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文曦教育VIP1对1专业团队高效提分1§2.1圆【知识点总结】一、圆的定义在一个平面内，线段OA绕它的一个端点O旋转一周，另一个端点A运动所形成的图形叫做圆，点O叫做圆心，线段OA叫做半径.以点O位圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”0圆可以看成是定点O的距离等于定长r的所有点组成的图形。例1：下列说法：①经过点P的圆又无数个；②以点P为圆心的圆有无数个；③半径为2cm且经过点P的圆有无数个；④以点P为圆心，2cm长为半径的圆又无数个，其中错误的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个二、点和圆的位置关系设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则点P在圆内d＜r点P在圆上d=r点P在圆外d＞r例2：在数轴上，点A所表示的实数为3，点B所表示的实数为a，⊙A的半径为2，则下列说法中，不正确的是（）A.当a＜5时，点B在⊙A内B.当1＜a＜5时，点B在⊙A内C.当a＜1时，点B在⊙A外D.当a＞5时，点B在⊙A外三、圆中的相关概念（1）连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径.（2）圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧.圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都在半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧（3）顶点在圆心的角叫做圆心角（4）圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆.能够互相重合的两个圆叫做等圆.同圆或等圆的半径相等.（5）在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧例3：下列说法中不正确的是：①直径是圆中最长的弦，弦是直径；②优弧大于劣弧，半圆是弧；③长度相等的两条弧是等弧；④圆心不同的圆不可能是等圆.【典例展示】题型一性质的简单应用例1：如图，点A、D、G、M在半圆O上，四边形ABOC、DEOF、HMNO均为矩形，设BC=a，EF=b，NH=c，则下列各式中正确的是（）A．a＞b＞cB．a=b=cC．c＞a＞bD．b＞c＞a题型二简单的证明题例2：如图，在□ABCD中，∠BAD为钝角，且AE⊥BC，AF⊥CD（1）试说明A、E、C、F四点共圆（2）设线段BD与（1）中的圆相交于点M、N，说明BM=ND文曦教育VIP1对1专业团队高效提分2题型三分类讨论题例3：某点到圆周上的最长距离为8cm，最短距离为6cm。求圆的半径题型四探索性试题例4：如图，矩形ABCD的边AB=3cm，AD=4cm（1）若以点A位圆心，4cm为半径作⊙A，则点B、C、D与⊙A的位置关系如何?（2）若以点A位圆心作⊙A，使B，C，D三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外，则⊙A的半径r的取值范围是什么？题型五计算题例5：如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB、CD的延长线相交于点E.已知AB=2DE，∠E=18°，求∠AOC的度数.题型六生活中的应用例6：某部队在灯塔的周围进行爆破作业，灯塔A周围3km内的水域为危险区域，有一渔船误入离A处2km的B处，为了尽快驶离危险区域，该船应沿哪条航线方向航行？为什么？题型七运动变化题例7：如图，AB是⊙O的直径，它把⊙O分成上下两个半圆，自上半圆上一点C作弦CD⊥AB，∠OCD的平分线交⊙O于点P，当C点在上半圆（不包括A、B两点）上运动时，试探求点P的位置.文曦教育VIP1对1专业团队高效提分3【误区警示】误点1审题不清，画错图形例1：设AB=2cm，画图说明：点A、B的距离都小于1.5cm的点的集合误点2忽视分类讨论，产生漏洞例2：如图，已知半径为5的⊙O，点O到弦AB的距离为3，则⊙O上到弦AB所在直线的距离为2的点有（）A.1个B.2个C.3个D.4个§2.2圆的对称性【知识点总结】一、圆的对称性圆是中心对称图形，圆心是对称中心圆是由旋转不变性，即圆围绕圆心旋转任何角度后，仍然与原来的圆重合圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴例1：如图是由一个圆和一个平行四边形组成的图形，要求画出一条直线，把圆与平行四边形的面积平分，应如何分割？