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三年级火箭班第12讲和倍、差倍、和差问题复习应用知识网络已知几个数的和，以及几个数之间的倍数关系，求这几个数各是多少的应用题，我们称之为和倍问题；已知几个数的差以及它们之间的倍数关系，求这几个数的应用题叫差倍问题；已知两个数的和与它们之间的差，求这两个数的问题叫做和差问题。基本公式和方法：（1）解答和倍问题，一般先确定一个数为标准数（即一倍数），再根据其他各数是标准数的几倍，确定总和相当于标准数的几倍，可用除法先求出标准数，进而再算出其他各数分别是多少。基本公式：和÷（倍数+1）=小数小数×倍数=大数或者和-小数=大数（2）解答差倍问题，一般以小数作为标准数即一倍数，再根据大小两数间的倍数关系，确定差是标准数的多少倍，可先用除法求出小数，进而再求出大数。基本公式：差÷（倍数的差）=标准数（一倍数）小数×倍数=大数或者小数+差=大数（3）解答和差问题，可以选择大数或小数作为标准数，然后进行思考。以小数为标准，从和里减去两数差，恰好是小数的2倍，除以2可以求出小数；以大数为标准，把小数加上两数差，就与大数相等了，也就是用和加上两数差，正好是大数的2倍，除以2可以求出大数。解答和差问题的基本公式是：（和－差）÷2=小数和－小数=大数（和+差）÷2=大数和－大数=小数重要提示：确定题目中数量间的倍数关系，关键是正确确定标准数，常常采用画线段图的方法，来帮助理解和解题。经典例题［例1］某畜牧场有牛、羊共1502只，如果牛减少50只，羊增加350只，那么羊的只数比牛的只数的3倍多2，求原来牛、羊各有多少只？思路剖析此题中给出的数量关系“羊的只数比牛的只数的3倍多2”是牛、羊数量减、增完后的关系。牛减少50只，羊增加350只后，牛、羊总量发生变化：1502-50+350=1802（只）。这时的总量是此时牛的数量的4倍多2只，那么变化后的牛、羊数可求，原来牛、羊的数量易知。解答变化后牛、羊总数：1502-50+350=1802（只）此时牛的只数：（1802-2）÷（3+1）=1800÷4=450（只）此时羊的只数：1802-450=1352（只）原有牛的只数：450+50=500（只）原有羊的只数：1352-350=1002（只）答：原来有牛500只，羊1002只。点津在求解此题时应注意牛、羊数前后的变化及变化后的数量关系。[例2]在悉尼奥运会上，中国队与荷兰队共获金牌40枚，中国队的金牌数比荷兰队的3倍少8枚。中国队、荷兰队各获金牌多少枚？思路剖析由条件“中国队的金牌数比荷兰队的3倍少8枚”，可把荷兰队的金牌数看作一份，那么中国队的金牌数为3份减8。如果把中国队与荷兰队的金牌总数40枚再加上8枚，就等于荷兰队金牌数的4倍。三年级火箭班解答荷兰队的金牌数：（40+8）÷（3+1）=12（枚）中国队的金牌数：40-12=28（枚）或者12×3-8=28（枚）答：中国队获金牌28枚，荷兰队获金牌12枚。[例3]已知两数之和是649，其中一个数的个位数是0，如果把这个数个位的0去掉，则和另一个数相等，求这两个数。思路剖析已知两个数的和是649，又知把其中一个数个位的0去掉，即缩小10倍后与另一个数相等，可知大数是小数的10倍，那么两数之和是小数的11倍，则可先求出一倍数，然后再求出另一个数。解答小数：649÷（10+1）=649÷11=59大数：649-59=590或者59×10=590答：这两个数分别为590和59。点津此题中两个数之间的数量关系是间接给出的，要通过分析得出它们之间的倍数关系。[例4]有一箱苹果和一箱桔子，已知苹果数是桔子数的3倍。若每天从苹果箱中拿出2个苹果，从桔子箱中拿出1个桔子，经过几天后，还剩下7个苹果，桔子恰好取完，问原有桔子、苹果各多少个？思路剖析由于每天取出2个苹果和1个桔子，则取出的苹果数是桔子的2÷1=2倍，再由条件“苹果数是桔子数的3倍，可知剩下的苹果数应是桔子的3-2=l（倍），即为桔子的个数。