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2019全国2卷理科数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。1.设集合A={x|x2−5x+60},B={x|x−10},则A∩B=(A)A.(−∞,1)B.(−2,1)C.(−3,−1)D.(3,+∞)2.设z=−3+2i,则在复平面𝑧̅对应的点位于(𝐶)A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(2,3),𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=(3,𝑡),|𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|=1,则𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗∙𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=(𝐶)A.−3B.−2C.2D.34.2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系。为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”。鹊桥沿着围绕地月拉格朗日𝐿2点的轨道运行，𝐿2点是平衡点，位于地月连线的延长线上，设地球质量为𝑀1，月球质量为𝑀2，地月距离为𝑅，𝐿2点到月球的距离为𝑟,根据牛顿运动定理和万有引力定律，𝑟满足方程：𝑀1(𝑅+𝑟)2+𝑀2𝑟2=(𝑅+𝑟)𝑀1𝑅3设α=𝑟𝑅,由于𝛼的值很小，因此在近似计算中3𝛼3+3𝛼4+𝛼5(1+𝛼)2≈3𝛼3,则𝑟的近似值为(𝐷)A.√𝑀2𝑀1𝑅B.√𝑀22𝑀1𝑅C.√3𝑀2𝑀13𝑅D.√𝑀23𝑀13𝑅5.演讲比赛共有9为评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、一个最低分，得到7个有效评分。7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是(A)A.中位数B.平均数C.方差D.极差6.若ab,则(C)A.ln(a−b)0B.3𝑎3𝑏C.𝑎3−𝑏30D.|a||b|7.设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是(B)A.α内有无数条直线与β平行B.α内有两条相交直线与β平行C.α，β平行于同一条直线D.α，β垂直于同一平面8.若抛物线𝑦2=2px(p0)的焦点是椭圆𝑥23𝑝+𝑦2𝑝=1的一个焦点，则𝑝=(𝐷)A.2B.3C.4D.89.下列函数中，以π2为周期且在区间(𝜋4,𝜋2)单调递增的是(A)A.f(x)=|cos2x|B.f(x)=|sin2x|C.f(x)=cos|x|D.f(x)=sin|x|10.已知α∈(0,π2),2sin2α=cos2α+1,则sinα=(B)A.15B.√55C.√33D.2√5511.设F为双曲线C：𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎0,𝑏0)的右焦点，𝑂为坐标原点，以𝑂𝐹为直径的圆与圆𝑥2+𝑦2=𝑎2交于𝑃，𝑄两点.若|𝑃𝑄|=|𝑂𝐹|,则𝐶的离心率为(𝐴)A.√2B.√3C.2D.√512.设函数f(x)的定义域为R，满足f(x+1)=2f(x),且当x∈(0,1]时，f(x)=x(x−1).若对任意x∈(−∞,m],都有f(x)≥−89,则𝑚的取值范围是(𝐵)A.(−∞,94]B.(−∞,73]C.(−∞,52]D.(−∞,83]二、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分。13.我国高铁发展迅速，技术先进。经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为14.已知f(x)是奇函数，且当x0时，f(x)=−𝑒𝑎𝑥,若𝑓(𝑙𝑛2)=8,则𝑎=15.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c.若b=6,a=2c,B=π3,则△ABC的面积为16.中国有悠久的金石文化，印信时金石文化的代表之一。印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员孤独信的印信形状是“半正多面体”(图1).