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3．匀变速直线运动的位移与时间的关系一、匀速直线运动的位移1．做匀速直线运动的物体在时间t内的位移x＝____.2．做匀速直线运动的物体，其v－t图象是一条平行于___________的直线，其位移在数值上等于v－t图线与对应的时间轴所包围的矩形的_________．如图所示．vt时间轴面积二、匀变速直线运动的位移1．位移在v－t图象中的表示：做匀变速直线运动的物体的位移对应着v－t图象中的图线和___________包围的面积．如图所示，在0～t时间内的位移大小等于_________的面积．时间轴梯形2．位移公式：x＝_____________(1)公式中x、v0、a均是_________，应用公式解题应先根据正方向明确它们的正、负值．(2)当v0＝0时，x＝12at2，表示初速度为零的匀加速直线运动的________与时间的关系．(3)当a＝0时，x＝v0t，表示___________运动的位移与时间的关系．v0t＋12at2矢量位移匀速直线三、用图象表示位移1．x－t图象的建立2．利用x－t图象判断物体的运动情况(1)图甲中，位移不随时间变化，表示物体静止．(2)图乙中，位移随时间均匀增加，表示物体做匀速直线运动，图线的斜率表示速度．(3)图丙中，位移随时间先均匀增加，再不变，最后均匀减小，表示物体先做匀速直线运动，后静止，接着反向做匀速直线运动．3.由位移公式x＝v0t＋12at2可以看出，x是t的二次函数．当v0＝0时，匀变速直线运动的x－t图象是顶点在坐标原点的抛物线的一部分，如图所示．对位移公式x＝v0t＋12at2的理解及应用1．物理意义：位移的正负反映了位移随时间的变化规律．2．因为v0、a、x均为矢量，使用公式时应先规定正方向，一般以v0的方向为正方向．若a与v0同向，则a取正值；若a与v0反向，则a取负值；若位移计算结果为正值，说明这段时间内位移的方向为正；若位移计算结果为负值，说明这段时间内位移的方向为负．3．公式的适用条件公式适用于匀变速直线运动．4．公式的特殊形式(1)当a＝0时，x＝v0t(匀速直线运动)．(2)当v＝0时，x＝12at2(由静止开始的匀加速直线运动)．一小球沿斜面由静止开始匀加速滚下(斜面足够长)，已知小球在第4s末的速度为4m/s.求：(1)第6s末的速度；(2)前6s内的位移；(3)第6s内的位移．思路点拨：规范解答∥解：(1)由v1＝at1得：a＝v1t1＝44m/s2＝1m/s2，所以第6s末的速度v2＝at2＝1×6m/s＝6m/s.(2)前6s内位移x1＝12at22＝12×1×62m＝18m.(3)前5s内位移x2＝12at23＝12×1×52m＝12.5m.第6s内位移为x3＝x1－x2＝18m－12.5m＝5.5m.答案：(1)6m/s(2)18m(3)5.5m【反思领悟】(1)x＝v0t＋12at2是矢量式，应用时x、v0、a都要根据选定的正方向带上“＋”、“－”号．(2)此公式只适用于匀变速直线运动，对非匀变速直线运动不适用．1－1飞机在跑道上匀加速滑行起飞，滑行时间为20s，滑行距离为1200m，求：(1)飞机的加速度；(2)飞机起飞时的速度．解析：(1)由位移公式x＝12at2得a＝2xt2＝2×1200202m/s2＝6m/s2.(2)由速度公式v＝at，得v＝6×20m/s＝120m/s.答案：(1)6m/s2(2)120m/s汽车刹车类问题的分析汽车刹车类问题属于单向的匀减速直线运动问题，一定要注意运动物体通过多长时间停止运动，如果不弄清这个问题，就会乱套公式，解出错误的结果．单向匀减速直线运动的运动时间的取值范围为t≤v0a.在求解这类问题时，也可以采用“逆向法”，将汽车的刹车过程反过来看，就是初速度为零的匀加速直线运动，故可由x＝12at2求解．当然，这种解法的前提，仍然要对汽车刹车后的运动总时间作出正确的判断．一辆卡车紧急刹车过程加速度的大小是5m/s2，如果在刚刹车时卡车的速度为10m/s，求：(1)刹车开始后1s内的位移大小．(2)刹车开始后3s内的位移大小．解析：(1)x＝v0t1－12at21解得x＝7.5m.(2)设经时间t0停下t0＝0－v0a＝0－10－5s＝2st2＝3s的位移大小等于前2s内的位移大小x2＝v0t0－12at20＝10m答案：(1)7.5m(2)10m2－1以20m/s速度行驶的汽车，制动后以5m/s2的加速度做匀减速运动．则汽车在制动后的5s内的位移是()A．45mB．37.5mC．50mD．40m解析：汽车运动时间t＝va＝4s＜5s，则x＝12at2＝12×5×42m＝40m，故D对．答案：D3．匀变速直线运动的推论及其应用1．两个重要推论(1)平均速度：做匀变速直线运动的物体在一段时间t内的平均速度等于这段时间的中间时刻的瞬时速度，还等于这段时间初末速度代数和的一半，即v＝vt2＝v0＋v2.(2)推导过程：即匀变速直线运动的平均速度等于初、末速度的算术平均值，也等于中间时刻的瞬时速度．(3)适用条件：仅适用于匀变速直线运动．(4)匀变速直线运动的位移又可表示为x＝vt＝v0＋v2t，此式不涉及加速度，可灵活运用，简化运算．