“应用随机过程”讲义一解析

应用随机过程清华大学数学科学系林元烈主讲教材：《应用随机过程》（第三次印刷）林元烈，清华大学出版社2019/10/5应用随机过程讲义第一讲2学习要求•不仅是掌握知识，更重要的是掌握思想•学会把抽象的概率和实际模型结合起来2019/10/5应用随机过程讲义第一讲3学习重点1.用随机变量表示事件及其分解——基本理论2.全概率公式——基本技巧3.数学期望和条件数学期望——基本概念2019/10/5应用随机过程讲义第一讲4第一讲2019/10/5应用随机过程讲义第一讲5随机事件与概率随机试验2019/10/5应用随机过程讲义第一讲6要点：•在相同条件下，试验可重复进行；•试验的一切结果是预先可以明确的，但每次试验前无法预先断言究竟会出现哪个结果。2019/10/5应用随机过程讲义第一讲7样本点对于随机试验E，以ω表示它的一个可能出现的试验结果，称ω为E的一个样本点。样本空间样本点的全体称为样本空间，用Ω表示。Ω＝{ω}2019/10/5应用随机过程讲义第一讲8随机事件粗略地说，样本空间Ω的子集就是随机事件，用大写英文字母A、B、C等来表示。事件的关系与运算2019/10/5应用随机过程讲义第一讲9nnnnnnnnnnnnAAAAAAAAnAlim,lim,}1,{1111称之为单调不增序列。若称之为单调不减序列。若事件序列2019/10/5应用随机过程讲义第一讲10.limlimlimlimliminflimlim)(suplimlim)(11nnnnnnnnnnnnnnknknnnnnknknAAAAAAAAAAA则定义，如果2019/10/5应用随机过程讲义第一讲11AIAIAAIAAA}0)(:{}1)(:{,0,1)(事件事件示性函数是最简单的随机变量用随机变量来表示事件2019/10/5应用随机过程讲义第一讲12，－则若取上端取下端－)()()()()()()(,)()()()()()(,),max(,),min(BABABABABABABABAIIBAIIBAIIIBAIIIIIIbabababa用示性函数的关系及运算来表示相关事件的关系及运算2019/10/5应用随机过程讲义第一讲13公理化定义是最简单的集类。称为集类。的集合的子集作为元素构成的粗略地说，由},{集类2019/10/5应用随机过程讲义第一讲142019/10/5应用随机过程讲义第一讲15概率2019/10/5应用随机过程讲义第一讲16：事件的概率的元素，事件：概率：完全可加的集函数，代数：集类，：集合，样本空间)(),,(APAPP概率空间2019/10/5应用随机过程讲义第一讲17隐含了等可能条件点集的面积点集的面积几何概型隐含了等可能条件中的样本点数目中的样本点数目古典概型AAPAAAPA)(.2)()()(.12019/10/5应用随机过程讲义第一讲18概率是满足1)非负性；2)归一性；3)可列可加性；的集函数。可测集粗略地说，可以定义长度（面积、体积）的点集即为可测集；反之称为不可测集。2019/10/5应用随机过程讲义第一讲19概率的性质1.2.3.有限可加性0)(P)(1)(APAPnkknkknAPAPjiAAAAA1121)()(),(,,...,则＝且若由概率非负性即得，＝显然有,)()(...1kPP即得及完全（可列）可加性由0)(P2019/10/5应用随机过程讲义第一讲20)()()()()()\(,BPAPBAPABABPAPBAPBA若)()()()(ABPBPAPBAP4.5.6.)()(,BPAPBA则若2019/10/5应用随机过程讲义第一讲217.8.可列次可加性9.概率连续性)...()1(...)()()()(,2,1,2111111nnnjikjinjijinkknkkkAAAPAAAPAAPAPAPnnkA11)()(kkkkAPAP)(lim)lim(}1,{nnnnnAPAPnA为单调事件序列，则若2019/10/5应用随机过程讲义第一讲22这部分的详细讨论可以参见《随机数学引论》林元烈，清华大学出版社2019/10/5应用随机过程讲义第一讲23•Buffon试验：最早用随机试验的方法求某个未知的数。•测度：满足非负性、可列可加性的集函数。2019/10/5应用随机过程讲义第一讲24..)(},,],,{[可测集为一维，称代数一维称为代数生成的则由设集类BorelBorelbaRbaba2019/10/5应用随机过程讲义第一讲25实际上，设集类以上集类和生成相同的σ-代数,都是上面提到的一维Borelσ-代数，即}:{},,),,{(},,,),,{(},,,],,{(},,,),,{[52121321中开集为＝为有理数＝＝＝＝RGGrrrrbaRbababaRbababaRbaba)51(),()(kk2019/10/5应用随机过程讲义第一讲26•直观地说，中包含一切开区间，闭区间，半开半闭区间，半闭半开区间，单个实数，以及由它们经可列次并交运算而得出的集类。)(2019/10/5应用随机过程讲义第一讲272019/10/5应用随机过程讲义第一讲282019/10/5应用随机过程讲义第一讲29)|()()|()()()()|()()()|(,ABPAPBAPBPABPAPAPBPABPBAPBA件概率相同。