2-有限差分法

1第2讲有限差分法FiniteDifferenceMethod2提纲一、有限差分法基本概念二、泊松方程的有限差分格式三、差分方程组求解四、工程应用第2讲有限差分法有限差分法求解的问题：微分方程、偏微分方程、高阶线性方程、高阶非线性方程，等等.一、有限差分法基本概念差分和微分xxfxf)(ddhx一阶差分hxfhxfxxf)()()(前向差分hhxfxfxxf)()()(后向差分hhxfhxfxxf)2()2()(中心差分精度：222d)(d!21d)(d)()(xxfhxxfhxfhxf222d)(d!21d)(d)()(xxfhxxfhxfhxf333d)(d!32d)(d2)()(xxfhxxfhhxfhxf一阶精度,O(h2)一阶精度,O(h2)二阶精度,O(h3)一、有限差分法基本概念二阶差分精度：O(h4)，三阶阶精度444222d)(d!42d)(d)(2)()(xxfhxxfhxfhxfhxf22)(xxf2)()(2)(hhxfxfhxfxxfhxfx)()(1))()()()((1hhxfxfhxfhxfx中心差分（前向差分）一、有限差分法基本概念偏微分的差分例题求hyxfyhxfxxffx),(),()(0000前向差分的中心差分逼近),()],(),([2222yxfyxxyxx),(]22[21,1,2,1,1iijiijjijiijjiyxfyx),(jiijyx解：令),(,1jijiyhx),(1,hyxjiji一、有限差分法基本概念得：有限差分法求解问题的步骤第一步：将求解场域离散化第二步，写出场域内偏微分方程及其边界上（包括场域内不同介质分界面上的差分格式）第三步，编程计算，迭代运算或者求解方程组一、有限差分法基本概念泊松方程：f2二、泊松方程的有限差分格式第一类边界条件:已知整个边界上的位函数，又叫Dirichlet(狄里赫利)问题。第二类边界条件：已知整个边界上的位函数的法向导数，即已知导体表面上的面电荷密度，又叫Neumann（诺埃曼）问题。第三类边界条件：已知一部分边界上的位函数，另一部分边界上的位函数的法向导数。又叫混合型边值问题，或拉宾问题。)(|pgC)(pgnCfyx2222（1）场域离散化xyoCD1h2h3h4h一阶偏导数的差分格式（P.23）二、泊松方程的有限差分格式)(2)(3310xxhOhxxhhh31二阶精度,O(h3)二阶偏导数的差分格式（P.23-23）)(2)(22301022xxhOhx一阶精度,O(h2))(2)(22402022yyhOhy泊松方程的差分格式二、泊松方程的有限差分格式02402230122fhhyx在任意一点上jijijijiyjijijixfhh,1,,1,2,1,,12)2(1)2(1——泊松方程的五点差分格式当hx=hy时jijijijijijifh,2,1,1,,1,14拉普拉斯方程的差分格式04,1,1,,1,1jijijijiji柱坐标系中拉普拉斯方程的差分格式，式（2.40）——作业（2）（3）介质分界面上的差分格式(P.25)式（2.43）二、泊松方程的有限差分格式角点介质分界面上的差分格式，式（2.44）介质与导体分界面的差分格式？第一类边界条件的差分格式——P.27第二、第三类边界条件的差分格式——P.28有源区域和无源区域分界面上的差分格式二、泊松方程的有限差分格式A区虚构点利用边界条件：，2ab02B区04204321aaaaaah0404321bbbbb4422,baba)()(3131bbbaaa若0214203421hbabbbba则——与泊松方程的五点差分格式相似由以上四式得：0)42()42(042120423bbbbbaabbaah二、泊松方程的有限差分格式（4）其他形式网格情况二、泊松方程的有限差分格式正三角形六点式六边形三点式正方形九点式013246501320132457680)3(3403212h三、差分方程组求解P.32直接求解线性方程组结点N500迭代法求解线性方程组高斯-赛德尔迭代法求解线性方程组超松弛迭代法求解线性方程组return四、工程应用P.34有限差分法求解问题的步骤有限差分法求解问题的流程图1,Nji||||,,1,NjiNjiNji四、工程应用举例四、工程应用9132457684×4个网格，9个内结点，16个边界点内点差分方程0421261226h点1：042211335h点2：……0429841820h点9：举例四、工程应用差分方程组/////////410001000141010000014100000001410001010141010100014100000001410000100141001000014220182212242221522172141621322612987654321hhhhhhhh差分格式的收敛性和稳定性简化分析：以一个自变量的单步迭代法为例),,(1hyxhyynnnn其截断误差),,()(1hyxhyyhdnnnnn00,hhbxa由误差的泰勒展开式，如果：1|)(|KnDhhd0,0为整数且KD则称为K阶方法。（5）（6）（7）——收敛性若迭代公式中ψ（x,y,h)在定义域内连续，并且关于y满足利普希茨（Lipschitz）条件：|||),,(),,(|zyLhzxhyx若截断误差满足式（7），则单步法迭代公式的误差估计式为：在具体计算时步骤中出现的误差对结果的影响（8）0,)(|)(|0|,)(|1|)(|00)()(111LhabDyayLyayeLeDhyxyKabLabLKnnn稳定性作业用有限差分法求求解下列问题一理想导体长矩形管，两边长度分别为a、b，管内为空气，管壁电位分布如图所示，在矩形波导中央有一宽度为a/20的金属薄片。试求(1)管内电位分布；(2)管内电场分布。