函数的微分及其应用

§5函数的微分及其应用微分定义微分与导数微分的几何意义微分公式与运算法则微分的简单应用一.微分的概念实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量.20xA0x0x,00xxx变到设边长由,20xA正方形面积2020)(xxxA.)(220xxx)1()2(;,的主要部分且为的线性函数Ax.,很小时可忽略当的高阶无穷小xx:)1(:)2(xxxx0xx02)(x既容易计算又是较好的近似值问题:这个线性函数(改变量的主要部分)是否所有函数的改变量都有?它是什么?如何求?.),(,)(,)(),()()()(,,)(000000000xAdyxdfdyxxxfyxAxxfyxAxoxAxfxxfyxxxxfyxxxx即或记作的微分相应于自变量增量在点为函数并且称可微在点则称函数无关的常数是与其中成立如果在这区间内及在某区间内有定义设函数定义:.的线性主部叫做函数增量微分ydy(微分的实质)由定义知:;)1(的线性函数是自变量的改变量xdy;)()2(高阶无穷小是比xxodyy;,0)3(是等价无穷小与时当ydyAdyyxAxo)(1).0(1x;)(,)4(0有关和但与无关的常数是与xxfxA).(,)5(线性主部很小时当dyyx二.微分与导数(differential&derivative)定理：00()()yfxxfxx函数在可微在可导。.可微可导证:“必要性”已知在点可微,则)()(00xfxxfy))((limlimxxoAxyxx00A故)(xoxA在点的可导,且.)(),(,,)(xxfdyxdfdyxxfy即或记作微分称为函数的的微分在任意点函数“充分性”已知)(lim00xfxyx)(0xfxy)lim(00xxxxfy)(0故)()(xoxxf0线性主部即xxfy)(d0在点的可导,则,,.xxdxdxx通常把自变量的增量称为自变量的微分记作即.)(dxxfdy).(xfdxdy..微商导数也叫该函数的导数之商等于与自变量的微分即函数的微分dxdy微分与导数的本质区别：3.导数多用于理论研究，微分多用于近似计算。的增量；是切线对导数是切线斜率，微分x.1有关；也与有关，切有关，而微分不仅与是导数只与xxx.2数的微分：很容易求出基本初等函利用dxxfdy)(;cos)(sinxdxxd;1||lndxxxd;0)(Cd;sec)(tan2xdxxd.11)(arcsin2dxxxd;)(1dxxxd三.微分的几何意义几何意义:(如图).,对应的增量就是切线纵坐标坐标增量时是曲线的纵当dyy)(xfy0xMNTdyy)(xo）xyoxxx0P,,.xMMPMN当很小时在点的附近切线段可近似代替曲线段四.微分公式与运算法则1.公式：dxxfdy)(xdxxxdxdxxxdxdxxdxdxxdxdxxdxdxxddxxxdCdcotcsc)(csctansec)(seccsc)(cotsec)(tansin)(coscos)(sin)(0)(221dxxxarcddxxxddxxxddxxxddxxxddxaxxddxeedadxaadaxxxx222211)cot(11)(arctan11)(arccos11)(arcsin1)(lnln1)(log)(ln)(2.法则：2)()()()(vudvvduvududvvduuvdCduCuddvduvud1).四则运算法则;)(,)1(dxxfdyx是自变量时若则函数的可微即另一变量是中间变量时若),(,)2(txtx),()(xfxfy有导数设函数dttxfdy)()(,)(dxdtt.)(dxxfdy结论：,()xyfx无论是自变量还是中间变量函数的微分形式总是微分形式的不变性dxxfdy)(2).复合运算法则;)1ln(.12dyxxy，求例解:22111xxxxy,112x.112dxxdxydy例2.已知求解：因为所以；求例dybxeyax,cos3.解:)cos(bxeddyax)(cos)(cosbxdedebxaxax)()sin()(cosbxdbxeaxdebxaxaxbxdxbebxdxaeaxaxsincosdxbxbbxaeax)sincos(;arctan)(),(4.的微分处可微，求在设例vuyxxvxu解:)(arctanvuddy)()(arctanvudvudxvuvu2211dxvvuvuvuv2222dxvuvuvu2222vudxvudxuv22vuudvvdu;15.22dyxyyx，求设例解:0)(22xyyxd对等式两边求微分，有)(22xyyxddyxyxdxxyy)()(22220dxxyxxyydy2222)()(xydydxyxydxdyx2222的微分；求例11.622xxy解:dxxxdy1122,1122xxu令112122xxdudxxxxxxu22221121221)()()(dxxxxx22221211)(duudy)(dxxxx1)1(22232的微分。函数所确定的求由方程例)()ln()(2.7xyyyxyxxy解:yxdydxyxyxdydxdxdy)()ln()(2)ln()(yxdydxdxdy23.)ln()ln(dxyxyxdy32dxyxyxdy)]ln([)]ln([23五.微分的简单应用1.近似计算;)().10附近的近似值在点求xxxf)()(00xfxxfy.)(0xxf.)()()(000xxfxfxxf)(很小时x.)0()0()(xffxf.,00xxx令;0)().2附近的近似值在点求xxf的近似值；计算例2160ocos1.解:)cos(cos1806012321600)cos(10800123,3sin)(,3cos)(00xfxf，则令108001230xxxxf,,cos)(10800123321600sincoscos108001223214970.nxxxxxexnx1111，，几个近似公式：例sin||2.5250计算解:xeeex00x1xxnxxxnxnn0110111111)()()(xxxxxx00|cos|sinsinnx1xxxxxx001111||)ln()ln(x5553713250)(53751132.误差计算方面的应用由于测量仪器的精度、测量的条件和测量的方法等各种因素的影响，测得的数据往往带有误差，而根据带有误差的数据计算所得的结果也会有误差，我们把它叫做间接测量误差.定义：.,,的绝对误差叫做那末为它的近似值如果某个量的精度值为aaAaA.的相对误差叫做的比值而绝对误差与aaaAa绝对误差——|||)(|||)(xxfyxxfdyyAbsoluteerrorRelativeerror相对误差——||)()(xxfxfydyyy，则即，若已知量测最大误差为||.x1)()(||)()(|)(||||)(|||xfxfxxfxfyyxfxxfy，即的最大绝对误差为若已知y.2|||)(|||xxfy|)(|||xfx的限度为则||x|)(|xfyy的相对误差为则x)()(||1xfxfxxx，即的最大相对误差为若已知yydyyy||)()(xxfxf)()(||xfxfx21.0.121.5cmrcmAr例设测量圆的半径时，最大绝对误差为，测得的值为，问：用公式计算圆的面积时，它的最大绝对误差和最大相对误差各是多少？解:0.1cm|r||||)(|||rrAA2cm...34105212|||.rrr5212||.rrrAAr5212210521432.).(%..9302.1%例测量一正方体的边长，其准确程度应如何，方能使计算的体积之相对误差不超过？解:%,1VdVVVdxxdVxV233,%1||xxxVdV323%||||13xx%||||113xxxx最大相对误差为%.30.1%%.误差不超过，方能使体积的相对边长相对误差不超过30微分学所要解决的两类问题:函数的变化率问题函数的增量问题求导数与微分的方法,叫做微分法.研究微分法与导数理论及其应用的科学,叫做微分学.导数与微分的联系:.可微可导微分的概念导数的概念Hw：p1281,2(3,5,7,9),3(1,3,5),6,7(1,3,5),9.