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2017年全国初中数学联合竞赛试题初二卷第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1.已知实数a,b,c满足2a+13b+3c=90，3a+9b+c=72，则32bcab的值为（）.A.2B.1C.0D.-12.已知实数a,b,c满足a+b+c=1，1110135abc，则(a+1)2+(b+3)2+(c+5)2的值为（）.A.125B.120C.100D.813.若正整数a,b,c满足a≤b≤c且abc=2(a+b+c)，则称(a,b,c)为好数组.那么好数组的个数为（）.A.4B.3C.2D.14.已知正整数a,b,c满足a2-6b-3c+9=0，-6a+b2+c=0，则a2+b2+c2的值为（）.A.424B.430C.441D.4605.梯形ABCD中，AD∥BC，AB=3，BC=4，CD=2，AD=1，则梯形的面积为（）.A.1023B.1033C.32D.336.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，点E在AB上，若AE=42，BE=28，BC=70，∠DCE=45°，则DE的值为（）.A.56B.58C.60D.62二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）7.使得等式311aa成立的实数a的值为________.8.已知△ABC的三个内角满足A＜B＜C＜100°.用θ表示100°-C,C-B,B-A中的最小者，则θ的最大值为________.9.设a,b是两个互质的正整数，且38abpab为质数.则p的值为________.10.20个都不等于7的正整数排成一行，若其中任意连续若干个数之和都不等于7，则这20个数之和的最小值为________.第二试一、（本题满分20分）设A,B是两个不同的两位数，且B是由A交换个位数字和十位数字所得，如果A2-B2是完全平方数，求A的值.二、（本题满分25分）如图，△ABC中，D为BC的中点，DE平分∠ADB，DF平分∠ADC，BE⊥DE，CF⊥DF，P为AD与EF的交点.证明：EF=2PD.三、（本题满分25分）已知a,b,c是不全相等的正整数，且55abbc为有理数，求222abcabc的最小值.2017年全国初中数学联合竞赛试题初二卷参考答案第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1.已知实数a,b,c满足2a+13b+3c=90，3a+9b+c=72，则32bcab的值为（）.A.2B.1C.0D.-1答案：B对应讲次：所属知识点：方程思路：因为所求分式的特点可以想到把a+2b，3b+c看成一个整体变量求解方程.解析：已知等式可变形为2(a+2b)+3(3b+c)=90，3(a+2b)+(3b+c)=72，解得a+2b=18，3b+c=18，所以312bcab.2.已知实数a,b,c满足a+b+c=1，1110135abc，则(a+1)2+(b+3)2+(c+5)2的值为（）.A.125B.120C.100D.81答案：C对应讲次：所属知识点：方程思路：可以想到换元法.解析：设x=a+1，y=b+3，z=c+5，则x+y+z=10，1110xyz，∴xy+xz+yz=0，由x2+y2+z2=(x+y+z)2-2(xy+xz+yz)=100.则(a+1)2+(b+3)2+(c+5)2=100.3.若正整数a,b,c满足a≤b≤c且abc=2(a+b+c)，则称(a,b,c)为好数组.那么好数组的个数为（）.A.4B.3C.2D.1答案：B对应讲次：所属知识点：数论思路：先通过a≤b≤c且abc=2(a+b+c)的限定关系确定可能的种类，再通过枚举法一一验证.解析：若(a,b,c)为好数组，则abc=2(a+b+c)≤6c，即ab≤6，显然a=1或2.若a=1，则bc=2(1+b+c)，即(b-2)(c-2)=6，可得(a,b,c)=(1,3,8)或(1,4,5)，共2个好数组.若a=2，则b=2或3，可得b=2,c=4；b=3,c=52，不是整数舍去，共1个好数组.共3个好数组(a,b,c)=(1,3,8)(1,4,5)(2,2,4).4.已知正整数a,b,c满足a2-6b-3c+9=0，-6a+b2+c=0，则a2+b2+c2的值为（）.A.424B.430C.441D.460答案：C对应讲次：所属知识点：方程思路：由已知等式消去c整理后，通过a,b是正整数的限制，枚举出所有可能，并一一代入原方程验证，最终确定结果.解析：联立方程可得(a-9)2+3(b-1)2=75，则3(b-1)2≤75，即1≤b≤6.当b=1,2,3,4,5时，均无与之对应的正整数a；当b=6时，a=9，符合要求，此时c=18，代入验证满足原方程.因此，a=9，b=6，c=18，则a2+b2+c2=441.5.梯形ABCD中，AD∥BC，AB=3，BC=4，CD=2，AD=1，则梯形的面积为（）.A.1023B.1033C.32D.33答案：A对应讲次：所属知识点：平面几何思路：通过作平行四边形把边长关系转化到一个三角形中来.解析：作AE∥DC，AH⊥BC，则ADCE是平行四边形，则BE=BC-CE=BC-AD=3=AB，则△ABE是等腰三角形，BE=AB=3，AE=2，经计算可得423AH.所以梯形ABCD的面积为14210214233.6.