专题10.7二项分布、超几何分布及正态分布（原卷版）

专题10.7二项分布、超几何分布及正态分布题型一两点分布题型二超几何分布题型三二项分布题型四二项分布的概率最大问题题型五二项分布与超几何分布的综合题型六正态分布求概率题型七正态分布的对称题型八正态分布的实际应用题型一两点分布例1．随机变量X服从两点分布，且10.2PX，令32YX，则2PY（）A．0.1B．0.2C．0.4D．0.8例2．已知离散型随机变量X服从两点分布，且0341PXPX，则随机变量X的方差为_____．练习1．已知离散型随机变量X的分布列服从两点分布，满足2091PXPX，且01PXPX，则EX（）A．13B．12C．23D．14练习2．某企业拟定4种改革方案，经统计它们在该企业的支持率分别为10.9p，20.75p，30.3p，40.2p，用“1i”表示员工支持第i种方案，用“0i”表示员工不支持第i种方案1,2,3,4i，那么方差1D，2D，3D，4D的大小关系为（）A．1234DDDDB．4321DDDDC．2314DDDDD．1423DDDD练习3．（多选）若随机变量X服从两点分布，其中103PX，则下列结论正确的是（）A．1PXEXB．324EXC．324DXD．49DX练习4．（多选）随机变量X服从两点分布，若104PX，则下列结论正确的有（）A．314PXB．316DXC．3212EXD．3214DX练习5．已知随机变量X服从两点分布，且202PXa，1PXa，那么a_____．题型二超几何分布例3．（多选）某单位推出了10道有关二十大的测试题供学习者学习和测试，乙能答对其中的6道题，规定每次测试都是从这10道题中随机抽出4道，答对一题加10分，答错一题或不答减5分，最终得分最低为0分，则下列说法正确的是（）A．乙得40分的概率是114B．乙得25分的概率是821C．乙得10分的概率是37D．乙得0分的概率是1210例4．某研究小组为研究经常锻炼与成绩好差的关系，从全市若干所学校中随机抽取100名学生进行调查，其中有体育锻炼习惯的有45人．经调查，得到这100名学生近期考试的分数的频率分布直方图．记分数在600分以上的为优秀，其余为合格．(1)请完成下列22列联表．根据小概率值0.01的独立性检验，分析成绩优秀与体育锻炼有没有关系．经常锻炼不经常锻炼合计合格25优秀10合计100(2)现采取分层抽样的方法，从这100人中抽取10人，再从这10人中随机抽取5人进行进一步调查，记抽到5人中优秀的人数为X，求X的分布列．附：22()nadbcabcdacbd，其中nabcd．2Pk≥0.0500.0100.001k3.8416.63510.828练习6．第三十一届世界大学生夏季运动会于2023年8月8日晚在四川省成都市胜利闭幕．来自113个国家和地区的6500名运动员在此届运动会上展现了青春力量，绽放青春光彩，以饱满的热情和优异的状态谱写了青春、团结、友谊的新篇章．外国运动员在返家时纷纷购买纪念品，尤其对中国的唐装颇感兴趣．现随机对200名外国运动员（其中男性120名，女性80名）就是否有兴趣购买唐装进行了解，统计结果如下：有兴趣无兴趣合计男性运动员8040120女性运动员404080合计12080200(1)是否有99%的把握认为“外国运动员对唐装感兴趣与性别有关”；(2)按分层抽样的方法抽取6名对唐装有兴趣的运动员，再从中任意抽取3名运动员作进一步采访，记3名运动员中男性有X名，求X的分布列与数学期望．参考公式：22()nadbcKabcdacbd临界值表：20PKk0.1500.1000.0500.0250.0100.0010k2.0722.7063.8415.0246.63510.828练习7．某乒乓球队训练教官为了检验学员某项技能的水平，随机抽取100名学员进行测试，并根据该项技能的评价指标，按60,65,65,70,70,75,75,80,80,85,85,90,90,95,95,100分成8组，得到如图所示的频率分布直方图．(1)求a的值，并估计该项技能的评价指标的中位数（精确到0.1）；(2)若采用分层抽样的方法从评价指标在70,75和85,90内的学员中随机抽取12名，再从这12名学员中随机抽取5名学员，记抽取到学员的该项技能的评价指标在70,75内的学员人数为X，求X的分布列与数学期望．练习8．一个口袋中有4个白球，2个黑球，每次从袋中取出一个球(1)若不放回的取2次球，求在第一次取出白球的条件下，第二次取出的是黑球的概率；(2)若不放回的取3次球，求取出白球次数X的分布列及EX.练习9．某公司生产一种电子产品，每批产品进入市场之前，需要对其进行检测，现从某批产品中随机抽取9箱进行检测，其中有5箱为一等品.(1)若从这9箱产品中随机抽取3箱，求至少有2箱是一等品的概率；(2)若从这9箱产品中随机抽取3箱，记表示抽到一等品的箱数，求的分布列和期望.练习10．下表为某班学生理科综合能力测试成绩（百分制）的频率分布表，已知在[80,90)分数段内的学生人数为21.`分数段[65,70)[70,75)[75,80)[80,85)[85,90)[90,95)[95,100]频率0.10.150.20.20.150.1*(1)求测试成绩在[95,100]分数段内的人数；(2)现欲从[95,100]分数段内的学生中抽出2人参加物理兴趣小组，若其中至少有一名男生的概率为35，求[95,100]分数段内男生的人数；(3)若在[65,70)分数段内的女生为4人，现欲从[65,70)分数段内的学生中抽出3人参加培优小组，为分配到此组的3名学生中男生的人数．求的分布列及期望E题型三二项分布例5．