中值定理及其应用

中值定理及其应用中值定理•一、罗尔(Rolle)定理•二、拉格朗日(Lagrange)中值定理•三、柯西(Cauchy)中值定理?.).()()()(].,[存在什么样的关系与直线我们来看看曲线的切线该是每点处的切线而与曲线有关的直线应：线两个端点的直线因此，可得到一条过曲），（已知条件是laxabafbfafylbaxxfy)(xfy))(,(afa))(,(bfb)()()()(axabafbfafybxaOyTlT与l平行这样的可能有好多bxaOy●●高了低了到了AB一个特殊的例子：假设从A点运动到B点，那么有许多种走法，首先我们来看一个例子。行走的典型路线如下：bxaOyAB●●maxf0)(,minffxfxf)()(0)(f0)(f0)(fxfxf)()()(0)()(xfxf0)()(xfxf这说明：在极大值或极小值点处,函数的导数为0.几何意义是：在极值点处的切线平行于AB的连线或x轴.•典型情形的证明思想●结论:Rolle定理.0)(),().()(.3;),()(.2;],[)(.1)(fbaafbfbaxfbaxfxf使得那么至少存在一点内可微在上连续在满足条件：假设函数一、罗尔(Rolle)定理罗尔（Rolle）定理如果函数)(xf在闭区间],[ba上连续,在开区间),(ba内可导,且在区间端点的函数值相等，即)()(bfaf,那末在),(ba内至少有一点)(ba,使得函数)(xf在该点的导数等于零，即0)('f)1()2()3(例如,32)(2xxxf).1)(3(xx,]3,1[上连续在,)3,1(上可导在,0)3()1(ff且))3,1(1(,1取.0)(f),1(2)(xxf几何解释:ab12xyo)(xfy.,水平的在该点处的切线是点上至少有一在曲线弧CABC证.)1(mM若,],[)(连续在baxf.mM和最小值必有最大值.)(Mxf则.0)(xf由此得),,(ba.0)(f都有.)2(mM若),()(bfaf.取得最值不可能同时在端点),(afM设.)(),(Mfba使内至少存在一点则在),()(fxf,0)()(fxf,0x若;0)()(xfxf则有,0x若;0)()(xfxf则有;0)()(lim)(0xfxffx;0)()(lim)(0xfxffx,)(存在f).()(ff.0)(f只有注意:罗尔定理的三个条件是充分的，但不是必要的.若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论可能不成立..例如,又例如,]1,0[,)(xxxf0,1],0(,sin)(xxxxf.,0)2(),0(2,31],0[即罗尔定理的结论成立有，但存在点））、件上不满足罗尔定理的条在ff.0)(,)10(),3]1,0[ff使得不存在点内，在件上不满足罗尔定理的条在f(x)满足条件(2),(3),但不满足条件(1),在(0,1)内,21)(xf例如:(i)y=f(x)=121x1,x=1,x[0,1)图3-1-2xy011231,1||)(xxxfyf(x)在[-1,1]上,满足条件(1),(3),但不满足条件(2),当x时,f(x)=1.x时,f(x)=1.x=0时,f(0)不存在.(ii)0xy111图3-1-3y=|x|(iii)y=f(x)=x,x[1,2],f(x)在[1,2]上满足条件(1),(2),但不满足条件(3),在(1,2)内,f(x)=1.02112xy图3-1-4y=x例1设函数f(x)=(x1)(x2)(x3),不求导数,试判断方程fx有几个实根,它们分别在何区间?解:f(x)在[1,2]上连续,在(1,2)上可导,且f(1)=f(2);由罗尔定理:1,使f(1;同理,2,,注意到f(x)=0为二次方程,使f(2;它至多有两个实根,故1,2是f(x)=0的全部实根.例2.10155的正实根有且仅有一个小于证明方程xx证,15)(5xxxf设,]1,0[)(连续在则xf.3)1(,1)0(ff且由介值定理.0)(),1,0(00xfx使即为方程的小于1的正实根.,),1,0(011xxx设另有.0)(1xf使,,)(10件之间满足罗尔定理的条在xxxf使得之间在至少存在一个),,(10xx.0)(f)1(5)(4xxf但))1,0((,0x矛盾,.为唯一实根二、拉格朗日(Lagrange)中值定理拉格朗日（Lagrange）中值定理如果函数f(x)在闭区间],[ba上连续,在开区间),(ba内可导,那末在),(ba内至少有一点)(ba，使等式))(()()('abfafbf成立.)1()2().()(:bfaf去掉了与罗尔定理相比条件中注意).