请保留作图痕迹.二、圆心角、弧、弦之间的关系在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都相等.可简称为“等对等定理”或“三个概念的相等关系”例2：如图，AB、DE是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，⌒AD=弧CE，请探求并至少写出图中三对具有相等关系的量（除对顶角和半圆相等外）二、圆心角的度数与它所对的弧的度数关系1°的圆心角所对的弧叫做1°的弧.一般地，n°的圆心角对着的n°的弧，n°的弧对着n°的圆心角.圆心角的度数与它所对的弧的度数相等.例3：如图，在⊙O中，半径OC⊥AB，∠OAB=50°，求弧BC的度数.文曦教育VIP1对1专业团队高效提分4四、垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平方弦所对的弧.推广：一条直线：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦（不是直径）错误!未找到引用源。；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧，只要具备其中两个条件，就能推出其他三个.例4：如图，⊙O的弦AB垂直平分半径OC，若6AB,则⊙O的半径为【典例展示】题型一概念辨析题例1：下列说法：①圆是轴对称图形，每条直径都是它的对称轴；②垂直于弦的直线平分这条弦；③平分弦的直径垂直于这条弦；④在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的两条弧也相等，其中，不正确的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个题型二简单计算题例2：如图，DE是⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为C，若AB=6，CE=1，则OC=，CD=题型三几何说理题例3：如图，∠AOB=90°，C、D为⌒AB的三等分点，AB分别交OC、OD于点E、F，那么AE、CD、BF之间有什么数量关系？请说明你的理由.例4：如图，AB是⊙O的弦，半径OC、OD分别交AB于点E、F，且AE=BF，请你找出线段OE与OF的数量关系，并给予证明.题型四作图题例5：某居民小区一处圆柱形输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面．（1）请你补全这个输水管道的圆形截面；（2）若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm，水面最深地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径．文曦教育VIP1对1专业团队高效提分5题型五运动变化题例6：如图，⊙O的半径为5cm，C是⊙O内的一点，过点C的最短弦AB为8cm，（1）若P是弦AB上一动点，且点P与圆心O的距离为整数，这样的点P有几个？（2）如果最短弦AB的两端点在圆上滑动（AB弦长不变），那么弦AB的中点形成怎样的图形？题型六实际应用题例7：某地有一圆弧拱桥，桥下水面的宽度为7.2m，拱顶高出水面2.4m.现有一艘宽3m，船舱船舱顶部为长方形并高出水面2m的货船要经过这里，问此货船能顺利通过拱桥吗？【误区警示】误点1平行弦间的位置不清而导致错误例1：已知⊙O的半径为13cm，弦AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，则AB、CD之间的距离为（）A.17cmB.7cmC.12cmD.17cm或7cm误点2不能正确理解圆心角、弧与弦之间的关系例2：如图，在⊙O中，AB=2CD，那么（）A.⌒AB＞2⌒CDB.⌒AB＜2⌒CDC.⌒AB=2⌒CDD.⌒AB与2⌒CD大小关系不确定文曦教育VIP1对1专业团队高效提分6§2.3圆周角【知识点总结】一、圆周角的概念顶点在圆上，并且两边都相交的角的叫做圆周角例1：下列图形中，表示圆周角的是（填写序号）二、圆周角定理同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半例2：如图，OB是⊙O的半径，点C、D在⊙O上，∠DCB=27°，则∠OBD=°.