半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体。半正多面体体现了数学的对称美。图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一正方体的表面上，且此正方体的棱长为1，则该半正多面体共有个面，其棱长为（本题第一空2分，第二空3分。）三、解答题：共70分。第17~21题为必考题。第22、23题为选考题。（一）必考题：共60分17.（12分）如图，长方体ABCD−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1的底面𝐴𝐵𝐶𝐷是正方形、点E在棱A𝐴1上，𝐵𝐸⊥𝐸𝐶1.(1)证明：BE⊥平面E𝐵1𝐶1;(2)若AE=𝐴1𝐸,求二面角B−EC−𝐶1的正弦值.18.（12分）11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束。甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立。在某局双方10:10后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束。(1)求P(X=2);(2)求事件“X=4且甲获胜”的概率。19.（12分）已知数列{𝑎𝑛}和{𝑏𝑛}满足𝑎1=1,𝑏1=0,4𝑎𝑛+1=3𝑎𝑛−𝑏𝑛+4,4𝑏𝑛+1=3𝑏𝑛−𝑎𝑛−4.(1)证明：{𝑎𝑛+𝑏𝑛}是等比数列，{𝑎𝑛−𝑏𝑛}是等差数列;(2)求{𝑎𝑛}和{𝑏𝑛}的通项公式.20.(12分)已知函数f(x)=lnx−𝑥+1𝑥−1(1)讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点;(2)设𝑥0是𝑓(𝑥)的一个零点，证明曲线𝑦=𝑙𝑛𝑥在点𝐴(𝑥0,𝑙𝑛𝑥0)处的切线也是曲线𝑦=𝑒𝑥的切线。21．（12分）已知点A(−2,0)，B(2,0),动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为−12.记M的轨迹为曲线C.(1)求C的方程，并说明C是什么曲线;(2)过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交C与点G.(𝑖)证明：△PQG是直角三角形;(ii)求△PQG面积的最大值.二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22.【选修4-4：坐标系与参数方程】（10分）在极坐标系中，O为极点，点M(𝜌0,𝜃0)(𝜌00)在曲线C：ρ=4sinθ上.直线𝑙过点A(4,0)且与OM垂直，垂足为P.(1)当𝜃0=𝜋3时，求𝜌0及𝑙的极坐标方程;(2)当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程.23.【选修4-5：不等式选讲】(10分)已知f(x)=|x−a|x+|x−2|(x−a).(1)当a=1时，求不等式f(x)0的解集;(2)若x∈(−∞,1)时，f(x)0,求a的取值范围.参考答案：2019全国2卷理科数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。1.设集合A={x|x2−5x+60},B={x|x−10},则A∩B=(A)A.(−∞,1)B.(−2,1)C.(−3,−1)D.(3,+∞)解析：∵A={x|x2−5x+60}={𝑥|𝑥2或𝑥3},𝐵={𝑥|𝑥1},∴A∩B={x|x1},选A2.设z=−3+2i,则在复平面𝑧̅对应的点位于(𝐶)A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析：∵z=−3+2i，∴𝑧̅=−3−2𝑖,对应点(−3,−2)位于复平面第三象限，选𝐶3.已知𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(2,3),𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=(3,𝑡),|𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|=1,则𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗∙𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=(𝐶)A.