条件概率的性质与无条条件概率2019/10/5应用随机过程讲义第一讲30kkkkklkkkkkCBAPCBPCAPBAlkBBkBBAPBPAP)|()|()|(,}1,{)|()()(，Φ全概率公式2019/10/5应用随机过程讲义第一讲31事件的独立性独立独立BAAPBAPBAPBPAPABPBA,)()|()|()()()(,2019/10/5应用随机过程讲义第一讲32)()()()()()()()()()()()()(,,,CPBPAPABCPCPBPBCPCPAPACPBPAPABPCBA等式相互独立，要满足四个三个事件几个事件的独立性2019/10/5应用随机过程讲义第一讲33.\,.,,,),(),,(.,,;,,;,,;,,;,,;,,;,,;,,21221121独立均与和例如，独立则任取记独立独立独立独立独立独立独立独立下列命题等价：CBABAABAAAACBACBACBACBACBACBACBACBACBA2019/10/5应用随机过程讲义第一讲34独立。和则设独立，若21112112121),,...(),,...,()()...()()...(,...1,...,2121BBAABAAABAPAPAPAAAPniiiAAAnmmiiiiiiknkk2019/10/5应用随机过程讲义第一讲35).()(,0)|(,05.0)|(,6.0)(,98.0)|(,8.0)|(,6.0)()31(1321321213121213121BPAPBBBBAAAABBBPBBPBPAAAPAAPAPkkBAkk和求：，令。已知次试验成功，甲乙两人第为，验，记：甲乙两人各做三次试例2019/10/5应用随机过程讲义第一讲3662.0005.04.06.0)(9984.098.02.04.08.04.06.0)|()()|()()()(213211211321211BPAAAPAAPAAPAPAPAPAAAAAAA（互不相容）解：比较甲乙两人的结果，从以上结果可以得到什么结论？2019/10/5应用随机过程讲义第一讲37机遇偏爱有心人！2019/10/5应用随机过程讲义第一讲38功的概率。，求至少有一次成，若概率为次成功次独立重复试验，设每：进行例40002.02nn.9997.0)98.0(1)(400AP一次成功的概率只有2％，是典型的小概率事件；但重复次数足够多，如n=400，至少一次成功就是大概率事件！2019/10/5应用随机过程讲义第一讲39只要功夫深，铁杵磨成针！2019/10/5应用随机过程讲义第一讲40随机变量定义解释可测性要求。保证了概率定义的是可测映射；})(:{,),(),(:)(aXRaRX2019/10/5应用随机过程讲义第一讲41离散型随机变量的示性函数表示法这说明对于任一d.v.r.，总可以分解为互不交的事件的示性函数的迭加。,)()(),:(,),(,...1kBkkkkkIxXXxXBNkxXPXvrd可以表示为则设事件若其分布律为：2019/10/5应用随机过程讲义第一讲42随机变量等价定义分布函数2019/10/5应用随机过程讲义第一讲43连续型随机变量的概率密度函数微元法求概率密度函数2019/10/5应用随机过程讲义第一讲44二维随机变量的分布函数•二维Borel-σ代数•由平面上矩形的全体生成的σ－代数}2,1,:],[],{[2211ibababaii2019/10/5应用随机过程讲义第一讲45联合密度函数亦可用微元法求2019/10/5应用随机过程讲义第一讲46常用随机变量的分布（列出,期望方差）两点分布正态分布二项分布指数分布Poisson分布均匀分布几何分布二维正态分布2019/10/5应用随机过程讲义第一讲47两点分布若r.v.X只取1和0两个值，且则称r.v.X服从参数为p的两点分布。简记为：X~B(1,p).即AAIXAA01)()(,)10(,1)0(,)1(ppXPpXPEX=p,DX=p(1-p)2019/10/5应用随机过程讲义第一讲48EX=np,DX=np(1-p)EX=1/p,DX=(1-p)/p22019/10/5应用随机过程讲义第一讲49EX=λ,DX=λEX=(a+b)/2,DX=(b-a)2/122019/10/5应用随机过程讲义第一讲50EX=1/λ,DX=1/λ2EX=μ,DX=σ22019/10/5应用随机过程讲义第一讲51•二维正态分布的优良性质X,Y相互独立X,Y不相关随机变量的数字特征及条件数学期望2019/10/5应用随机过程讲义第一讲53数学期望（复习）“加权平均”为了引出一般随机变量的定义，我们先介绍R-S积分的概念。dxxxfxXPxEXXkk)()(kkkPxdxxfxX)(||2019/10/5应用随机过程讲义第一讲54黎曼－斯蒂尔吉斯积分2019/10/5应用随机过程讲义第一讲55任分任取求和取极限2019/10/5应用随机过程讲义第一讲562019/10/5应用随机过程讲义第一讲57在定义了R-S积分之后，我们可以将所有随机变量的数学期望形式进行统一。)(xXxdPEXdxxfxgxdFxgxfxF)()()()(),()('则若2019/10/5应用随机过程讲义第一讲582019/10/5应用随机过程讲义第一讲59数学期望的性质（E|Xi|∞）2019/10/5应用随机过程讲义第一讲60不独立