(5)逐差相等：在任意两个连续相等的时间间隔T内，位移之差是一个常量，即Δx＝xⅡ－xⅠ－aT2.推导：时间T内的位移x1＝v0T＋12aT2①在时间2T内的位移x2＝v02T＋12a(2T)2②则xⅠ＝x1，xⅡ＝x2－x1③由①②③得Δx＝xⅡ－xⅠ＝aT2此推论经常在根据纸带求物体的加速度时使用．2．初速度为零的匀加速运动的几个比例关系(1)速度比例(连续相等时间)1T末、2T末、3T末…的速度之比v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶2∶3∶…∶n(2)位移比例(连续相等时间)第一个T内，第二个T内，第三个T内…的位移之比xⅠ∶xⅡ∶xⅢ∶…∶xN＝1∶3∶5∶…∶(2N－1)．(3)时间比例(连续相等位移)通过连续相等的位移所用的时间之比t1∶t2∶t3∶…∶tn＝1∶(2－1)∶(3－2)∶…∶(n－n－1)．一物体做匀变速直线运动，在连续相等的两个时间间隔内，通过的位移分别是24m和64m每一个时间间隔为4s，求物体的初速度和末速度及加速度．思路点拨：画示意图―→找特点―→选公式―→列方程组―→求解解析：其运动过程如图所示，物体由A经B到C其中B是中间时刻．解法一基本公式法：如图所示，由位移公式得x1＝vAT＋12aT2①x2＝vA·2T＋12a(2T)2－(vAT＋12aT2)②vC＝vA＋a·2T③将x1＝24m，x2＝64m，T＝4s代入，解得a＝2.5m/s2，vA＝1m/s，vC＝21m/s.解法二用平均速度公式法．连续两段时间T内的平均速度公别为：v1＝x1T＝244m/s＝6m/s，v2＝x2T＝644m/s＝16m/s.由于B是A、C的中间时刻，则v1＝vA＋vB2，v2＝vB＋vC2，又vB＝vA＋vC2＝v1＋v22＝6＋162m/s＝11m/s.解得vA＝1m/s，vC＝21m/s.其加速度为：a＝vC－vA2T＝21－12×4m/s2＝2.5m/s2.解法三用逐差法．由Δx＝aT2可得a＝ΔxT2＝64－2442m/s2＝2.5m/s2①又x1＝vAT＋12aT2②vC＝vA＋a·2T③由①②③解得：vA＝1m/s，vC＝21m/s.答案：1m/s21m/s25m/s【反思领悟】匀变速直线运动的规律可以用多个公式进行描述，所以选择不同的公式时所对应的方法也不尽相同．在一般情况下，若出现相等的时间间隔及所对应的位移，应优先考虑应用Δx＝aT2的推论求解，这种解法一般更简捷．但一定要注意Δx＝aT2的使用条件是“连续相等时间”．〔思考与讨论〕——P37一次课上，老师……点拨：时间越短，平均速度越接近于某时刻的瞬时速度，其误差会越小．〔思考与讨论〕——P40运用初中数学中学到的一次函数和二次函数……点拨：位移与时间的关系为x＝v0t＋12at2，x－t图象一定是一条曲线，如图所示．不同时刻所对应图象上点的斜率等于该时刻速度的大小，由v＝v0＋at知，速度不断增大，图象斜率也是不断增大．该图象描述的是匀变速直线运动的物体位移随时间的变化情况，可以认为t1时刻对应的位移为x1，t2时刻对应的位移为x2，物体相当于在x轴上运动，曲线上各点的坐标分别对应着时刻和位移．位移—时间图象反映的是物体的位移随时间的变化规律，图象不是运动轨迹．1．关于匀加速直线运动，下列说法正确的是()A．位移与时间的平方成正比B．位移总是随时间的增加而增加C．加速度、速度、位移三者方向一致D．加速度、速度、位移的方向并不是都相同解析：物体做加速运动，则速度的方向和加速度的方向相同，并且做单方向的直线运动，相对出发点来说，位移的方向与初速度的方向一致，C正确．由位移公式x＝v0t＋12at2可知，当初速度不等于零时，位移与时间的平方不成正比，只有初速度为零时才成正比．因此B正确，A不正确．答案：BC2．做匀减速直线运动的物体经4s停止，若在第1s内的位移是14m，则最后1s内位移是()A．3.5mB．2mC．1mD．0解析：利用“逆向推理法”，把物体的运动看成逆向的初速度为零的匀加速直线运动，则相等时间内的位移之比为7∶5∶3∶1，所以71＝14mx1，x1＝2m．故选B.答案：B3．某质点做直线运动的速度v和时间t的关系如图所示，那么该质点在3s内通过的位移是()A．4.5mB．3mC．1mD．0.5m解析：图线与坐标轴围成图形的“面积”，即为位移大小．答案：A4．山地滑雪是人们喜爱的一项体育运动，一个滑雪的人从85m长的山坡上匀变速滑下，初速度是1.8m/s，末速度是5.0m/s，则他通过这段山坡需要多长时间？解析：因滑雪的人沿山坡匀变速滑下，我们可以认为他的运动是直线，由vt＝v0＋at可得at＝vt－v0，代入x＝v0t＋12at2得x＝v0t＋12(vt－v0)t＝12(v0＋vt)t，解得t＝2xv0＋vt＝25s.答案：25s5．某市规定，车辆在市区内行驶的速度不得超过40km/h，有一辆车遇到紧急情况而刹车，经1.5s停止，量得路面刹车的痕迹长为x＝9m，问这辆车是否违章(刹车后做匀减速运动)?解析：本题隐含了末速度为零的条件，求出初速度就可以判定．由于汽车刹车后做匀减速运动，则平均速度v＝v0＋v2，又因为位移x＝vt，所以9＝v0＋02×1.5，解得v0＝12m/s＝43.2km/h＞40km/h.因此该辆车违章行驶．答案：违章