincossinsin3sin3sinABABCAB，所以sinsin3cossinABAB，sin0B，所以tan3A，又因为0,πA，所以π3A.（2）由coscosbBcC结合正弦定理得sincossincosBBCC，即sin2sin2BC，所以BC或π2BC.又因为π3A，所以π2BC.所以π3BCA，因为3a，所以3abc，所以11333sin332224ABCSbcA，即ABC的面积为334.【例2-2】（2023·湖南永州·统考一模）在ABC中，设,,ABC所对的边分别为,,abc，且满足coscoscAaCab．(1)求角C；(2)若5,cABC的内切圆半径34r，求ABC的面积．【答案】(1)2π3(2)21316【解析】（1）在ABC中，由coscoscAaCab得sincossincossinsinCAACAB，即sincossincossinsin()CAACAAC,故2sincossinACA，由于(0,π),sin0AA，故1cos2C，而(0,π)C，故2π3C.（2）由2π3C可得222cabab，而5c，故2225abab，则2()25abab，由ABC的内切圆半径34r，可得11()sin22abcrabC，即53()342abab，即25abab，故2(25)25abab，解得214ab，故ABC的面积11213213sin224216SabC.【变式】1．（2023·海南海口·校考模拟预测）在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足11tantantan2CAB.(1)求tantanAB的值；(2)若10coscos,610ABc，求ABC的面积S.【答案】(1)2(2)12【解析】（1）由11tantantan2CAB可得，)t2annttan(1tanantatantan21tantanABABABABAB，因为tantan0AB，所以可得2111tantan1tantanABAB，解得tantan2AB.（2）由（1）知tantan2AB，所以sinsin2coscosABAB，又因为10coscos10AB，所以510sinsinAB，所以101010coscossinsincos()10510ABABAB，即10cos10C，又0,πC，所以2310sin1cos10CC，由正弦定理可得，6210sinsinsin31010abcABC，所以210sin,210sinaAbB，所以210sin210sin40sinsin810abABAB，所以ABC的面积11310sin810122210SabC.2．（2023·江苏无锡·校考模拟预测）已知函数233()sin23sin22fxxx.(1)求函数()fx的最小正周期和单调递增区间；(2)在ABC中，内角,,ABC所对的边分别是,,abc，且31,1bca，若3()2fA，求ABC的面积.【答案】(1)最小正周期为π，单调递增区间为5πππ,π,Z1212kkk.(2)34【解析】（1）23333π()sin23sinsin2cos23sin222223fxxxxxx，所以函数()fx的最小正周期为π.令2π22π,Zπ23π2πkxkk，得5ππππ,Z1212kxkk，故函数()fx的单调递增区间为5πππ,π,Z1212kkk.（2）由3()2fA，得π3sin232A，由0πA＜＜得ππ7π2333A，所以π2π233A，得π6A.由余弦定理得2223cos22bcaAbc，即2213bcbc，因为31bc，所以2222423bcbcbc，从而有(23)3233(23)bc，得3bc，则1π113sin326224ABCSbc△3．（2023·河南开封·统考三模）在ABC中，设A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足coscosbAaBac．(1)求角B；(2)若5b，ABC的内切圆半径34r，求ABC的面积．【答案】(1)2π3B(2)21316【解析】（1）因为coscosbAaBac，由余弦定理得22222222bcaacbbaacbcac，即222acbac，所以2221cos22acbBac．又0,πB，所以2π3B（2）由余弦定理得：2225acac，则2225acac，由三角形面积公式，11sin22abcracB，即25acac，则222242025acacacac，所以225242025acacacac，解得214ac，所以621132132421ABCS.考法三角形的周长【例3-1】（2023·山东菏泽）在ABC中，角,,ABC所对的边分别为,,,abc已知1b，面积28sinaSA，再从以下两个条件中选择其中一个作为已知，求三角形的周长.（1）6B;（2）BC.注:如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】23.【解析】由三角形的面积公式可知，1sin2SabC，21sin28sinaabCA，整理得4sinsin,bACa由正弦定理得:4sinsinsinsin,BACA因为sin0A，4sinsin1,BC1sinsin4BC，若选择条件（1）由6B：得1sin2B，则1sin2C，又,,ABC为三角形的内角，6BC，2,3A由正弦定理得sinsinsinabcABC代入1,bc解得3a，三角形的周长为23.若选择条件（2）BC，则由BC，得sinsin,BC又1sinsin4BC，1sinsin2BC又,,ABC为三角形的内角，,6BC23A.由正弦定理得:sinsinsinabcABC，代入1,bc解得3a，三角形的周长为23.【例3-2】（2023·重庆南岸）设213sincoscos2fxxxx，（1）求fx的单调递增区间；（2）在ABC中，角A为锐角，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若02Af，1a，23bc，求三角形的周长.【答案】（1）,,63kkkZ；（2）33【解析】（1）由已知31cos2131()sin2sin2cos2sin2222226xfxxxxx，令222,262kxkkZ，则,63kxkkZ，()fx\的单调递增区间为,,63kkkZ；（2）由（1）得sin026AfA，又角A为锐角，06A，得6A，222222()2()4313cos22243bcabcbcabcAbcbc，得23bc，所以三角形的周长为33abc.【变式】1．