−3B.−2C.2D.3解析：∵𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗−𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(1,𝑡−3),∴|𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|=√1+(𝑡−3)2=1,∴𝑡=3∴𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=(1,0),∴𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗∙𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=2，选𝐶4.2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系。为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”。鹊桥沿着围绕地月拉格朗日𝐿2点的轨道运行，𝐿2点是平衡点，位于地月连线的延长线上，设地球质量为𝑀1，月球质量为𝑀2，地月距离为𝑅，𝐿2点到月球的距离为𝑟,根据牛顿运动定理和万有引力定律，𝑟满足方程：𝑀1(𝑅+𝑟)2+𝑀2𝑟2=(𝑅+𝑟)𝑀1𝑅3设α=𝑟𝑅,由于𝛼的值很小，因此在近似计算中3𝛼3+3𝛼4+𝛼5(1+𝛼)2≈3𝛼3,则𝑟的近似值为(𝐷)A.√𝑀2𝑀1𝑅B.√𝑀22𝑀1𝑅C.√3𝑀2𝑀13𝑅D.√𝑀23𝑀13𝑅解析：∵𝑀1(𝑅+𝑟)2+𝑀2𝑟2=(𝑅+𝑟)𝑀1𝑅3，𝑟=𝑅𝛼,∴𝑀1(𝑅+𝑅𝛼)2+𝑀2(𝑅𝛼)2=(𝑅+𝑅𝛼)𝑀1𝑅3∴𝑀2=𝑀1∙(1+𝛼−1(1+𝛼)2)𝛼2=𝑀1∙3𝛼3+3𝛼4+𝛼5(1+𝛼)2≈𝑀1∙3𝛼3=3𝑀1∙𝑟3𝑅3,∴𝑟3≈𝑀23𝑀1𝑅3,∴𝑟≈√𝑀23𝑀13𝑅,选𝐷5.演讲比赛共有9为评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、一个最低分，得到7个有效评分。7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是(A)A.中位数B.平均数C.方差D.极差解析：不妨把9个原始评分从小到大排序记作：𝑥1,𝑥2,⋯,𝑥9,去掉𝑥1,𝑥9,剩余7个有效评分为，𝑥2,𝑥3,⋯,𝑥8,由数字特征定义知，不变的数字特征是中位数，选𝐴6.若ab,则(C)A.ln(a−b)0B.3𝑎3𝑏C.𝑎3−𝑏30D.|a||b|解析：由函数y=lnx,y=3𝑥,𝑦=𝑥3,𝑦=|𝑥|的基本性质知，当𝑎𝑏时，只有𝑎3−𝑏30成立，选C7.设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是(B)A.α内有无数条直线与β平行B.α内有两条相交直线与β平行C.α，β平行于同一条直线D.α，β垂直于同一平面解析：由面面平行的判定定理知，B正确，选B8.若抛物线𝑦2=2px(p0)的焦点是椭圆𝑥23𝑝+𝑦2𝑝=1的一个焦点，则𝑝=(𝐷)A.2B.3C.4D.8解析：抛物线𝑦2=2px(p0)的焦点为𝐹(𝑝2,0),所以椭圆焦点在x轴上，由题知，3𝑝=p+(𝑝2)2,∴𝑝2=8𝑝,又𝑝0，∴𝑝=8,选𝐷9.下列函数中，以π2为周期且在区间(𝜋4,𝜋2)单调递增的是(A)A.f(x)=|cos2x|B.f(x)=|sin2x|C.f(x)=cos|x|D.f(x)=sin|x|解析：由y=|cos2x|,y=|sin2x|,y=cos|x|,y=sin|x|的函数图象可知，周期为π2且在区间(𝜋4,𝜋2)单调递增的函数是y=|cos2x|，选𝐴10.已知α∈(0,π2),2sin2α=cos2α+1,则sinα=(B)A.15B.√55C.√33D.2√55解析：∵2sin2α=cos2α+1，∴4sinαcosα=2𝑐𝑜𝑠2𝛼,𝑠𝑖𝑛𝛼=12𝑐𝑜𝑠𝛼,∴𝑠𝑖𝑛2𝛼=14(1−𝑠𝑖𝑛2𝛼),∴𝑠𝑖𝑛2𝛼=15，又α∈(0,π2)，∴𝑠𝑖𝑛𝛼=√55，选𝐵11.设F为双曲线C：𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎0,𝑏0)的右焦点，𝑂为坐标原点，以𝑂𝐹为直径的圆与圆𝑥2+𝑦2=𝑎2交于𝑃，𝑄两点.若|𝑃𝑄|=|𝑂𝐹|,则𝐶的离心率为(𝐴)A.√2B.√3C.2D.√5解析：由题知，|𝑃𝑄|=|𝑂𝐹|，∴2𝑎𝑏𝑐=𝑐,∴𝑐4=4𝑎2𝑏2=4𝑎2(𝑐2−𝑎2),∴𝑐4−4𝑎2𝑐