再由二者3倍的数量关系可求苹果数。解答桔子的个数：7÷（3-2÷l）=7÷l=7（个）苹果的个数：7×3=21（个）答：有桔子7个，有苹果21个。[例5]有两根同样长的铁丝，第一根截去14分米，第二根接上180厘米，这时第二根铁丝的长度是第一根长的3倍，两根铁丝原来各长多少分米？思路剖析由于变化后第二根铁丝是第一根铁丝的3倍，因此将变化后的第一根铁丝长度看作一倍数，而180厘米=18分米。变化后两根铁丝的差正好相当于第一根铁丝剩下部分的长度的2倍，所以，当从第一根截去14分米后剩下的长度（即一倍数）可以求出来了，那么两根铁丝的长度易求。解答三年级火箭班180厘米=18分米第一根铁丝截去14分米后剩下的长度：（14+18）÷（3-1）=32÷2=16（分米）两根铁丝原来的长度：16+14=30（分米）答：两根铁丝原来的长度各为30分米。点津注意一倍数的选取，从两根铁丝变化后的长度差与一倍数的关系中求出一倍数。［例6］A、B、C、D四个数，每相邻两个数的差是3，且D是A的4倍，求这四个数。思路剖析由于条件中给出“D是A的4倍”，只需知道D比A多多少，即D与A的差，那么此题易解。由“每相邻两个数的差是3”，那么D与A相隔4-l=3个数，则D与A的差为：3×3=9。由条件“D是A的4倍”，知D比A多3倍。把A当作一倍数，那么A值可求，B、C、D也易求。解答D与A的差：3×（4-1）=9D比A多：4-1=3（倍）A值为：9÷3=3B值为：3+3=6C值为：6+3=9D值为：9+3=12答：这四个数分别为3、6、9、12。[例7]在一道除法算式里，被除数、除数、商与余数的和是541，已知商13、余数5，求被除数和除数各是多少？思路剖析从四个数的总数541里面减去已知的商13、余数5，就是剩下的被除数与除数的和：541-13-5=523。由于余数是5，那么被除数减去5则正好是除数的13倍，这时总数为：523-5=518，这正好是除数的13+1=14（倍），把除数看作是1倍数，则除数可求。再根据“被除数=除数×商+余数”，可求出被除数的值。解答被除数与除数的和：541-13-5=523。除数：（523-5）÷（13+1）=518÷14=37被除数：37×13+5=486或者523-37=486答：被除数为486，除数为37。[例8]．数学兴趣小组有学生45人，男生比女生多3人，兴趣小组男、女生各有多少人？分析与解答：可画线段图帮助理解：男生：45人女生：3人方法一：男生比女生多3人，若男生减少3人，男、女生就同样多，但总人数会因此也减少3人：变为45－3=42（人），42人中男、女生同样多，各为42÷2=21（人）；方法二：男生比女生多3人，若女生增加3人，男、女生就同样多，但总人数会因此也家伙少年宫3人：变为45－3=42（人），42人中男、女生同样多，各为42÷2=21（人）；和：45；差：3；较小数：女生；较大数：男生女生（小数）：（45-3）÷2=21（人）三年级火箭班男生（大数）：（45+3）÷2=24（人）小结：由此我们可以从中发现解决和差问题的一般公式（和＋差）÷2=大数（和－差）÷2=小数[例9]．小丽在一次考试中，语文和数学的平均分是93分，数学比语文多4分，小丽的语文和数学各得了多少分？分析与解答：已知数学与语文的分数差是4分，而数学与语文的分数和没有直接告诉我们，要自己去找。从“语文和数学的平均分是93分”可求出分数和，然后利用和差问题的一般公式就可求出语、数两科的分数。语文和数学的分数和是93×2=186，差：4数学（大数）（186＋4）÷2=95（分）语文（小数）（186－4）÷2=91（分）[例10]．二（1）班和二（2）班共有82人，如果从二（1）班调4名学生到二（2）班，那么两班人数相等。两个班各有学生多少人？分析与解答：此题和已知，关键是找到两班的人数差，从“从二（1）班调4名学生到二（2）班，两班人数相等”可知，二（1）班比二（2）班多2个4人，即多8人，利用关系式：二（1）班（大数）：（82+8）÷2=45人；二（2）班（小数）：（82-8）÷2=37人。