()()(fabafbf结论亦可写成)(xfy))(,(afa))(,(bfb)()()()(axabafbfafybxaOyTlT与l平行更广泛情形的证明思想:.0,)(,了典型情形，从而化为处等于和差在因此它们的是相等的与直线处和注意到在balxfyba0)()()()()()()()(bFaFaxabafbfafxfxFyABT平行与ABT同一点ab12xxoy)(xfyABCDNM几何解释:.,ABCAB线平行于弦在该点处的切一点上至少有在曲线弧证分析:).()(bfaf条件中与罗尔定理相差弦AB方程为).()()()(axabafbfafy,)(ABxf减去弦曲线.,两端点的函数值相等所得曲线ba作辅助函数)].()()()([)()(axabafbfafxfxF,)(满足罗尔定理的条件xF.0)(,),(Fba使得内至少存在一点则在0)()()(abafbff即).)(()()(abfafbf或拉格朗日中值公式注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.,),(],[)(内可导在上连续，在设babaxf).10()()()(000xxxfxfxxf则有),,(,00baxxx).10()(0xxxfy也可写成.的精确表达式增量y拉格朗日中值定理又称有限增量定理.拉格朗日中值公式又称有限增量公式.微分中值定理推论2()(),()().IfxgxIfxgxC如果在区间上恒成立则在区间上有证明12,.xx的任意性，即得结论推论1(),().IfxfxI如果在区间上函数的导数恒为零则在区间上是一个常数1212,,,xxIxx任取且应用拉氏公式，得到212112()()()()()fxfxfxxxx在与之间21()0()(),ffxfx由条件知，于是有由点例3).11(2arccosarcsinxxx证明证]1,1[,arccosarcsin)(xxxxf设)11(11)(22xxxf.0]1,1[,)(xCxf0arccos0arcsin)0(f又20,2.2C即.2arccosarcsinxx例4.)1ln(1,0xxxxx时证明当证),1ln()(xxf设,],0[)(上满足拉氏定理的条件在xxf)0(),0)(()0()(xxffxf,11)(,0)0(xxff由上式得,1)1ln(xxx0又x111,11111x,11xxxx.)1ln(1xxxx即例5.设ab0n1.证明:令f(x)=xn显然f(x)在[b,a]上满足拉格朗日定理条件,证明:nbn1(ab)anbnnan1(ab)有f(a)f(b)=f()(ab)(ba)即anbn=nn1(ab)又0ba,且n1所以bn1n1an1nbn1(ab)nn1(ab)nan1(ab)即nbn1(ab)anbnnan1(ab)三、柯西(Cauchy)中值定理柯西（Cauchy）中值定理如果函数)(xf及)(xF在闭区间],[ba上连续,在开区间),(ba内可导,且)('xF在),(ba内每一点处均不为零，那末在),(ba内至少有一点)(ba,使等式)()()()()()(''FfaFbFafbf成立.几何解释:)(1F)(2Fxoy)()(xfYxFX)(aFA)(bFBCD)(xFNM.)),(),((ABfFCAB弦该点处的切线平行于在一点上至少有在曲线弧证作辅助函数)].()([)()()()()()()(aFxFaFbFafbfafxfx,)(满足罗尔定理的条件x.0)(,),(使得内至少存在一点则在ba,0)()()()()()(FaFbFafbff即.)()()()()()(FfaFbFafbf.0)(,),(使得内至少存在一点则在ba,)(xxF当,1)(,)()(xFabaFbF)()()()()()(FfaFbFafbf).()()(fabafbf例6)].0()1([2)(),1,0(:,)1,0(,]1,0[)(fffxf使至少存在一点证明内可导在上连续在设函数证分析:结论可变形为2)(01)0()1(fff.)()(2xxxf,)(2xxg设,]1,0[)(),(条件上满足柯西中值定理的在则xgxf有内至少存在一点在,)1,0(2)(01)0()1(fff)].0()1([2)(fff即四、小结Rolle定理Lagrange中值定理Cauchy中值定理xxF)()()(bfaf2罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系；1罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理中条件是充分的，但不是必要的.3证明函数方程或方程的根的存在性，可以考虑应用罗尔定理.4应用拉格朗日中值定理和柯西中值定理可以证明一些不等式.思考题试举例说明拉格朗日中值定理的条件缺一不可.思考题解答1,310,)(21xxxxf不满足在闭区间上连续的条件；],[,1)(2baxxxf且0ab不满足在开区间内可微的条件；以上两个都可说明问题.