某地区对某次考试成绩进行分析，随机抽取100名学生的A，B两门学科成绩作为样本．将他们的A学科成绩整理得到如下频率分布直方图，且规定成绩达到70分为良好．已知他们中B学科良好的有50人，两门学科均良好的有40人．(1)根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为这次考试学生的A学科良好与B学科良好有关；B学科良好B学科不够良好合计A学科良好A学科不够良好合计(2)用样本频率估计总体概率，从该地区参加考试的全体学生中随机抽取3人，记这3人中A，B学科均良好的人数为随机变量X，求X的分布列与数学期望．附：22nadbcKabcdacbd，其中nabcd．20PKk0.150.100.050.0250.0100.0050.0010.150k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.8282.072例6．近年来，短视频作为以视频为载体的聚合平台，社交属性愈发突出，在用户生活中覆盖面越来越广泛，已逐渐成为社交平台发展的新方向，同时出现了利用短视频平台进行直播销售的模式.已知甲公司和乙公司两家购物平台所售商品类似，存在竞争关系.现对某时段100名观看过这两家短视频的用户与使用这两家购物平台购物的情况进行调查，得到如下数据：选择甲公司购物平台选择乙公司购物平台合计用户年龄段为1924岁302050用户年龄段为2534岁203050合计5050100(1)能否有95%的把握认为使用哪家购物平台购物与观看这两家短视频的用户的年龄有关？(2)为了了解用户观看两家短视频后选择哪家公司购物的原因，用频率近似概率，从观看过这两家短视频的年龄段为1924岁和2534岁的用户中各抽取2名用户进行回访，求抽出的4人中选择甲公司购物的人数恰好为2的概率.参考公式：22nadbcabcdacbd，其中nabcd.2Pk…0.10.050.010.0050.001k2.7063.8416.6357.87910.828练习11．某数学兴趣小组设计了一个开盲盒游戏：在编号为1到4号的四个箱子中随机放入奖品，每个箱子中放入的奖品个数满足()(1,2,3,4,5)Pnknn，每个箱子中所放奖品的个数相互独立．游戏规定：当箱子中奖品的个数超过3个时，可以从该箱中取走一个奖品，否则从该箱中不取奖品．每个参与游戏的同学依次从1到4号箱子中取奖品，4个箱子都取完后该同学结束游戏．甲、乙两人依次参与该游戏．(1)求甲能从1号箱子中取走一个奖品的概率；(2)设甲游戏结束时取走的奖品个数为X，求X的概率分布与数学期望；(3)设乙游戏结束时取走的奖品个数为Y，求Y的数学期望．练习12．设甲、乙两位同学上学期间，每天7:30之前到校的概率均为23．假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立．(1)用X表示甲同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数，求随机变量X的分布列；(2)设M为事件“上学期间的三天中，甲同学在7:30之前到校的天数比乙同学在7:30之前到校的天数恰好多2”，求事件M发生的概率．练习13．某公司使用甲、乙两台机器生产芯片，已知每天甲机器生产的芯片占产量的六成，且合格率为94%；乙机器生产的芯片占产量的四成，且合格率为95%，已知两台机器生产芯片的质量互不影响.现对某天生产的芯片进行抽样.(1)从所有芯片中任意抽取一个，求该芯片是不合格品的概率；(2)现采用有放回的方法随机抽取3个芯片，记其中由乙机器生产的芯片的数量为X，求X的分布列以及数学期望EX.练习14．卡塔尔世界杯的吉祥物“拉伊卜”引发网友和球迷喜爱，并被亲切地称为“饺子皮”.某公司被授权销售以“拉伊卜”为设计主题的精制书签.该精制书签的生产成本为50元/个，为了确定书签的销售价格，该公司对有购买精制书签意向的球迷进行了调查，共收集了200位球迷的心理价格来估计全部球迷的心理价格分布.这200位球迷的心理价格对应人数比练习分布如下图：若只有在精制书签的销售价格不超过球迷的心理价格时，球迷才会购买精制书签.公司采用常见的饥饿营销的方法刺激球迷购买产品，规定每位球迷最多只能购买一个该精制书签.设每位球迷是否购买该精制书签相互独立，精制书签的销售价格为x元/个(6090x).(1)若80x，已知某时段有3名球迷有购买意向而咨询公司，设X为这3名球迷中购买精制书签的人数，求X的分布列和期望；(2)假设共有Z名球迷可能购买该精制书签，请比较当精制书签的售价分别定为70元和80元时，哪种售价对应的总利润的期望最大?练习15．“双减”政策执行以来，中学生有更多的时间参加志愿服务和体育锻炼等课后活动.某校为了解学生课后活动的情况，从全校学生中随机选取100人，统计了他们一周参加课后活动的时间（单位：小时），分别位于区间7,9，9,11，11,13，13,15，15,17，17,19，用频率分布直方图表示如下，假设用频率估计概率，且每个学生参加课后活动的时间相互独立.(1)估计全校学生一周参加课后活动的时间位于区间13,17的概率；(2)从全校学生中随机选取3人，记表示这3人一周参加课后活动的时间在区间15,17的人数，求的分布列和数学期望E.题型四二项分布的概率最大问题例7．若1~(20,)3XB，则()PXk取得最大值时，k_____.例8．某综艺节目中，有一个盲拧魔方游戏，就是玩家先观察魔方状态并进行记忆，记住后蒙住眼睛快速还原魔方．为了解某市盲拧魔方爱好者的水平状况，某兴趣小组在全市范围内随机抽取了100名盲拧魔方爱好者进行调查，得到的情况如表所示：用时/秒5,1010,