[例11]．聪聪和明明共买了20本书，如果聪聪给明明6本书，那么聪聪就比明明少2本书。问聪聪和明明各买了多少书？分析与解答：从题中我们可以很容易找到“和”，“差”却没有明确告知，从“如果聪聪给明明6本书，那么聪聪就比明明少2本书”中可知：如果给了后两人一样的话，那么聪聪比明明多6×2=12本，但是给了后聪聪比明明少2本，说明实际上聪聪比明明只多12－2=10本。这样和差的关系都有了，就可以用和差问题的方法来解决。聪聪的本数（大数）：（20＋10）÷2=15（本）明明的本数（小数）：（20－10）÷2=5（本）或15－10=5（本）[例12]．小明、小刚、小虎三人共有课外书49本。小明比小刚多4本，小刚又比小虎多6本，三人各有多少本？三年级火箭班分析与解答：先画图分析小明：小刚：4本共49本小虎：6本可看出，小明比小虎多6+4=10本，如果增加10本，小明和小虎一样多；小明比小虎多4本，再增加4本，小明和小刚一样多；即：总数增加（6+4）+4=14本后，正好是小明的3倍，可以求出小明的数量为（49+14）÷3=21本，进而得出小刚、小虎的数量。反之，如果将总数减少（6+4+6）本，就正好是小虎的三倍，可以先得出小虎的数量，再求其他的数量。即：方法一：小明（最大数）：（49+4+6+4）÷3=21本，小刚：21-4=17本；小虎：17-6=11本方法二：小虎（最小数）：（49-4-6-6）÷3=11本小刚：11+6=17本；小虎：17+4=21本练一练：工厂将875元奖金奖给有发明创造的三名优秀工人，第一名比第二名多得250元，第二名比第三名多得125元，三名优秀工人各得奖金多少元？分析与解答：第三名（即最小数）钱数的3倍是：875－125－125-250=375（元）第三名的钱数为375÷3=125（元）第二名的钱数为125＋125=250（元）第一名的钱数为250＋250=500（元）思考如果以第一名或第二名为标准又该怎样解答呢？小结：解决三个数之间的和差关系要注意：在分析三个数之差时，如果以最大数为标准或以最小数为标准，总数增加或减少的量是不同的，要特别细心分析。发散思维训练1．小江和小天总共有52张邮票。如果从小江的邮票中拿走一张，再把3张邮票放入小天的邮票中，小天的邮票就是小江的2倍。小江和小天各有几张邮票？2．已知A、B、C三个数之和是131，A除以B，B除以C，商都是5，余数都是1，求这三个数。3．甲、乙两车间的工人数相等，由于工作需要，从甲车间调57人到乙车间去，这时乙车间人数正好是甲车间人数的4倍。求甲、乙车间原来各有多少人？4．某农场有鸡、鸭共4571只，如果鸡减少230只，鸭增加100只，那么鸡的只数比鸭的只数的3倍多1只，求原来有鸡、鸭各多少只？5．三个物体的平均重量是37千克，甲物体比乙、丙物体重量之和重5千克，乙物体比丙物体的2倍还重2千克，三个物体各重多少千克？6．某校参加运动会的男生比女生的4倍少10人，比女生的3倍多22人，这个学校参加运动会的男、女生三年级火箭班各有多少人？7．甲、乙、丙三人的年龄和是134岁，其中甲比乙的3倍少9岁，丙比乙的2倍多5岁，求三人的年龄各是多少岁？8．有A、B两个水塘，A塘中有水3000立方米，B塘中有水1200立方米，现从A塘中往B塘中引水，流速为每分钟50立方米，多少分钟后B塘中的水量是A塘中水量的2倍？9．学校一、二年级工友230人，一年级比二年级少30人，一、二年级各有多少人？10．师徒两人合作2小时，共生产零件110个，师傅每小时比徒弟多生产5个，师徒两人每小时各生产零件多少个？11．两只油桶共装油60千克，如果把第一桶里的油倒出6千克，两个油桶中的油就一样多。第一桶里原来有油多少千克？12．姐妹两人共有480元零花钱，如果姐姐给妹妹34元，则两人的钱数相等，原来姐妹两人各有多少钱？13．把长118厘米的铁丝围成一个长方形，并且要求长比宽多11厘米，那么长与