三、圆周角与直径的关系（1）直径或半圆所对的圆周角是直角（2）90°的圆周角所对的弦是直径例3：如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=58°，则∠BCD的度数为（）A.116°B.32°C.58°D.64°【典例展示】题型一网格题例1：如图所示，⊙O的半径为5，圆心与坐标原点重合，在平面直角坐标系中，把横坐标、纵坐标都是整数的点称为格点.（1）写出⊙O上所有格点的坐标：（2）设l为经过⊙O上任意两个格点的直线.①满足条件的直线l共有多少条？②求直线l同时经过第一、二、四象限的概率．题型二计算题例2：（1）如图①，D为AC上一点，O为边AB上一点，AD=DO，以O为圆心，OD长为半径作圆，交AC于点F、G，连接EF.若∠BAC=32°，则∠EFG=（2）如图②，ABC内接于⊙O，若∠B=30°，AC=3，则⊙O半径为.①②③④⑤ABC文曦教育VIP1对1专业团队高效提分7题型三探究题例3：如图，点A、B、D、E在圆上，弦AE的延长线于弦BD的延长线交于点C.给出下列三个条件：（1）AB是圆的直径；（2）D是BC的中点；（3）AB=AC．请在上述条件中选择两个作为已知条件，第三个作为结论，写出一个你认为正确的命题，并加以证明．例4：如图，A、B、C三点都在⊙O上，BE是⊙O的直径，AD是△ABC的高.（1）现在不添加任何线或角的情况下，图中除直角外，还有相等的角吗？如果有，请写出来并加以说明；没有请说明理由（2）如果⊙O的半径R=4cm，AD=6cm，求AB·AC的值题型四操作探索题例5：如图∠APC的顶点在圆外，两边与圆相交，称它为圆外角.（1）请你按以下步骤操作：①在图①内，连接OA、OD；②用量角器测出下列各角的度数.∠APC=，∠AOC=,∠DOE=.(精确到1°)（2）根据上面的数据猜想：∠APC与∠AOC、∠DOE之间有什么数量关系？（3）证明你的猜想；（4）如图②、③，若点O不在PC上，则（2）的结论成立吗？请说明理由.（5）用语言描述你的发现.①②③文曦教育VIP1对1专业团队高效提分8题型五学科内综合题例6：如图，在锐角△ABC中，AC是最短边，以AC中点C为圆心，AC21长为半径作⊙O，交BC于点E，过O作OD∥BC交⊙O于点D，连接AE、AD、DC.【误区警示】误点1忽视圆心角，圆周角2倍关系的前提例1：如图，在⊙O中，AB、AC是弦，O在∠BAC的内部，∠AOB=α，∠AOC=β，∠BOC=θ，下列关系式中正确的是（）A.θ=α+βB.θ=2α+2βC.α+β+θ=180°D.α+β+θ=360°误点2忽视圆中不是直径的弦所对的圆周角有两种类型例2：如果圆的弦等于半径，那么这条弦所对的圆周角的度数等于文曦教育VIP1对1专业团队高效提分9§2.4确定圆的条件【知识点总结】一、确定圆的条件不在同一条直线上的三点确定一个圆例1：平面上有A、B、C三点，若经过这三点画圆，则可以画（）A.0个B.1个C.0个或1个D.无数个二、三角形的外接圆三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，这个三角形叫做这个圆的内接三角形，这个圆的圆心叫做三角形的外心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等例2：如图，正方形ABCD是⊙O的内接正方形，P是劣弧AB上不同于点B的任意一点，则∠BPC的度数为【典例展示厅】题型一网格题例1：小英家的圆形桌子被打碎了，她拿了如图所示（网格中的每个小正方形的边长为1）的一块碎片到玻璃片到玻璃店。配成形状、大小与原来一致的镜面，则这个镜面的半径是（）A.2B.5C.22D.3题型二辨析题例2：下列说法中不正确的是（）A.三点确定一个圆B.任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形C.三角形的外心是三角形三条角平分线的交点D.三角形的外心道三个顶点的距离相等题型三开放题例3：如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC=50°，点P在AO上（点P不与A、O重合），则∠BPC可能为（写出一个即可）题型四探索题例4：在⊙O的内接四边形ABCD中，AD∥BC，试探索四边形ABCD的形状，并说明理由.文曦教育VIP1对1专业团队高效提分10题型五证明题例5：如图，△ABC内接于⊙O，高BE、AD相交于点P，延长BE、AD，分别交⊙O于点M、N，求证：（1）PE=ME，PD=ND;(2)点C是△PMN的外心题型六操作探索题例6:我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆，例如线