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，点E在AB上，若AE=42，BE=28，BC=70，∠DCE=45°，则DE的值为（）.A.56B.58C.60D.62答案：B对应讲次：所属知识点：平面几何思路：补形法，把直角梯形先补成正方形，再利用旋转把边长关系转化到同一个三角形Rt△EAD中去，利用勾股定理求解.解析：作CF⊥AD，交AD的延长线于点F，将△CDF绕点C逆时针旋转90°至△CGB，则ABCF为正方形，可得△ECG≌△ECD，∴EG=ED.设DE=x，则DF=BG=x-28，AD=98-x.在Rt△EAD中，有422+(98-x)2=x2，解得x=58.二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）7.使得等式311aa成立的实数a的值为________.答案：8对应讲次：所属知识点：方程思路：通过等式两边都6次方可以去掉最外面根式，再用换元法化简等式，最后要验证结果是否满足最初的等式.解析：易得3211aa.令1xa，则x≥0，代入整理可得x(x-3)(x+1)2=0，解得x1=0,x2=3,x3=-1，舍负，即a=-1或8，验证可得a=8.8.已知△ABC的三个内角满足A＜B＜C＜100°.用θ表示100°-C,C-B,B-A中的最小者，则θ的最大值为________.答案：20°对应讲次：所属知识点：代数思路：一般来说，求几个中最小者的最大值时，就是考虑这几个都相等的情况.解析：∵θ≤100°-C，θ≤C-B，θ≤B-A∴θ≤16［3（100°-C）+2(C-B)+(B-A)］=20°又当A=40°,B=60°,C=80°时，θ=20°可以取到.则θ的最大值为20°.9.设a,b是两个互质的正整数，且38abpab为质数.则p的值为________.答案：7对应讲次：所属知识点：数论思路：因为p是质数，只能拆成1和p，另一方面通过a+b、a、b两两互质来拆分38abab的可能种类，最后分类讨论，要么与条件矛盾，要么得出结果.解析：因为a,b互质，所以a+b、a、b两两互质，因为38abab质数，所以318abpab可得a=b=1，p=4，不是质数舍；381abpab可得a=7，b=1，p=7，符合题意.则p=7.10.20个都不等于7的正整数排成一行，若其中任意连续若干个数之和都不等于7，则这20个数之和的最小值为________.答案：34对应讲次：所属知识点：数论思路：考虑1,1,1,1,1,1,8,1,1,1,1,1,1,8,1,1,1,1,1,1满足题设要求，其和为34，接下来只需要考虑该数列是否为和最小的数列.解析：设该正整数列为20,*nannN，考虑16,,,14,*kkkiiikikaaakkN，依抽屉原理必然有两项模7的余数相同，则该两项的差是7的倍数，于是任意连续7项之中必有连续子列之和为7的倍数，又不能为7，则最小为14.于是20个数中至少有2组这样的子列其总和不小于28，剩下6个数之和不小于6，于是该数列之和不小于34.由1,1,1,1,1,1,8,1,1,1,1,1,1,8,1,1,1,1,1,1可知，存在数列和为34的情况.第二试一、（本题满分20分）设A,B是两个不同的两位数，且B是由A交换个位数字和十位数字所得，如果A2-B2是完全平方数，求A的值.答案：65对应讲次：所属知识点：数论思路：对于需要考虑不同位数上数字的情况，可以把一个两位数ab设为10a+b，转为为代数问题，再利用完全平方数的质因数分解式也是以完全平方数对的形式出现，综合分析所有限定下可能性，最终确定结果.解析：设A=10a+b(1≤a,b≤9,a,b∈N)，则B=10b+a，由A,B不同得a≠b，A2-B2=（10a+b）2-(10b+a)2=9×11×（a+b）(a-b).………5分由A2-B2是完全平方数，则a＞b，11|abab，可得a+b=11，………10分a-b也是完全平方数，所以a-b=1或4.………15分若a-b=1，则a=6，b=5；若a-b=4，则没有正整数解.因此a=6，b=5，A=65.………20分二、（本题满分25分）如图，△ABC中，D为BC的中点，DE平分∠ADB，DF平分∠ADC，BE⊥DE，CF⊥DF，P为AD与EF的交点.证明：EF=2PD.对应讲次：所属知识点：平面几何思路：因为EF、PD都在△DEF中，所以想办法推出其性质，比较容易得出∠EDF=90°，此时若能得出EF=PD，则自然可以得到结论.解析：由DE平分∠ADB，DF平分∠ADC，可得∠EDF=90°.………5分由BE⊥DE得BE∥DF，则∠EBD=∠FDC.………10分又BD=DC，∠BED=∠DFC=90°，则△BED≌△DFC，BE=DF.………15分得四边形BDFE是平行四边形，∠PED=∠EDB=∠EDP，EP=PD.………20分又△EDF是直角三角形，∴EF=2PD.………25分三、（本题满分25分）已知a,b,c是不全相等的正整数，且55abbc为有理数，求222abcabc的最小值.答案：3对应讲次：所属知识点：数论思路：通过a,b,c是正整数，可以把有理部分和无理部分分离考虑.注意到50bc，可以通过分母有理化来实现分离，再利用a,b,c互不相等，从最小正整数开始讨论即可得出最小值.解析：50bc，由2222255555555abbcabbcbacabbcbcbc是有理数，可得b2=ac.…10分22222acbabcacbabcacb.………15分不妨设a＜c，若a=1，c=b2，因为a≠b，则a+c-b=1+b(b-1)≥3，取等号当且仅当b=2时.………20分若a≥2，因为c≠b≠1，则a+c-b=a+b(b-1)≥a+2≥4＞3.所以222abcabc的最小值为3，当a=1，b=2，c=4时.………25分